Samvirke mellom rullende materiell og spor

Lenke til PDF-filen: Samvirke mellom rullende materiell og spor

1 INNLEDNING

Studiet av de dynamiske bevegelser til det rullende materiell ved framføring på et skinnegående spor er meget komplisert. Dette har sammenheng med de dynamiske belastninger som hjulsettet utsettes for når det beveger seg på skinnegangen. Men bevegelsen til det rullende materiell følger allikevel grunnleggende dynamiske prinsipper. Dette gjelder både vertikalt og lateralt samt rulling.

Temaet samvirke rullende materiell/bane er delt inn i to kapitler. Denne første delen omhandler vognens bevegelser på sporet, herunder konisitet og vogndynamikk. Forhold knyttet til adhesjonsegenskaper og kryp er beskrevet i del 2.

Et spor blir aldri helt perfekt. Ved meget lange bølgelengder vil den geometriske linjeføringen mht. sporet lateralt og vertikalt samt i lengderetning påvirke bevegelsene til vogn og boggi . Ved korte bølgelengder vil uregelmessigheter i skinnene føre til urolige bevegelser. Riktig konstruksjon og oppbygging av sporet og underbygningen samt definert og planlagt vedlikehold vil redusere amplitudene på sporfeilene.

Det er gjennom lang tid observert at amplituden for ulike sporfeil er en funksjon av bølgelengder. Jo større bølgelengden er, jo større er vanligvis amplituden i sporfeilen. Dette er illustrert i figur 2.1 En sporfeil av type A vil oppstå langt oftere enn en sporfeil av type B for samme bølgelengde. Videre vil en sporfeil av type C med større amplitude ved lang bølgelengde oppstå like lett som en sporfeil av type A ved kort bølgelengde. Som en første tilnærming kan gjøres den antakelse at størrelsen på amplituden til en sporfeil er en funksjon av sporets bølgelengde.

Figur 1 Kvantifisering av ulike sporfeil (amplituder) som funksjon av bølgelengder.

2 SAMVIRKE RULLENDE MATERIELL/BANE

Samvirke mellom det rullende materiell og bane er et meget vidt begrep, men skal i det etterfølgende begrenses til det som kalles gangdynamikkeller gangegenskaper.

Dette omfatter:

• Bevegelser av det rullende materiell på skinnebundet spor
• Krefter mellom rullende materiell og spor (sporkrefter)

Følgende hendelser kan relateres til ovenstående:

• Avsporinger
• Slitasjeav f.eks. hjul og skinner
• Komfortfor de reisende

Følgende aspekter er relatert til gangdynamiske prinsipper:

• Sikkerhetsom en funksjon av hastighetog sporstandard
• Tillatt lastkapasitettil det rullende materiell som funksjon av påkjenninger på sporet
• Togets tillatte hastighetpå grunn av sporgeometrisk linjeføring
• Passasjerenes opplevelser av reisen samt risiko for forskyvning av lasten og dermed skader på gods
• Vedlikeholdskostnader på det rullende materiell og på sporet

Kjøreegenskapene til det rullende materiell har stor betydning for:

• Sikkerhet
• Komfortog skader på gods
• Økonomi

Gjeldende utviklingstendenser er framføring av tog med tyngre laster og med større hastigheter. Disse aspektene er i høy grad avhengig av god kjøredynamikk.

I forbindelse med kjøreegenskapene til det rullende materiell på skinnebundet spor skal det beskrives noen grunnleggende begreper:

• Statisk tilstandinntreffer når det rullende materiell står stille på et perfekt spor.
• Kvasistatisk tilstander den tilstand som opptrer når det rullende materiell framføres med konstant hastighetpå et perfekt spor. Det forutsettes atdette sporet har konstant kurveradiusmed konstant overhøyde. Videre eksisterer det konstante friksjonsforhold mellom hjul og skinne. Dette medfører at alle krefter eller forskyvninger i det rullende materiell og mellom det rullende materiell og sporet er konstant hele tiden.
• Dynamisk tilstand definerer de bevegelser og tilleggskreftersom det rullende materiell utøver på grunn av sporfeil, endring av opprinnelig sporgeometri, endring av hastighetog friksjoni sporet. Selvgenererende bevegelser som f.eks. sinusforløpog ustabilt løpinngår i begrepe

2.1 Vognenes vibrasjonsmønster

I dette avsnittet skal det gis en beskrivelse av bevegelsene til det rullende materiell.

Det er 6 mulige bevegelser for alle komponenter til det rullende materiell ved framføring på et skinnegående spor. Dette gjelder for selve vognkassen, boggirammenog hjulsettet. Bevegelsene er vist samlet i figur 2.2.

Bevegelser		Engelsk betegnelse	Norsk betegnelse
Translasjonsbevegelse i kjøreretningen (X -retning)	Langsgående bevegelse eller longitudinell bevegelse	X Longitudinal	Rykk i kjøreretningen
Translasjonsbevegelse i tverretningen (Y -retning)	Sidebevegelse eller lateral bevegelse	Y Lateral	Sidesleng
Translasjonsbevegelse vinkel rett mot sporplanet	Vertikalbevegelse	Z Vertical, bounce	Hopping
Rotasjons -bevegelse i et plan tvers på lengderetninge)	Vognbevegelse	φ Roll, sway	Rulling
Rotasjons bevegelse i et langsgående vertikalplan		χ Pitch	Galoppering elle vipping
Rotasjons - bevegelse i selve sporplanet		ψ Yaw	Svingning

Langsgående bevegelser eller rykkav vognene har sammenheng med stivhetsparametre i forbindelse med buffere i en togformasjon.

Figur 2.2 Frihetsgrader mht. bevegelser til en jernbanevogn og vognens hovedkomponenter

Jernbanevogner er vanligvis symmetriske om den vertikale akse. Dette er illustrert i figur 2.3. Vertikale ujevnheter i sporet kan antas å påvirke vognens bevegelser symmetrisk om denne aksen.

Figur 2.3 Det rullende materiell er vanligvis symmetrisk om den vertikal akse.

Bevegelser mht. hoppingog galopperinger overveiende uavhengige av laterale ujevnheter i sporet og rulling. Hopping og galoppering opptrer derim i spor med ujevnheter i vertikal retning og er illustrert i figurene 2.4 og 2.5.

Figur 2.4 Illustrasjon mht. hoppingav vogn.

Figur 2.5 Eksempel på galoppering av vogn

På grunn av jernbanevognenes konstruksjon er vognmateriellet ikke symmetrisk om noen lateral akse. Lateral bevegelse og rulling vil derfor oppstå samtidig. Disse 2 sammenkoblede bevegelsene kan beskrives som øvre rulling og nedre rulling. Bevegelsene er vist i figurene 2.6 og 2.7.

Figur 2.6 Eksempel på øvre rulling av vognmateriellet

Figur 2.7 Eksempel på nedre rulling av vognmateriellet

Ved nedre rulling har rotasjonssenteret et lavt nivå, mens for øvre rulling ligger rotasjonssenteret høyere oppe. Frekvensen for den øvre liggende rulling vil vanligvis være høyere enn for den lavere liggende rulling.

Svingningsmønsteret (yaw) er vist i figur 2.8

Figur 2.8 Svingningsmønsteret for en vogn

Typiske frekvensområder for ulike bevegelser er:

• Lavere rulling: 0,6 Hz
• Svingning: 0,9 Hz
• Hopping: 1,0 Hz
• Galoppering: 1,4 Hz
• Øvre rulling: 1,6 Hz

Reaksjonsmønsteret til en virkelig vogn er meget komplekst. Dette gjelder også når vognen framføres på et idealisert spor. Denne kompleksiteten er sammensatt av et antall av fysiske effekter. Det er nødvendig å beskrive samspillet av disse fysiske effektene for å få innsikt i forståelsen av hvordan vognen oppfører seg i et spor.

3 VOGN I FJÆR/DEMPER-SYSTEM

I det foregående avsnittet er bevegelsene til det rullende materiell beskrevet og illustrert. I dette avsnittet skal bevegelsene uttrykkes matematisk. Dette er særlig tilfelle for den vertikale bevegelse.

3.1 Masse med et enkelt fjær/demper-system

En masse som sitter på et fjæropplegg, har et system med en frihetsgrad. Bevegelsen til massen vil bli påvirket av vertikale ujevnheter i sporet. Dette er vist i figur 2.9.

Figur 2.9 Masse med et enkelt fjæropplegg og dempe

Denne massen vil utøve resonansved en naturlig frekvens som er gitt ved formelen:

[math]f_n={1 \over 2 \pi}\sqrt{k \over m}[/math]

(2.1)

Her betyr:

fn = naturlig frekvens [Hz], [s ^-1]

k = fjærstivhet[N/m]

m = masse [kg]

Uten dempingi systemet vil bevegelsen gå mot uendelig ved den naturlige frekvensen. Systemet utføres derfor med en demper med gitte karakteristikker:

c = demperkonstant[N/v], [N/m/s], [Ns/]

Det er mulig å påvirke området for resonansfrekvenser gjennom parametrene k og m. En stiv fjær vil gi høye frekvenser og en tung masse vil medføre lave frekvenser.

Det defineres følgende parameter:

[math] \omega_0=2 \pi f_n=\sqrt{k \over m}[/math]

(2.2)

Dette gir:

[math] {\omega_0}^2={k \over m}[/math]

(2.3)

Videre defineres:

[math] {c \over m}={2 \zeta \omega_0}[/math]

(2.4)

Dette gir:

[math] {\zeta}={c \over 2m \omega_0}[/math]

(2.5)

ω₀ kan identifiseres som systemets resonansfrekvens(egenfrekvens) ved en dempingsfaktorlik 0 (ingen dempingi systemet).

ζ defineres som den relative dempingi forhold til kritisk demping:

[math] {\zeta}={c \over c_{KRITISK}}[/math]

(2.6)

hvor

[math] c_{KRITISK}= {2\sqrt{km}}[/math]

(2.7)

Den dempede naturlige frekvens blir:

[math] f_d = f_n \sqrt{1 - \zeta^2}[/math]

(2.8)

Ved lave frekvenser vil massen følge uregelmessighetene i sporet ved langsgående bevegelse. Dette gjelder både for vertikal forskyvning og for akselerasjonsbevegelser til vognkassen. Ved massens egenfrekvens vil aktivitetene oppnå særdeles høye verdier. Ved økende frekvenser avtar verdiene igjen.

Det er mulig å øke nivået på dempingen. Det må imidlertid bemerkes at dempere i motsetning til fjærer er meget sensitive i høyere frekvensområder. Dette har sammenheng med at dempere reagerer som funksjon av hastighet. Fjærene får forskyvninger på grunn av uregelmessigheter i sporet.

Disse forholdene er vist i figur 2.10. Diagrammet viser forsterkningen i akselerasjonen uttrykt ved ÿ/w0til en masse som funksjon av frekvensområdet w(opptredende frekvenser). Forsterkningen i akselerasjonen er illustrert ved ulike nivåer på dempingen.

Figur 2.10 Forsterkning av akselerasjonen som funksjon av svingningsfrekvens samt nivå på dempere

Egenskapene blir:

• lav dempingmedfører stor forsterkning ved resonans
• høy dempinggir stor forsterkning i akselerasjonen ved høye frekvenser
• høy dempingoppleves som vibrerende ved høyfrekvente forstyrrelser

En viktig oppgave er derfor å konstruere den optimale demping.

3.2 Masse med fjær og demper med innebygget fjær

Overføring av energi til massen m kan reduseres betydelig ved innføring av fjær i dempersystemet. Dette er illustrert i figur 2.11. Litt elastisitet vil alltid opptre i hydrauliske dempere på grunn av sammentrykkingen av olje samt fleksible innfatningskomponenter i dempersystemet. Det er vanligvis verdifullt å benytte slike fleksible innfatningskomponenter for å få kontroll over systemet.

Figur 2.11 Modell av vogn med fjær i dempersystemet

Kombinasjonen av demper og en fjær i dempersystemet har bruddfrekvens som er definert iht. følgende formel:

[math]f_b={1 \over 2 \pi}\left({k_{ss} \over c} \right)[/math]

(2.9)

Her betyr:

k_ss= stivhet i fjæren til dempersystemet

c= demperkonstant

f_b= bruddfrekvens

Ved frekvenser lavere enn bruddfrekvensen vil systemet opptre hovedsakelig som demper. Ved frekvenser høyere enn f_b vil systemet virke som en fjær. Et passende valg av bruddfrekvens vil gi akseptabel demping ved naturlig frekvens. Dermed vil overføring av vibrasjoner ved høyere frekvenser bli redusert.

En verdi av k_ss = 10 k vil medføre et meget stivt system. Ved lavere verdier av k_ss blir systemet mykere. Dette medfører at overføring av energi til massen m ved høyere frekvenser minsker betraktelig. Imidlertid vil forholdet føre til en viss økning i overføring av energi ved resonansfrekvens. Det vises til figur 2.12. Y-aksen illustrerer akselerasjonen uttrykt ÿ/ω₀ og x-aksen frekvensområdet uttrykt ved ω.

Det kan vises matematisk at for et system med én frihetsgrad vil den optimale oppførselen til massen skje ved et nivå i dempingen på 20 % og en stivhet i dempersystemet k_ss som er 2 ganger større enn fjærstivheten k.

Figur 2.12 Effekt av fjæropplegg i dempersystemet.

3.3 Effekten av primærfjær i systemet

Dersom det innføres en primærfjær, dannes et system med 2 masser. Dette systemet har 2 frihetsgrader og dermed 2 egenfrekvenser (naturlige frekvenser). Egenfrekvensene vil være avhengige av stivhetene til de 2 elastiske fjærene. Det vises til figur 2.13.

Figur 2.13 System med 2 masser og innebygget primærfjær og sekundærfjær

Den dynamiske bevegelse til et slikt system som beveger seg på et idealisert spor, er vist i figur 2.14.

Betydningen av 2 separate resonansfrekvenser kan observeres. Massen av boggien er mye mindre enn massen av. Samtidig er den primære fjæren mye stivere. Dette medfører at den naturlige frekvensen til sekundærfjæren blir høyere (7 Hz).

Primærfjæren filtrerer bort mye av de høyfrekvente bevegelsene som oppstår på grunn av ujevnheter i sporet. Jo mykere primærfjæren er, jo større blir effekten av filtreringen.

Figur 2.14 Dynamisk oppførsel til system med 2 masser

Det må imidlertid bemerkes at kontakten hjul - skinne i tillegg introduserer høyere frekvenser som må isoleres (beskrevet ved Hertzian-fjæren).

3.4 Toakslede vogner

En lang masse har normalt opplegg mot sporet i 2 punkter. En to-akslet vogn er et slikt eksempel. Vognen har de 2 frihetsgradene hopping og vipping (galoppering). Generelt vil disse frihetsgradene opptre i forskjellige frekvenser og ha forskjellige nivåer mht. demping. I tillegg vil de geometriske egenskapene til vognen filtrere effekter av påvirkninger fra uregelmessigheter i sporet. Ved bestemte bølgelengder i sporet vil hoppingen av vognen skje med full amplitude iht. sporets uregelmessigheter. Ved andre bølgelengder vil den vertikale amplitude i forbindelse med hoppingen bli mindre.

Vippingen av vognen vil ved bestemte bølgelengder kunne skje med full amplitude.

Det vises til figurene 2.15 og 2.16.

Figur 2.15 To-akslet vogn som utsettes for hopping.

Figur 2.16 To-akslet vogn som utsettes for vipping(galoppering)

Det forutsettes en lengde mellom akslene til vognen lik L. Den maksimale hoppingen til vognen inntreffer ved definerte bølgelengder i sporet. Likeledes vil det ved andre bølgelengder i sporet ikke være hopping i det hele tatt. Dette er vist i tabellen under. Det samme gjelder for vipping. For den illustrerte vognen vil det være 2 tilfeller av vibrasjonsmuligheter med forskjellige egenfrekvenser og nivåer på demping som oppstår på grunn av ulike bølgelengder.

Bølgelengdene som forårsaker hoppingen og vippingen, er bare avhengige av avstanden mellom punktene for uregelmessighetene i sporet. Frekvensene for når vibrasjonene opptrer, vil derfor være avhengig av hastigheten. Siden hvert tilfelle har en spesifisert egenfrekvens, vil hoppingen av vognen (massen) bli utøvet ved en bestemt hastighet. Ved andre hastigheter vil avstanden mellom uregelmessighetene i sporet kunne forårsake en filtrerende effekt ved sammenligning med et system med ekvivalent enhetsmasse.

Tabell 2.1 Hopping og vipping ved ulike bølgelengder

Bølgelengde	Hopping av vogn	Vipping av vogn
Uendelig	Maksimum	Null
2 L	Null	Maksimum
L	Maksimum	Null
2L/3	Null	Maksimum
L/2	Maksimum	Null
2L/5	Null	Maksimum

Effekten av den geometriske filtreringen er meget kompleks, selv for idealisert spor. Dette er illustrert i diagram 2.17. Diagrammene illustrerer vertikalbevegelser og galoppering(vipping) for en to-akslet vogn med avstand mellom akslene på 9 m.

Figur 2.17 Dynamisk opptreden av en typisk to-akslet vogn mht. vertikalbevegelse og galoppering.

Virkelige opptredende sporfeil kan forårsake mer komplekse bevegelser. Bevegelsene til to-akslede vogner kan forverres betydelig ved bestemte hastigheter dersom en bølgelengdeved maksimal hendelse mht. hopping eller vipping sammenfaller med en bølgelengde hvor uregelmessighetene i sporet er særdeles store.

Det faktum at både hopping og vipping opptrer i en vognkasse, medfører for passasjeren at akselerasjonen varierer langs vognkassen. En passasjer som sitter midt i vognen, vil bare føle hoppingen. En annen passasjer i endene av vognen vil i tillegg føle vertikal bevegelse fra vippingen. På grunn av dette vil sannsynligvis komforten oppfattes å være betydelig bedre midt i vognen enn i vognende. Dette er anskueliggjort i diagram 2.18.

Figur 2.18 Akselerasjoner i vognkassemidt på og i ende.

Et annet forhold er at vognen blir utsatt for momentbøyning. Amplituden av bøyebevegelsen er naturligvis størst i vognmidt. Bøyningen kan føre til opplevelser av vibrasjoner for passasjeren.

3.5 Effekten av boggier

En boggi vil utøve tilsvarende løpeegenskaper ved framføring som en toakslet vogn. Hopping og vipping vil også for en boggi være avhengig av bølgelengder for ujevnheter i sporet samt avstand mellom hjulsatsene til boggiene. Imidlertid vil normalt vogner med boggier være betydelig lenger enn to-akslede vogner.

Et annet viktig aspekt er at selve boggien vil utøve et geometrisk tilleggsfilter for å ta opp uregelmessigheter i sporet. Bølgelengder som påvirker hoppingen av en boggi, vil normalt ikke bli overført til vognkassegjennom sekundærfjæringen. Det vises til figur 2.19

Figur 2.19 Vogn med 2 boggier

Boggiene introduserer flere frihetsgrader enn de som påvirker hopping og vipping. Dermed oppstår flere resonansfrekvenser i systemet. Vipping av boggien ved resonansfrekvensene vil bare ha liten innflytelse på bevegelsen av selve vognkassen. Derimot vil hoppingen av boggien i frekvensområdene for resonans ha stor virkning på bevegelsen i vognkassen.

Løpeegenskapene til en vogn med boggier som framføres på et idealisert spor, er vist i figur 2.20. Som eksempel er avstanden mellom boggiene blitt holdt den samme som for en to-akslet vogn med akselavstand lik 9,0 m. I tillegg er avstanden mellom akslene i boggien lik 2,0 m. Det framkommer at bevegelsen til vognen med boggier er sammenfallende med bevegelsene til den to-akslede vognen. Det er imidlertid et fall i aktiviteten ved en frekvens på 7,5 Hz som tilsvarer en bølgelengde på 4,0 m ved hastighet lik 30 m/s. Dette er et resultat av den geometriske filtreringen av boggien. Togframføring mht. komfort blir bl.a. betydelig forbedret.

Figur 2.20 Akselerasjonsegenskaper for vognkasse med boggier

I denne diskusjonen er så langt effekten av kontakten hjul/skinne ikke berørt. Kontakten mellom hjul og skinne influerer særlig på den vertikale bevegelse. Lateral bevegelse oppstår i prinsippet av samme grunn. Men i tillegg vil det for den vertikale bevegelse genereres kinematiske bevegelser på grunn av vibrasjoner i boggiene. Frekvensen i disse vibrasjonene samt dempingen vil være avhengig av hastigheten. Noen av bevegelsene vil bli overført til vognkassen, andre ikke.

Det er allerede påpekt at høy demping oppleve s som vibrerende ved høyfrekvente bevegelser eller forstyrrelser. En viktig oppgave er derfor å optimalisere dempingen.

Én mulighet er å gjennomføre fjæring i 2 trinn, slik at fjæringen i det første trinnet virker på den mellomliggende masse (f.eks. boggier). Det andre trinnet i fjæringen skal virke på den massen (dvs. vognkasse) som isoleres fra underlagets ujevnheter (sporet). Det er nettopp dette som skjer ved et rullende materiell som er utstyrt med primær- og sekundærfjæring med mellomliggende boggimasse. Massen i boggien virker som et filter for høyfrekvente forstyrrelser.

3.6 Matematiske vibrasjonsmodeller

I den klassiske fysikken eller mekanikken blir det beskrevet matematiske modeller for bevegelser av legemer som vibrerer eller som blir utsatt for forstyrrelser på grunn av ujevnheter i underlaget. Modellene tar gjerne utgangspunkt i bevegelsesforløp som funksjon av tiden.

Et enkelt ekvivalent system for beskrivelse av vibrasjoner består av en konsentrert masse med et fjærsystem. Denne massen blir utsatt for en framføringskraft og samtidig en retarderende kraft som forårsakes av demperelementet. Et slikt system er vist i figur 2.21. Massen m kan tenkes plassert i en generell posisjon som er forskjøvet i en avstand x fra nøytralstillingen. Kraften i fjæren med stivhet k er i denne stillingen (nøytralstillingen) lik 0. Det forutsettes at fjæren er tilknyttet et ubevegelig og udeformerbart fundament. Massen beveger seg iht. en kraft F = f(t) som altså blir uttrykt som en funksjon av tiden. Men samtidig blir bevegelsen til massen retardert i demperelementet ved en kraft som vil være proporsjonal med hastigheten. Denne type av såkalt friksjonsretardasjon blir betegnet som viskosiøs demping. Denne viskosiøse dempingen kan framstilles på flere måter.

Figur 2.21 Bevegelse av masse m i en avstand x fra nøytral posisjon.

I figur 2.21betyr:

m = masse til legemet (kg)

F = kraft som massen m blir utsatt for (kN)

kx = retarderende kraft (kN)

k = fjærstivhet(kN/mm)

x = tilbakelagt vei fra nøytralstilling til fjæren (mm)

c = den viskosiøse demperkonstant(N/m/s)

x = hastighet(m/s)

Newton’ s 2. lov lyder:

[math] K=m \ddot{x}[/math]

(2.10)

Ved anvendelse av denne lov kan bevegelsen i x-retningen beskrives:

[math] F - kx - c\ddot{x}=m \ddot{x}[/math]

(2.11)

Denne likningen kan omformes til:

[math] m \ddot{x} + c\dot{x}+ kx = F [/math]

(2.12)

Et system som ligner på det foregående, er vist i figur 2.22. Det forutsettes at fjæren er forbundet med et underlag eller et fundament som har fått en forskyvning som funksjon av tiden lik δ = δ (t). Denne forskyvningen kan enten ha framkommet ved bevegelse av fundamentet eller ved deformasjon. Dersom x er den absolutte forskyvning av massen m målt fra nøytral posisjon ved δ = 0, vil fjæren få en spenning:

[math] k(x- \delta) [/math]

(2.13)

For øvrig er betegnelsene de samme som i foregående figur.

Figur 2.22 Bevegelse av masse m i en avstand x fra nøytral posisjon når opplageret til fjæren får en forskyvning.

Dersom hastigheten til deformasjonen av underlaget neglisjeres, blir formelen:

[math] -c \dot{x} -k({x - \delta}) = m \ddot {x} [/math]

(2.14)

Denne kan omskrives til:

[math] m \ddot{x} + c\dot{x} + kx = k \delta [/math]

(2.15)

Vi ser at kraften F i figur 2.15 er erstattet av uttrykket kδ , dvs. produktet av fjærstivhet og bevegelse av fjæren på grunn av forskyvning av fundamentet.

Likningene

[math] m \ddot{x} + c\dot{x}+ kx = F [/math]

(2.16)

og

[math] m \ddot{x} + c\dot{x} + kx = k \delta [/math]

(2.17)

er lineære differensiallikninger av 2. grad og blir benyttet til å beskrive bevegelsene til mange systemer, bl.a. også i jernbaneteknikk i forbindelse med framføring av rullende materiell. Differensiallikningene lar seg løse ved standardprosedyrer. Noen eksempler relatert til jernbaneteknikk vises i det etterfølgende. 3.7 Grunnleggende prinsipper Som kjent framføres det rullende materiell på et spor med diverse komponenter. Sporet utgjør et byggverk som lar seg opprette mer eller mindre jevnt, men sporfeil i vertikal retning vil alltid være tilstede. Komforten ville naturligvis bli meget god i et feilfritt spor. Men en idealisert jevnhet er ikke mulig å oppnå uten at kostnadene blir enormt store.

Nettopp av kostnadsgrunner både ved nybygging og ved vedlikeholdsarbeider vil sporet alltid bli overlevert med sporfeil innenfor definerte toleransegrenser. Dette medfører at det er det skinnegående materiell som må bli utformet på en slik måte at virkningen av uregelmessighetene i sporet blir redusert mht. komfort. Dette skal imidlertid ikke oppfattes dit hen at et spor kan ferdigstilles med sporfeil. Det skal innenfor akseptable kostnader søkes å bygge et spor så feilfritt som mulig og sporet skal ved overtagelse i alle fall være i samsvar med definerte toleransegrenser.

Uregelmessigheter og ujevnheter under eller på rullende hjul vil føre til støtbevegelser som merkes. Av den grunn er vognmateriellet fjæret. Materiell for frakt av passasjerer har alltid to fjærer i seriekopling. Dette betyr at de har en primærfjær for boggirammen og en sekundærfjær for selve vognkassen.

Selv med fjærer i seriekopling vil vognkassen bli utsatt for bevegelser og akselerasjoner ved ujevnheter i sporet. Det skal beskrives hvordan ujevnheter i sporet kan skape akselerasjoner i vognkassen.

Fjærer medfører at en masse m tilbakelegger en bestemt veg. Denne bevegelsen vil resultere i en kraft. Fjærstivhet er definert som forholdet mellom kraft og veg. Jo mykere fjæren er, jo mindre blir fjærkraften ved bevegelse over samme veg. Dersom en masse m med hjul ruller over en vertikal ujevnhet med høyde h, kan kraften under forutsetning av gitt fjærstivhet beregnes:

[math] h \cdot c = F [/math]

(2.18)

h er ujevnhet i høyde

c er fjærstivhet til et legeme

m er legemets masse

Newtons lover sier at aksjon er lik reaksjon. Dette medfører at fjærkraften F virker i motsatt retning på hjulet og massen i samsvar med følgende uttrykk:

[math] F = m \cdot \ddot{z} [/math]

(2.19)

Figur 2.23 Kjøretøy som masse-fjærsystem hvor fjærkrefter og forskyvninger opptrer ved passering av en enkel ujevnhet.

Figur 2.23 viser at fjæren vil overføre ujevnhetene ved hjulet til massen m₁ over fjærkraften F₁ i bevegelser med en akselerasjon ¨z₁:

[math] h\cdot c_1 \rightarrow F_1 \rightarrow m_1 \cdot \ddot{z}_1 [/math]

(2.20)

Derav kan utledes:

[math] \ddot{z}_1 = {c_1 \over m_1} \cdot h [/math]

(2.21)

Uttrykket c₁/m₁ er proporsjonalitetsfaktoren og i denne inngår både fjærstivheten og massen.

I en seriekobling av fjærer gjentar den samme effekten seg for sekundærtrinnet. Den vertikale bevegelse z₁ til den mellomliggende masse m₁ forårsaker sammen med sekundærfjæren med stivhet c₂ en akselerasjon ¨z₂ til massen m₂ som beregnes til:

[math] \ddot{z}_2 = {c_2 \over m_2} \cdot z_1 [/math]

(2.22)

Igjen er c₂/m₂ en proporsjonalitetsfaktor og i denne inngår både fjærstivheten og massen.

Det er naturligvis om å gjøre å konstruere vognen på en slik måte at akselerasjonene ¨z₁ og ¨z₂ blir så lave som mulig ved passering av en ujevnhet med høyde h. De to proporsjonalitetsfaktorene c₁/m₁ og c₂/m₂ har en avgjørende betydning.

Likningene ovenfor kan omskrives:

[math] {{\ddot{z}_1 \over h} \left[ {{m \over s^2} \over mm } \right]} = {{c_1 \over m_1}\left[ {{N \over mm} \over kg } \right]} = {\left[ {{kgm \over c^2} \over kgmm } \right]}[/math]

(2.23)

Samme relasjoner gjelder naturligvis også for masse m₂.

Forholdet fjærstivhet/masse indikerer hvilken akselerasjon i m/s ² som den avfjærede masse vil få med en gang (i første øyeblikk) når fotpunktet til fjæren blir løftet plutselig 1 mm. Denne kvotienten (generelt c/m) virker som overføringsfunksjon for intensiteten eller forsterkningen i akselerasjonen ¨z/h (generelt).

Neste steg er å undersøke hvordan akselerasjonen fører til svingninger. Med en sammentrekkende bevegelse til fjæren ved ujevnheten h blir den potensielle energi til fjæren ved fjærkraft F og fjærveg h:

[math] E_{POT} = { 1 \over 2} \cdot F \cdot h = { 1 \over 2} \cdot c \cdot h^2 [/math]

(2.24)

I uttrykket for fjærkraften inngår akselerasjonen ¨z. Denne er igjen avhengig av hastigheten z til massen m. Den potensielle energi som er lagret i fjæren, går over til kinetisk energi på grunn av bevegelsen til massen:

[math] E_{KIN} = { 1 \over 2} \cdot m \cdot {\dot z } ^ 2 [/math]

(2.25)

Den bevegelige massen gjør at fjæren strekker seg ut. Denne massen avgir energi til fjæren helt til fjæren ikke strekker seg mer ut. Deretter starter en pendling av energien i motsatt retning. Dermed oppstår de karakteristiske svingningene til massen. Slike svingninger er dynamiske hendelser med regelmessige bevegelser mellom bestemte grenser og periodisk veksel mht. energiformen. Den frie udempede svingning vil teoretisk aldri opphøre. Og det vil gjelde:

[math] E_{POT} \rightarrow E_{KIN} \rightarrow E_{POT} \rightarrow ..... [/math]

(2.26)

Det må gjelde:

[math] E_{POT} = E_{KIN} [/math]

(2.27)

[math] {1 \over 2} \cdot ch^2 = {1 \over 2} \cdot {m \dot z }^2 [/math]

(2.28)

Det kan utledes:

[math] {{\dot{z} \over h} \left[ {{m \over s} \over mm } \right]} = \sqrt { c \over m } [/math]

(2.29)

Forholdet z (prikk)/h angir den hastighet som massen m får når fotpunktet til fjæren blir løftet en høyde h på grunn av den vertikale ujevnhet i sporet. Denne hastigheten er avhengig av størrelsen [math] \sqrt { c/m } [/math] som igjen er avhengig av den spesifikke fjærstivheten c/m. Uttrykket [math] \sqrt { c/m } [/math] kan bli betraktet som overføringsfaktor til den hastigheten som svingningene får.

I moderne skinnegående materiell ligger de spesifikke fjærstivhetene evt. overføringsfaktorene eller intensiteten i akselerasjonene i størrelsesorden:

[math] {{\ddot{z}_1 \over h} = {c_1 \over m_1 } \approx 1000 \cdot 10^ {-3} {{m \over s} \over mm }} [/math]

(2.30)

[math] {{\ddot{z}_2 \over z_1} = {c_2 \over m_2 } \approx 5 \cdot 10^ {-2} {{m \over s} \over mm }} [/math]

(2.31)

Det framgår at intensiteten eller forsterkningen i akselerasjonene i de 2 fjærstegene atskiller seg med mer enn 10². Primærfjæren pådrar seg relativt store akselerasjoner ved små ujevnheter. Sekundærfjæren bevirker på massen m2små akselerasjoner som er ønskelig mht. komfort. En forutsetning for dette er bevegelse eller løfting av begge fotpunktene samtidig.

For svingningshastighetene gjelder:

[math] {{\dot{z}_1 \over h} = \sqrt {c_1 \over m_2 } \approx 100 \cdot 10^ {-3} {{m \over s} \over mm }} [/math]

(2.32)

[math] {{\dot{z}_2 \over z_1} = \sqrt {c_2 \over m_2 } \approx 7 \cdot 10^ {-3} {{m \over s} \over mm }} [/math]

(2.33)

Ved en samtidig løfting av fotpunktene til begge fjærene ved passering av ujevnheten med høyde h får primærfjæren en svingningshastighet som er ca. 15 ganger høyere enn svingningshastigheten til sekundærfjæren. Til nå er det foretatt betraktninger mht. til passering av en hindring i sporet av kvasistatisk natur. For å komme over hindringen må hjulet bli løftet og fjæren blir trykt sammen. Det oppstår dermed en kraft i selve fjæren uttrykt ved fjærstivheten og fjærvegen. Ved passering av hindringen vil hjulet bli senket og kraften samt energien i fjæren forsvinner. Den tiden som hjulet bruker på nedsenkingen, har avgjørende betydning for de dynamiske bevegelser. Jo tidligere en nedsenking av hjulet følger etter et løft på grunn av hindringen, jo mindre blir bevegelsen av selve massen som framføres og dermed også svingningen.

Dette gjelder så lenge som at fjæren ikke har overført en vesentlig del av energien (i fjæren) til massen som er i bevegelse. Dersom fjæren ved nedsenkingen etter passering av hindringen ikke rekker å bli avfjæret, vil fjæren fra nedre stilling bli trukket opp igjen og ny energi vil bli lagret og overført til massen. Energien vil akselerere massen og forårsake videre svingninger.

Den svingningsdyktige kombinasjonen av fjær og masse og tidsintervallet mht. serie av ujevnheter står i et definert forhold til hverandre. Så lenge ujevnhetene i sporet opptrer i en serie med større avstand enn det som tilsvarer den beregningsmessige varigheten av svingningene, vil svingningsbevegelsene holde seg på lavt nivå. Varigheten av svingningene beregnes ut fra den opptredende svingningshastighet. Opptrer ujevnhetene i sporet i en serie med en avstand som tilnærmet er lik varigheten i svingningene, vil dette medføre kraftige bevegelser mht. svingninger. Blir disse parametrene like, vil svingningene fortsette uten stans og det blir resonans.

Svingninger og virkningene av disse kan påvirkes på forskjellig vis. Uten særlige tiltak blir i et udempet fjærmasse system den tilførte energien lagret av fjæren og overført som bevegelsesenergi til massen.

Den mest virksomme metoden mht. å utøve innflytelse på energiopptaket i forbindelse med svingningene er å redusere ujevnhetene på skinnene i sporet. Ujevnheten med en høyde h inngår kvadratisk (i 2. potens) i energiopptaket. En feilfri kjørevei uten ujevnheter er derfor den mest effektive form for å eliminere svingninger i massen og å skape best mulig komfort. Dessverre blir gjennomføringen av et slikt tiltak svært dyrt.

Lave akselerasjoner til massen m iht. likningene

[math] {\ddot{z}_2 } = {c \over m } \cdot h [/math]

(2.34)

og

[math] {{\ddot{z} \over h} \left[ {{m \over s^2} \over mm } \right]} = {{c \over m}\left[ {{N \over mm} \over kg } \right]} = {\left[ {{kgm \over c^2} \over kgmm } \right]}[/math]

(2.35)

kan realiseres med lave verdier av c/m. Myke fjærer med liten fjærstivhet reduserer energiopptaket i forbindelse med passering av ujevnheter i sporet. Svingningshastigheten og framfor alt svingningsakselerasjonen til massen m blir ved et slikt tiltak redusert.

Effekten av et system med 2 svingningsmasser blir tydeliggjort. Mellommassen m1etter primærtrinnet gjør det vanskelig å bygge opp akselerasjonene, svingningshastighetene og svingbreddene. Mellommassen skjermer det etterfølgende sekundærtrinnet mot forstyrrelser. Denne massen sammen med myke primærfjærer fungerer derfor som en sperre for opptak av bevegelsesenergi. Redusering av energi med dempere og spesielt hydrauliske svingningsdempere med dempekraft som er proporsjonalt med hastigheten, er benyttede metoder for kontroll av svingningene.

Formålet med fjærene er å redusere akselerasjonen til massen ved samtidig opptak av energi når hindringer skal passeres. Dempere skal fjærne energiopptaket ved en uønsket kraft som opptrer i denne forbindelse. Disse forhold må kombineres på en slik måte at fordelene blir framhevet og ulempene fjernet.

Trykkreftene i dempere forsterker oppbyggingen av akselerasjonen til massen, mens strekkreftene reduserer akselerasjonen. Omvendt vil det være ved nedbyggingen av akselerasjonen etter passering av hindringen. Bevegelsene blir forstørret ved strekkreftene og redusert ved trykkreftene.

Det er tilstrekkelig å gjøre trykk- og strekkegenskapene til demperen avhengig av den opptredende fjærkraft i den hensikt å forbedre komforten. Akselerasjonen til massen ved oppbyggingen i forbindelse med passeringen av hindringen forsvinner når summen av fjærkraft og dempekraft blir lik null:

[math] m \cdot {\ddot z} = F + S = 0 [/math]

(2.36)

Den optimale svingningskomfort blir oppnådd når:

[math] S = -F [/math]

(2.37)

dvs. når:

[math] \ddot z = 0 [/math]

(2.38)

Hydrauliske dempere framskaffer dempekrefter S som vil være proporsjonal med dempehastigheten:

[math] \dot z_{rel} = \dot h - z_1 [/math]

(2.39)

Dette gir:

[math] S = k \cdot \dot z_{rel} [/math]

(2.40)

Hastigheten i forbindelse med dempingen er på grunn av bevegelsene ikke mulig å påvirke. Dempekraften S kan derimot tilpasses forholdene gjennom k. Denne dempeverdien k må fortløpende innstilles i takt med de varierende forholdene:

[math] k = {-F \over {\dot z_{rel}}} [/math]

(2.41)

Tekniske forhold begrenser imidlertid verdien av k og den tillatte dempekraft S:

[math] k_{min} \leqslant k \leqslant k_{max} [/math]

(2.42)

[math] S \leqslant S_{max} [/math]

(2.43)

Dette betyr at den fjærkraftorienterte styringen av dempekraften stemmer overens med den størst mulige redusering av energien ved minimumsverdien for akselerasjonen i forbindelse med oppbyggingen og dermed den best mulige komforten mht. svingningsforløpet.

3.7 Enkel vibrasjonsmodell relatert til rullende materiell på spor

De teoretiske grunnmodellene som ble beskrevet i avsnittet foran, skal benyttes til å beskrive vibrasjoner i det rullende materiell. I stedet for en idealisert horisontal bevegelse skal det studeres den vertikale bevegelse til en vognmasse som består av fjærer og demper. Vognmassen beveger seg på sporet med ujevnheter i vertikalretning og har en frihetsgrad. Det vises til figur 2.24.

Figur 2.24 Et dynamisk system med en frihetsgrad som utsettes for vibrasjoneri vertikalretning

De idealiserte modellene i foregående avsnitt ble utsatt for en horisontal bevegelse. I tilfellet hvor underlaget eller fundamentet til fjæren fikk en forskyvning eller deformasjon, ble hastigheten av deformasjonen ikke tatt med i betraktningen. Dette fordi egenvekten til massen (vertikallast) ikke hadde innflytelse på fundamentets bevegelse.

I vertikalretningen har massen innflytelse på deformasjonen til underlaget eller undergrunnen. Følgelig må hastigheten av deformasjonen til underlaget tas med i modellen. Følgende betegnelser inngår:

y = forskyvning til massen (mm)

x = underlagets forskyvning (mm)

c = demperkonstantfor viskosiøs lineær demper(N/m/s) = (Ns/m)

k = fjærstivhet(N/mm)

m = massen

x = hastighettil demperelementet på grunn av underlagets forskyvning

y = hastigheten til forskyvningen av massen

ÿ = massens akselerasjon

Iht. Newtons 2. lov kan følgende formel utledes:

[math] -c \cdot ( \dot y - \dot x) - k \cdot (y - x)=m \ddot y[/math]

(2.44)

Denne formelen kan skrives om på følgende måte:

[math] m \ddot y + c \dot y + ky = cx + kx [/math]

(2.45)

Formelen er en differensiallikning av 2. grad og derfor matematisk komplisert å behandle. Det er utviklet matematiske metoder (Pierre Simon de Laplace) hvor en spesiell type integralfunksjon kan transformere en funksjon til en annen funksjon iht. formel:

[math] f(p) = {\int_{0}^{\infty} e} ^ {-pt} F(t)dt [/math]

(2.46)

Laplace-transformasjonen har anvendelser innen teorien for lineære differensiallikninger med konstante koeffisienter. Transformasjonen er ren matematisk teknikk for å kunne omgjøre en komplisert funksjon til en enklere funksjon.

En Laplace-transformasjon av likning i (2.45) gir:

[math] (mp^2 +cp +k) \tilde y = (cp + k) \tilde x [/math]

(2.47)

Som tidligere nevnt defineres følgende:

[math] {k \over m} = \omega_0^2 [/math]

(2.48)

og

[math] {c \over m} = 2 \zeta \omega_0 [/math]

(2.49)

Dette kan også uttrykkes som:

[math] \zeta = {c \over 2m \omega_0} [/math]

(2.50)

Iht. ovenstående gir:

[math] \omega_0 = \sqrt {k \over m } [/math]

(2.51)

ω₀ kan identifiseres som systemets resonansfrekvens eller egenfrekvens ved demping ζ = 0.

ζ er relativ demping i forhold til den kritiske demping:

[math] \zeta = { c \over {2m \omega_0}} [/math]

(2.52)

Likning

[math] (mp^2 + cp + k) \tilde y = (cp + k) \tilde x [/math]

(2.53)

kan også skrives på formen:

[math] { \tilde y \over \tilde x } = { k + cp \over mp^2 + cp + k} [/math]

(2.54)

Denne kan utvikles videre:

[math] { \tilde y \over \tilde x } = {{ {k \over m} + {c \over m} p} \over { p^2 + {c \over m}p + {k \over m}}} [/math]

(2.55)

[math] { \tilde y \over \tilde x } = {{ \omega_0^2 + 2 \zeta \omega_0 p \over { p^2 + 2 \zeta \omega_0 p + \omega_0^2}}} [/math]

(2.56)

[math] { \tilde y \over \tilde x } = \omega^2 {1+ 2 \zeta {p \over \omega_0} \over 1 + 2 \zeta{p \over \omega_0} + \left( {p \over \omega_0} \right)^2 } [/math]

(2.57)

Dette gir:

[math] { \tilde y (p) \over \tilde x (p) } = {{ \omega_0^2 + 2 \zeta \omega_0 p \over { p^2 + 2 \zeta \omega_0 p + \omega_0^2}}} [/math]

(2.58)

Med

[math] x = x_0 \sin \omega t [/math]

(2.59)

[math] x (j \omega) = x_0 (j \omega)e^{j \omega t} [/math]

(2.60)

[math] y = y_0 \sin (\omega t + \theta) [/math]

(2.61)

[math] y (j \omega) = y_0 (j \omega)e^{j \omega t} [/math]

(2.62)

blir

[math] { y_0 (j \omega) \over \ x_0 (j \omega) } = {{ 1 + j2 \zeta { \omega \over \omega_0}} \over 1 - \left( { \omega \over \omega_0} \right)^2 + j2 \zeta { \omega \over \omega_0} } [/math]

(2.63)

Denne likningen beskriver forsterkningen til forskyvningen til massen m på grunn av ujevnhetene i underlaget. Den dynamiske bevegelse av massen i forhold til den statiske bevegelse av underlaget uttrykkes som:

[math] \left\vert H \right\vert_y = \left\vert { y_0 (j \omega) \over \ x_0 (j \omega)} \right\vert [/math]

(2.64)

I ovennevnte brøk framstiller telleren den dynamiske bevegelse til massen og nevneren framstiller den statiske bevegelse til underlaget (undergrunnen) på grunn av ujevnheter.

Uttrykkene 2.37 og 2.38 kombineres ved følgende omskrivning rent matematisk:

[math] \left\vert H \right\vert_y = {\left( 1+ \left( 2 \cdot \zeta \cdot { \omega \over \omega_0} \right)^2 \right)^{1 \over 2} \over \left( {\left( 1- \left( {\omega \over \omega_0} \right)^2 \right)^2 + \left( 2\cdot \zeta \cdot {\omega \over \omega_0} \right)^2} \right)^{1 \over 2} } [/math]

(2.65)

Det defineres en fasevinkel mellom y og x lik θ :

[math] \theta = \arctan \left( 2 \cdot \zeta \cdot { \omega \over \omega_0} \right)- \arctan \left( {{ 2 \cdot \zeta \cdot { \omega \over \omega_0}} \over 1 - { \left( { \omega \over \omega_0} \right)^2}} \right) [/math]

(2.66)

Det gjentas at ω er opptredende frekvens til massen på grunn av ujevnheter og at ω₀ er resonansfrekvensen eller egenfrekvensen til massen m.

Dersom

ζ << 1 og ω<< ω₀ blir θ tilnærmet lik 0^o

og

ζ << 1 og ω>> ω₀ blir θ tilnærmet lik 180⁰ eller π

Dette betyr at ved lav demping(ζ << 1) vil svingningen skje i fase med ujevnhetene i underlaget dersom opptredende frekvens ω er vesentlig mindre enn resonansfrekvensen. Videre vil ved lav demping svingningen skje i motfase om opptredende frekvens er høyere enn resonansfrekvensen.

Med

[math] x = x_0 \sin \omega t [/math]

(2.67)

blir 1. deriverte, dvs. hastigheten

[math] \dot x = \omega \cdot x_0 \cdot \cos \omega t [/math]

(2.68)

Den 2. deriverte gir akselerasjonen:

[math] \ddot x = - \omega^2 \cdot x_0 \cdot \sin \omega t [/math]

(2.69)

Med

[math] y = y_0 \cdot \sin ( \omega t + \Theta ) [/math]

(2.70)

kan på samme vis utledes at akselerasjonen på grunn av ujevnhetene blir

[math] \ddot y = \omega^2 \cdot y_0 \cdot \sin ( \omega t + \Theta ) [/math]

(2.71)

Forholdet mellom massens akselerasjon og bevegelsen av vognen på grunn av ujevnhetene i underlaget kan uttrykkes iht.

[math] { \ddot y_0 (j \omega)\over x_0 (j \omega)} = - \omega^2 { 1+ \left( j \cdot 2 \cdot \zeta \cdot { \omega \over \omega_0} \right) \over { 1- \left( {\omega \over \omega_0} \right)^2 + j \cdot 2\cdot \zeta \cdot {\omega \over \omega_0} } } [/math]

(2.72)

Forsterkningen i akselerasjonen kan uttrykkes ved

[math] \left\vert H \right\vert_y = \left\vert { \ddot y_0 (j \omega) \over \ x_0 (j \omega)} \right\vert [/math]

(2.73)

Innsatt i ovenstående likning med matematisk omskrivning blir:

[math] \left\vert H \right\vert_y = {\left( 1+ \left( 2 \cdot \zeta \cdot { \omega \over \omega_0} \right)^2 \right)^{1 \over 2} \over \left( {\left( 1- \left( {\omega \over \omega_0} \right)^2 \right)^2 + \left( 2\cdot \zeta \cdot {\omega \over \omega_0} \right)^2} \right)^{1 \over 2} } [/math]

(2.74)

Endelig kan den normerte akselerasjonsforsterkning uttrykkes:

[math] { \left\vert H \right\vert_y \over \omega_0^2 } = { \left( { \omega \over \omega_0 } \right)^2 } {\left( 1+ \left( 2 \cdot \zeta \cdot { \omega \over \omega_0} \right)^2 \right)^{1 \over 2} \over \left( {\left( 1- \left( {\omega \over \omega_0} \right)^2 \right)^2 + \left( 2\cdot \zeta \cdot {\omega \over \omega_0} \right)^2} \right)^{1 \over 2} } [/math]

(2.75)

Forsterkningen eller intensiteten mht. forskyvning |H| _y og normert forsterkning mht. akselerasjonen |H|ÿ/ω₀² er vist på figurene 2.25 og 2.26.

Figur 2.25 Forsterkning av forskyvningen til en masse som funksjon av opptredende svingningsfrekvens i forhold til resonansfrekvens

Figur 2.26 Forsterkning av akselerasjonen til en masse som funksjon svingningsfrekvens i forhold til resonansfrekvens

En viktig oppgave er derfor å optimere dempingen.

En mulighet er å etablere fjærkonstruksjon i to trinn. Den første fjærkomponenten skal virke på en mellomliggende masse (for eksempel en boggi) og den andre komponenten skal virke på den massen som må isoleres fra underlagets ujevnheter.

Det er nettopp dette som er tilfelle for en vogn med primærfjær og sekundærfjær. Vognen ha da en mellomliggende masse som er boggien. Denne boggimassen virker som et filter for høyfrekvente forstyrrelser.

3.8 Eksempel – ujevnheter i undergrunnen

Det skal illustreres et eksempel på hvordan vertikale bevegelser kan opptre i det rullende materiell ved framføring. Vognen har en hastighet lik v (m/s). I underbygningen eksisterer periodiske ujevnheter med avstand L mellom disse. Vognmateriellet vil da passere ujevnhetene med en frekvens lik

[math] f=v/L [/math]

(2.76)

Her betyr:

f = frekvens (Hz), (s^-1)

v = hastighet(m/s)

L = avstand mellom de periodiske ujevnheter (m)

Dette er vist i figur 2.27.

Figur 2.27 Sporkonstruksjon med periodiske ujevnheter i undergrunnen

På grunn av variasjon av elastisiteten i overbygningen vil det opptre en endring av den vertikale statiske deformasjon x₀(jω)= δ₀ i underlaget til sporkonstruksjonen ved passering av det rullende materiell. Vognen kan da anta en dynamisk bevegelse i vertikalretningen lik y₀(jω)= x₀.

Her betyr:

δ₀ er amplitude for den statiske deformasjon i vertikal retning i underlaget når et legeme med masse m passerer

x₀ er amplitude for den dynamiske bevegelse i vertikal retning i til legemet med masse m

ω₀ = p er massens egenfrekvens

ω = frekvens som det rullende materiell passerer de periodiske ujevnhetene med

Forholdet

[math] \left\vert H \right\vert_y = \left\vert { x_0 \over \ \delta_0 } \right\vert = { 1 \over 1 - \left( {\omega \over p } \right)^2 } [/math]

(2.77)

er vist i figur 2.28og 2.29. ζ er dempingsfaktor i forhold til kritisk demping for det rullende materiell. ζ = 1 medfører

[math] \left\vert H \right\vert_y \approx 1 [/math]

(2.78)

for alle ω/p₀

Figur 2.28 Bevegelse av vogn over ujevnhet i underbygningen

Figur 2.29 Dannelse av resonans

For f = v/L = w> p₀ vil tallverdien av H – funksjonen anta en lav verdi. Dette er meget gunstig mht. å unngå resonans og gjelder for alle dempingsforhold i forhold til kritisk demping. Forholdet medfører at det er fordelaktig å passere de periodisk opptredende ujevnheter med stor hastighet.

For f = v/L = ω< p₀ vil tallverdien av den samme funksjonen anta en lavere verdi enn verdien for resonans. Effekten mht. til å unngå resonans ved lavere hastigheter er ikke så gunstig som ved høyere hastigheter.

For f = v/L = ω= 0 blir forholdet lik 1. Da står vognen stille.

Det eksisterer ulike tiltak for å redusere vibrasjonene. Det mest effektive tiltaket er å eliminere den utøvende kraft som er årsak til vibrasjonene:

• jevn og homogen elastisitet i sporkonstruksjonen
• introdusere dempingselementer som myk mellom leggsplate(i gummi) mellom skinne og sville
• sørge for tilstrekkelig minimumshøyde i ballastlaget
• toget tvinges til en framføringshastighet hvor frekvensen ved passering av ujevnhetene i overbygningen er forskjellig fra egenfrekvensene til togets komponenter

3.9 Innvirkning på kjøredynamikken lateralt på grunn av feil i sporet

En type sporfeil som må vies oppmerksomhet, er langbølgede sidefeil med bølgelengderover ca. 30 m. Disse finnes spesielt i kurver og er vanligvis av periodisk karakter. Feilene er årsak til forstyrrelse av komforten. For krengetogene er krengeteknikken en funksjon av den ukompenserte sideakselerasjon i sporplanet og disse togtypene vil derfor være svært ømfintlige overfor langbølgede sidefeil. Dette er vist i figur 2.30. Eksemplet illustrerer en langbølget sidefeil på 80 m og en lateral forskyvning av sporet på 0,028 m ved kilden til sporfeilen..

Figur 2.30 Langbølgede sidefeil i sporet opptegnet i et diagram fra målevognskjøring

Kilden til langbølgede sidefeil er en alvorlig lateral sporfeil. Denne feilen forårsaker bevegelser sideveis av vognen som overfører dempede periodiske laterale bevegelser mot sporet. Dersom bølgelengdene korresponderer med resonansfrekvensen til en vogn i lateral retning, kan det oppstå ubehagelige situasjoner. I figur 2.31 støter vognen sideveis mot sporet med en kraft F₀ der hvor den alvorlige sporfeil er oppstått. Stivheten til sporet sideveis kan betegnes med k. ω er den frekvens som vognmateriellet passerer de periodiske ujevnhetene med. p er vognens resonansfrekvens. Sideveis bevegelse til vognmateriellet er x som vil variere som funksjon av avstand fra den alvorlige sporfeil. Uttrykket F₀/k beskriver den statiske deformasjonen i sporet. Iht. litteraturen kan følgende uttrykk utledes:

[math] x = { { F_0 \over k } \over 1 - \left( { \omega \over p } \right)^2 } \sin \omega t [/math]

(2.79)

Det dannes dempede svingninger. Disse kan beskrives av en omhyllingskurve. Det vises til figur 2.32.

Figur 2.31 Illustrasjon av langbølgede sidefeil

Figur 2.32 Forløp av dempede svingninger med omhyllingskurver

3.10 Bevegelseslikning for det rullende materiell

I de foregående avsnitt er det blitt diskutert utførlig den vertikale bevegelse til et enkelt legeme eller masse. En enkel svingningsteori for kun en bevegelse er betraktet. Forsterkningen av forskyvningen til massen i forhold til underlagets endring av deformasjonen på grunn av varierende elastisitet og tilfelle for resonansbevegelser er diskutert.

Det er påpekt at det er til sammen 6 mulige bevegelser for en masse eller legeme som beveger seg langs sporet:

• langsgående bevegelseell er rykk i kjøreretningen
• lateral bevegelseeller sidesleng
• vertikalbevegelseeller hopping
• rotasjonsbevegelseeller rulling
• galoppering eller vipping
• svingning

Ved å betrakte alle disse bevegelsene til et legeme blir naturligvis forholdet vesentlig mer komplisert og omfangsrikt enn når bare en bevegelse (den vertikale) betraktes.

Et rullende materiell kan tenkes sammensatt av flere enkeltstående legemer som er forbundet med fjærer og dempere. I en slik sammensatt modell hvor bevegelsen til hver del beskrives av 6 frihetsgrader, kan den resulterende bevegelse av modellen beskrives av en vektor med forskyvning

[math] \bar X [/math]

(2.80)

av alle frihetsgrader.

Legemene og deres systemtregheter med hver frihetsgrad kan bli uttrykt ved en matrise

[math] \left[ M \right] [/math]

(2.81)

og forholdet mellom forskyvning og hastigheten til frihetsgradene. Stivhetene og dempingen kan uttrykkes ved matrisene

[math] \left[ K \right] [/math]

(2.82)

[math] \left[ C \right] [/math]

(2.83)

Likninger for bevegelse av en modell kan skrives på følgende form:

[math] \left[ M \right] \ddot X + \left[ C \right] \dot X + \left[ K \right] X = F [/math]

(2.84)

F er eksterne krefter som virker på vognen.

Matrisen for demping må skrives på formen

[math] \left[ C \right] = \left[ C_1 \right] + {1 \over V} \left[ C_2 \right] [/math]

(2.85)

Dette fordi dempingen tar i betraktning stivhet og hastighetsavhengige elementer.

Løsningen av disse likningene i matrisene gjør det mulig å beregne stabilitet, kjøreegenskaper og evnen til å gjennomløpe kurver til et rullende materiell ved å ta hensyn til materiellets ulike komponenter (ikke bare et legeme med en masse).

3.11 Dynamisk modell av vogn-spor

Den gjensidige dynamiske påvirkning mellom rullende materiell og spor kan matematisk beskrives meget godt og definert i vertikal retning. Figur 2.33gir et eksempel på en slik modell som består av et diskret (avsondret) masse - fjær system for det rullende materiell og en diskret opplagret bjelke på elastisk underlag. I kontaktflaten mellom hjul og skinne eksisterer den såkalte Hertzian fjæren.

Den dynamiske oppførsel opptrer i et meget vidt bånd fra lave frekvenser i størrelsesorden 0,5 - 1,0 Hz for vertikale og laterale akselerasjoner opp til 2000 Hz i vognkasse som en konsekvens av geometriske ujevnheter i skinner og på hjulbane.

Figur 2.33 Dynamisk modell av vogn - spor

Det skal i det etterfølgende bli forsøkt å skape en forståelse for de dynamiske krefters natur ved beskrivelse av sporets og det rullende materiellets dynamiske karakter. Et dynamisk system som består av fjærer og masser har i det minste en egenfrekvens. Ved denne frekvensen vil systemet vibrere. Det er allerede nevnt at et enkelt system med én masse og én fjær med stivhet k har egenfrekvens iht. følgende formel:

[math] f_0 = {{ \sqrt { k \over m}} \over 2 \pi } [/math]

(2.86)

Her betyr:

f₀ = egenfrekvens(Hz), (s^-1)

k= fjærkonstant(kN/mm)

m= masse i kg

Det kan utledes av formelen at en stor masse med myk fjær gir lave frekvenser. Omvendt vil en liten masse med stiv fjær forårsake høye frekvenser.

Sporet er bygd opp av flere komponenter. Et konvensjonelt spor består av skinner, befestigelse med fjærer og mellomleggsplater (elastisk skinnebefestigelse), sviller og endelig ballast samt underbygning. På samme måte kan det rullende materiell deles opp i vognkasse, boggiramme og hjulsats.

Et system bestående av sporet og det rullende materiell kan illustreres som vist i figur 2.25. I denne formen er vognmateriellet forbundet med fjæroppheng og demper mellom vognkasse og boggi(sekundærfjær) og et nytt fjæroppheng med demper mellom boggi og hjulsats. Den direkte kontaktflaten mellom hjul og skinne kan beskrives ved den såkalte Hertzian-fjæren. Det høyelastiske mellomlegget mellom skinne og sville kan også betraktes som en fjær med gitt stivhet og demper. Under sville hviler ballasten på en underbygning. Alt etter undergrunnens beskaffenhet har ballasten forskjellige stivheter.

Systemet består altså av flere legemer som er forbundet med hverandre gjennom fjærer og dempere. Hvert av disse legemene kan da tilordnes hver sin egenfrekvens. Dessuten er det nødvendig å betrakte systemet som en helhet med en resulterende egenfrekvens. Det er påvist at hver komponent i sporet blir utsatt for ulik påkjenning fra samme dynamiske kraft mot skinnens kjøreflate. Dette henger sammen med at sporet og det rullende materiell kan betraktes som et dynamisk system som beskrevet. De opptredende frekvenser for de enkelte legemer i systemet kan beregnes iht. følgende formel:

[math] f = {{ \sqrt { k \over m}} \over 2 \pi } [/math]

(2.87)

hvor

f = det enkelte legemets egenfrekvens

k= legemets stivhet (N/m)

m= legemets masse (kg)

Normalt vil vognkassen ha den største massen og det mykeste fjæropphenget i systemet. Med tilordnet demper medfører dette lave frekvenser i vertikal bevegelse. Boggirammen har mindre masse og som regel stivere fjær. Dette medfører høyere frekvenser. Hertzian-fjæreni kontaktflaten mellom hjul og skinne er meget stiv og fører til særdeles høye frekvenser. Den resulterende masse bestående av komponentene i sporet opptrer som ekvivalent medsvingende masse. Denne ekvivalente medsvingende masse er normalt mindre enn vognkassens masse og har også en høyere fjærstivhet.

Dette fører som regel til høyere frekvenser for sporet enn for vognkassen. Spesielt i tunneler med lav ballasthøyde og uten ballastmatter kan frekvensene bli til dels meget store.

Det rullende materiell forårsaker resulterende egenfrekvenser i området 0 < f < 30 Hz. Den resulterende svingende masse er bestemt ut fra vekten av vognkasse, boggiramme, og hjulsats. I den nedre delen av dette frekvensområdet kan sporet antas å være stivt og ubevegelig.

I frekvensområdet 20 < f < 60 Hz oppstår en sone hvor hjulsats og spor danner et felles svingende system. Den svingende masse blir summen av hjulmasse og ekvivalent medsvingende spormasse.

For høyere frekvenser vil sporet igjen stivne og det oppstår resonanssvingninger mellom hjul og skinne. Dette medfører store overflatespenninger på hjul og skinne.

Figur 2.34viser hvilke deler i vognmateriellet som antar bestemte typer av resonansbevegelser ved gitte hastigheter og ved hvilke bølgelengder disse bevegelsene inntreffer.

Figur 2.34 Egenfrekvenser for de enkelte komponenter i vognmateriellet

I diagrammet er angitt bølgelengde langs abscissen og ordinaten viser hastighetsnivået. Intervallområdene for resonansbevegelser for de ulike deler av vognmateriellet er inntegnet. Det framgår f.eks. at vognkassen til en vogn vil anta vertikalbevegelser(hopping) i frekvensområdet 1 - 2 Hz. Avhengig av framføringshastighet(10 m/s til 60 m/s) vil den periodiske bølgelengde variere fra 5 m opp til 50 m.

Et lokomotiv vil anta resonansbevegelser mht. hopping og galoppering i frekvensområdet 5 til 15 Hz. Dette skjer i bølgelengdeområdet 0,5 m til 5,0 m i angitt hastighetsområde.

Tilsvarende vil det opptre hopping av hjulsett til en boggi i frekvensområdet 30 - 50 Hz i samme hastighetsintervall (10 m/s - 60 m/s) ved bølgelengder i området 0,2 m til 2,0m. Det gjøres oppmerksom på at svilleavstanden er 0,6 m. Svillene representerer en plutselig forandring i elastisitetsforholdene i sporkonstruksjonen, spesielt ved for lav ballasthøyde. Dette kan under ekstreme forhold føre til resonansbevegelser.

Det skal gis en teoretisk betraktning mht. bevegelse av en partikkel på sporet hvor en bølge i sporets overflate i en idealisert tilstand tenkes beskrevet ved følgende funksjon:

z = z₀ cos kx

hvor

k = 2π/L

Her betyr:

L = bølgens lengde (m)

z₀= bølgens amplitude

En massepartikkel beveger seg på bølgens overflate med hastighet

v(m/s)

Med tilbakelagt vei

x = vt

vil massepartikkelen i tidsperioden bevege seg

z = z₀ cos kvt

I en definert tidsperiode T beregnes bølgelengden til:

L = vt (m)

eller

L = v/f

hvor

f = 1/T (s^-1) eller (Hz)

Dersom sporet tenkes helt stivt, dvs. i frekvensområdet f < (20 - 30) Hz, vil bølgelengder iht.

L = vf^-1

variere i området 2 m < L < 60 m ved hastighet ca. 60 m/s.

Tilsvarende oppnås aktuelle bølgelengder i frekvensområde 30 < f < (60 - 100) Hz lik 0,60 m < L < 2 m.

3.12 Hertzian - fjæren

Gjennom den gjensidige påvirkningen i vogn - sporsystemet blir krefter overført ved kontaktflaten mellom hjul og skinne. Denne kraften F forårsaker en vertikal bevegelse av hjulet til boggien og sammenhengen mellom bevegelse og kraft uttrykkes ved den såkalte Hertzian-fjæren. Den antatte lineariserte stivheten til Hertzian-fjæren kan beskrives ved differensialligningen

[math] k_H = { dF \over dy } [/math]

(2.88)

Dette betyr at stivheten kH beskriver en lineær forandring av kraft over en gitt lengdeenhet. Egentlig er denne stivheten ikke lineær, men dette blir altså antatt i den matematiske modell.

Stivheten kH er i litteraturen angitt som en funksjon av aksellast og hjuldiameter. Som eksempel kan nevnes at for en hjuldiameter på 1,00 m og en statisk hjullast lik 75 kN er det beregnet en verdi for kH lik:

1,4 x 10⁹ N/m for nye hjul

1,6 x 10⁹ N/m for eldre hjul

Det blir altså antatt en stivere verdi for eldre hjul enn for yngre hjul.

Iht. figur 2.35 kan sammenhengen mellom den gjensidige påvirkningskraften F_H og forandringen i lengden til Hertzian-fjæren bestemmes ved følgende ligning:

[math] F_H = k_H \cdot ( y_W -y_R -y_G ) [/math]

(2.89)

Her betyr:

y_W= den vertikale forskyvning av hjulet i nivå med aksel

y_R= den vertikale forskyvning av skinnen under påvirkning av kraft F_H

y_G= vertikal geometri av skinnen

k_H= den lineariserte stivhet i Hertzian-fjæren

F_H= vertikal dynamisk kraft i kontaktflate hjul–skinne

Figur 2.35 Hertzianfjæren

For å holde de dynamiske kreftene så lave som mulig er det nødvendig å vektlegge forskjellige aspekter ved konstruksjon av vognmateriell.

Vognen må utøve stabilitet innenfor det hastighetsområde den er dimensjonert for. Dette betyr at det må være tilstrekkelig nivåer på alle dempere i relevante vibrasjonsområder. Over tid slites hjulflensen og forandring av konisiteten oppstår. Spesielt ved høyere hastigheter kan forandring av konisitet føre til ustabilitet ved framføring av det rullende materiell.

Mht. komfort for passasjerene er det nødvendig å innføre myke fjæroppheng. Sammen med stor vognmasse medfører dette lave vertikale egenfrekvenser.

Store sporkrefter og derved utmatting samt slitasje oppstår på sporet på grunn av stor vognmasse og spesielt på grunn av den uavfjærede masse. Uavfjæret masse er massen under det primære fjæropphenget til vognen og er derfor massen som hviler direkte på kontaktflaten mellom hjul og skinne.

Det må av den grunn gjøres avveininger eller kompromisser mht. konstruksjon av vognmateriell. Tunge vogner vil bevirke god komfort fordi de reagerer tregt på ujevnheter i sporet. På den annen side vil tung masse føre til utmatting på sporets komponenter.

Det er helt nødvendig å unngå flate hjul for å hindre hjulslag.

Men det må også stilles krav til overbygningen. Overbygningen må ha jevn og homogen elastisitet. Ballastlaget må derfor være ensartet og ha konstant høyde. Videre bør ballastlaget legges på en underbygningskonstruksjon hvor formasjonsplaneter lagt ut med stor nøyaktighet mht. jevnhet (helt plant). Ujevnheter i formasjonsplanet kan føre til uheldige bevegelser av materiellets ulike deler i vertikalretningen med resonansfrekvenser som følge.

4 HJULSETTPÅ SKINNEBUNDET SPOR

Bevegelsesmønsteret til hjulsettet til et vognmateriell på skinnebundet spor er fundamentalt for forståelsen av kjøredynamikken. I dette avsnittet skal det gis en beskrivelse av bevegelsene. I neste avsnitt følger de matematiske likninge som er forbundet med framføring av det rullende materiell.

4.1 Differanse i rulleradius til hjulene i hjulsettet

Hjulbanene til hjulene i et hjulsett er formet konisk. Når hjulsettet antar en lateral bevegelse i forhold til spormidt, vil rulleradius bli endret. Dette er illustrert i figurene 2.36,2.37 og 2.38. Figur 2.36 viser tilfellet når hjulsettet beveger seg med nominell hjulradius r_NOM . Når flensen til hjulet flytter seg mot innvendig kant av skinnehodet, vil rulleradius til hjulbanen i kontaktpunktet mellom hjul og skinne r_c. øke. Beveger flensen til hjulet seg vekk fra innvendig skinnekant, blir rulleradius mindre enn r_NOM .

Figur 2.36 Rulleradius r_NOM til hjulbanen i kontaktpunktet mellom hjul og skinne.

Figur 2.37 Rulleradius r_C til hjulbanen i kontaktpunktet mellom hjul og skinne. Rulleradius er større enn nominell radius.

I figur 2.38 er vist et tilfelle hvor rulleradius r_C kan bli meget stor.

Figur 2.38 Kontaktpunktet mellom hjul og innvendig skinnekant ligger i flensområdet.

Etter som hjulsettet beveger seg lateralt fra den midtre eller nominelle posisjon, vil en hjulflens nærme seg innvendig kant av skinnehodet. Den andre hjulflensen vil fjerne seg fra skinnehodet. Dette medfører at rulleradius til hjulbanen i kontaktpunktet for det ene hjulet vil øke. Tilsvarende vil rulleradius til hjulbanen i kontaktpunktet til det andre hjulet avta. Dermed oppstår det en differanse i rulleradius til de 2 hjulene i hjulsettet.

Dersom hjulprofilene var helt koniske, ville gravitasjonssenteret til hjulsettet ha samme høyde ved lateral bevegelse. Men vanligvis er hjulsettene utsatt for slitasje som fører til hult profil. Dette medfører en kraftig endring av hjulradius for det hjulet hvor flensen nærmer seg innvendig kant av skinnehodet. Differensen i rulleradius til hjulbanene for de 2 hjulene vil da bli meget stor. Gravitasjonssenteret til hjulsettet vil løfte seg litt. Forholdet kan medføre klatring som til slutt kan ende i avsporing. Dette vil imidlertid bli forsøkt hindret av hjulsettets treghet og stivhet til primærfjæren. I figur 2.39er det vist forskjellen mellom et korrekt konisk profil og et slitasjeprofil.

Figur 2.39 Forskjellen mellom konisk profil og slitasjeprofil.

4.2 Effekt av lateral bevegelse av hjulsettet

Dersom et hjulsett beveger seg f.eks. lateralt til venstre i forhold til sporet i kjøreretningen, så vil rulleradius til hjulbanen til det venstre hjulet r_L øke. Det vises til figur 2.40. Rulleradius til hjulbanen til det høyre hjulet derimot vil avta når hjulet beveger seg fra skinnen. Når omkretsen til det venstre hjulet blir større, vil det prøve å rulle videre ved en gitt rotasjonshastighet. Når fjæringen til slutt utøver motstand, vil det oppstå motsatt like store langsgående krefter på de 2 hjulene. Dette medfører et dreiemoment som forsøker å bringe hjulsettet tilbake til senterlinjen i sporet.

Figur 2.40 Lateral bevegelse av hjulsettet.

Dersom hjulsettet beveger seg med en anløpsvinkel i sporet, vil hjulene i hjulsettet prøve å fortsette rullingen i den angitte retning. Dette er vist ved de svake angitte dobbeltpilene i figur 2.41. Dersom hjulsettet i denne stillingen b tvunget til å fortsette den parallelle bevegelsen i sporet (angitt ved de svarte dobbeltpilene), vil det oppstå laterale krefter på hjulbanen til hvert hjul.

Figur 2.41 Hjulsettet beveger seg på sporet med en anløpsvinkel

Dersom det er hjulflensen som framtvinger hjulsettet til å løpe parallelt med sporet med anløpsvinkel, så vil det fremdeles være en lateral kraft F på hjulbanen til hvert hjul. Hjulflensen på det venstre hjulet må imidlertid utvikle en kraft på 2 F i retning mot høyre for å overvinne hjulbanekreftene. Når hjulbane- og hjulflenskreftene summeres på det venstre hjulet, vil det oppstå en netto kraft lik F mot høyre på det venstre hjulet. Det vil da bli en rotasjonsbevegelse mot høyre. Dette er vist i figur 2.42.

Figur 2.42 Motsatt rettede krefter i hjulbanen framtvinger en dreining av hjulsettet mot høyre

Kreftene vist i figur 2.42 er de resulterende krefter på hjulene. Kreftene på skinnene vil bli like store og motsatt rettet. Dette betyr at hjulsettetvil generere krefter som vil trekke skinnene fra hverandre og dermed føre til større sporvidde.

4.3 Bevegelse av et fritt hjulsett på rett linje

Det antas at et fritt hjulsett beveger seg på et spor. Videre forutsettes at hjulsettet starter denne bevegelsen fra en forskjøvet posisjon. På grunn av forskjell i rulleradius til hjulbanene på de 2 hjulene vil hjulsettet av seg selv styre inn mot senterlinjen av sporet. Når hjulsettet når senterlinjen av sporet, vil det danne en anløpsvinkel i forhold til skinnene. Av den grunn vil hjulsettet gå mot den andre siden av sporet og bevegelsene vil fortsette på denne måten. Bevegelsesmønsteret er vist i figur 2.43.

Denne trigonometriske bevegelsen på sporet betegnes som hjulsettets kinematiske bevegelse og er kun en funksjon av det geometriske systemet. Bestemmende parametre er den effektive konisitet til hjulsettet, hjulradius og sporvidde. Den effektive konisitet utledes av helningen på skinnene og de koniske hjulene på hjulsettet. Den bølgelengde som oppstår, kalles den kinematiske bølgelengde og er uavhengig av hastighet. Dette medfører at frekvensen av den kinematiske bevegelse øker lineært med økende hastighet.

Denne bevegelsen kan i siste konsekvens føre til ustabilitet og såkalt hunting (hjulflensen støter mot skinnekantens innside).

Figur 2.43 Bevegelse av et hjulsett i en kurve

I en kurve vil den ytre skinnen være lenger enn den indre skinnen. Dersom hjulsettet beveger seg tilstrekkelig langt nok lateralt mot den ytre skinne ved framføring, vil differensen i rulleradius til hjulbanene til de 2 hjulene utligne forskjellen i lengde. Et hjulsett som følger en slik bevegelse i en kurve, betegnes å følge den ideelle linje. Dette er illustrert i figur 2.44.

Figur 2.44 Bevegelse av hjulsett i kurve

Et hjulsett som har radielle egenskaper og som følger den ideelle linje, vil løpe perfekt gjennom kurven. Dermed vil tilleggskrefter ikke genereres. Imidlertid er det viktig å være klar over at størrelsen av tilgjengelig lateral bevegelse vil bli begrenset ved hjulflensens tilstedeværelse. For et hjul med konisitet lik 1 : 20 vil det være nødvendig med en radius lik 1700 m for at hjulsettet skal følge den ideelle linje uten flenskontakt.

4.4 Rullende friksjon

Friksjonskrefter oppstår på grunn av differanse i rulleradius til hjulbanene i hjulene og på grunn av anløpsvinkel. Disse friksjonskreftene er forskjellig fra den klassiske glidende friksjon. Dette har sin bakgrunn i at hjulsettet ruller langs sporet.

Teorien og forståelsen av den rullende kontakt er fundamental for utviklingen av den teoretiske forståelse av kontakten hjul/skinne.

Den rullende kontakt eller den relative bevegelse mellom hjul og skinne benevnes kryp. Kryp er hastigheten av overflatekontakten til det ene legemet relativt til overflatekontakten til det andre legemet. Krefter på grunn av kryp kalles krypkrefter.

Et typisk krypkraft/krypforhold er vist i figur 2.45. Ved den glidende friksjon bygges kraften opp til et høyt nivå med en gang. Men med en gang den er oppstått, synker den glidende krypkraft med økende relativ hastighet. Mht. den rullende friksjon vil kraften være proporsjonal med den relative hastighet eller kryp ved lave verdier. Ved høyere verdier av hastighet/kryp vil kraften nærme seg asymptotisk mot et nivå som er gitt ved friksjonskoeffisienten multiplisert med normallast lik N.

Figur 2.45 Rullende friksjon og glidende friksjon

5 SAMVIRKE MATERIELL - BANE, KONISITET

I det foregående avsnitt ble bevegelsen av hjulsettet beskrevet. I dette avsnittet skal de matematiske sammenhenger diskuteres.

Generelt har hjulene følgende oppgaver:

• Bære det rullende materiell
• Styre det rullende materiell i lateral retning
• Overføre trekk- og bremsekrefter

5.1 Hjulsatsen

Hjulsatsen er et av jernbaneteknikkens grunnleggende konstruksjonselement. Hvert av hjulene har en hjulbane som er i kontakt med skinnen og en flens. Hjulflensens oppgave er å styre hjulsettet lateralt i sporet.

De 2 hjulene i et hjulsett er forbundet med en aksel. En hjulsats kan dermed beskrives som et par konede hjul med flenser hvor hjulene er stivt forbundet med akselen.

Figur 2.46 illustrerer et hjulsett på sporet.

Figur 2.46 Definisjon av viktige parametre for en hjulsats på sporet.

Følgende parametre defineres:

• Nominell sporvidde som er avstanden mellom kontaktpunktene for

løpebanenes middellinjer (sirkellinjer) på skinnene. Denne parameteren er meget viktig og må ikke forveksles med sporvidde. Nominell sporvidde skal være 1500 mm.

• Sporvidde som er avstanden mellom innsiden til de 2 skinnene målt 14 mm

under skinnetopp. Sporvidden skal være 1435 mm. Toleranseverdier er vanligvis + 10 mm og - 3 mm for et spor av vanlig bra standard. Detaljerte toleransemål i de ulike hastighetsavhengige kvalitetsklaser er gitt i regelverket.

• Flensvidde som er avstanden mellom hjulflensene mot innside av

skinnekant målt 10 mm under overkant av skinnetopp for et spor med nominell sporvidde. Det forutsettes at hjulsettet er i sentrert posisjon. Flensvidden er 1426 mm med toleranseverdier lik + 0 mm og -16 mm.

• Hjulvidde som er avstanden mellom innside av hjulene og er 1360 mm på

et standard spor med nominell sporvidde lik 1500 mm. Toleranseverdiene er + 3 mm og - 3 mm.

• Sporspillet er klaringen mellom hjulsettet og sporet og er dermed den

avstand hjulsettet kan bevege seg lateralt. Denne avstanden er ikke den samme som avstanden mellom sporvidde og flensvidde.

• Andre viktige parametre for hjulet er flenstykkelse, flenshøyde og det

såkalte q_R målet.

q_R måletdefineres som horisontal avstand målt fra et punkt i en høyde på 2 mm fra underkant hjulflenstil et punkt som er 10 mm over hjulbanen ved løpesirkelen. Det vises til figur 2.47.

Figur 2.47 Definisjon av q_R - målet.

Ved Jernbaneverket skal q_R ikke underskride 6,5 mm. Ved en lavere verdi vil innvendig side av flensen bli meget bratt. Dette øker faren for avsporing.

5.2 Hjulets konisitet

Det er nevnt at hjulets løpebane er konisk formet.

Årsaken til dette er at konisiteten gir en styremulighet for hjulsatsen i sporet på rett linje og i kurver. I den etterfølgende betraktning skal det antas at hjulenes hjulbaner har en rak konisk form.

Figur 2.48 Konisitet for hjulene i et hjulsats

Figur 2.48 viser kontaktpunktene mellom hjulene til et hjulsett og skinnene. Det er antatt at hjulsettet er sentrert. Dersom hjulsettet beveger seg lateralt mot høyre på grunn av klaringen, vil rulleradius til det høyre hjulet, r_H , bli større. Likeledes vil rulleradius til det venstre hjulet, r _V , bli mindre.

Dersom hjulsettet derimot beveger seg mot venstre, vil r_V bli større og r_H vil anta en lavere verdi.

Denne differansen mellom størrelsen på de 2 hjulradiene til hjulene er en meget viktig parameter for å kunne beskrive hjulsettets bevegelser. Under antakelse av at hjulets hjulbane er ideelt konisk utformet, kan følgende enkle matematiske sammenhenger iht. betegnelser i figur 32 utledes ved lateral bevegelse av hjulparet mot høyre:

[math] r_V = r_0 - \lambda \cdot y [/math]

(2.90)

[math] r_H = r_0 + \lambda \cdot y [/math]

(2.91)

Her betyr:

r_V er rulleradius til det venstre hjulet i kontaktpunktet med skinne

r_H er rulleradius til det høyre hjulet i kontaktpunktet med skinne

r₀ er midlere rulleradius til hjulet

λ er hjulbanens konisitet eller helning

y er lateral forskyvning av hjulsettet

For et konisk hjulsett er verdien av λ gitt ved vinkelen til det koniske kjegleutsnittet. For l lik 0,05 er konisiteten eller helningen til hjulbanen med horisontalen lik 1 : 20. Tilsvarende er for λ lik 0,025 konisiteten til hjulbanen lik 1 : 40.

Imidlertid i praksis er variasjonen eller endringen i hjulradius for hvert hjul en meget kompleks funksjon. Viktige parametre er hjulets og sporets geometri. Dette har sammenheng med at hjul med rak konisitet i hjulbanen etter hvert vil bli utsatt for slitasje i hjulbanen. Det kan danne seg en dobbelflens som vist i figur 2.49. Et annet fenomen er dannelse av en falsk flens. Et slikt slitasjeprofil vil kunne oppstå relativt hurtig, bl.a. på grunn av bremsing. Men når det først har oppstått, vil profilet være ganske stabilt og det opptrer da som et slitasjetilpasset profil.

Både dobbelflens og falsk flens vil i varierende grad føre til tvangsstyring av hjulsettet.

Figur 2.49 Slitt profil i hjulbane med dannelse av dobbel flens og falsk flens

5.3 Kontaktpunktsgeometri

Mellom hjul og skinne dannes en kontaktflate. Dersom normalkraften i kontaktflaten går mot null, vil kontaktflaten bare bli et punkt. Dette punktet kalles kontaktpunktet.

Den geometriske formen på kontaktflaten mellom hjulbane og skinnehode er normalt elipseformet.

Kontaktellipsens størrelse kan beregnes ved hjelp av Hertz’ kontaktteori. Kontaktellipsens flateinnhold er ca. 1 - 2 cm². Dette er illustrert i figur 2.50.

Figur 2.56 Ekvivalent konisitet

Det framgår at funksjonen ikke beskriver en rett linje. For å oppnå en “ ekvivalent konisitet” vil det være nødvendig å trekke en rett linje gjennom den ikke-lineære grafen for best mulig tilpassing. Dette kan gjøres ved å benytte en veiet funksjon som tar hensyn til den tiden som hjulsettet bruker for hver verdi av den laterale posisjon hjulsettet har. Den mest normale veide funksjon er normalfordelingsfunksjonen sentrert om sporets senterlinje og med et standardavvik lik 2,5 mm. Ved å bruke en slik veiet funksjon kan den best tilpassede rette linje for å beskrive den ekvivalente konisitet uttrykkes ved:

Figur 2.50 Kontaktellipsens flate er normalt 1 - 2 cm²

Dersom det dannes kun ett kontaktpunkt mellom hjul og skinne, råder ettpunktskontakt. Det vises til figur 2.51.

Figur 2.51 Ettpunktskontakt mellom hjul og skinne

2 kontaktpunkter mellom hjul og skinne betegnes topunktskontakt. Dette er illustrert i figur 2.52.

Figur 2.52 Topunktskontakt

Det skal bemerkes at for et hjul med slitasjetilpasset hjulbane på en slitt skinne forflyttes kontaktpunktet som regel kontinuerlig mot hjulflensen når hjulet forskyves lateralt i forhold til skinnen.

5.4 Ekvivalent konisitet

Når et hjul forskyves lateralt i forhold til skinnen, medfører dette en endring av flere parametre som har betydning for kontaktpunktet mellom hjul og skinne.

Den laterale forskyvning til hjulsettet betegnes y. Flere parametre vil være avhengig av denne bevegelsen. Det innføres:

r₀ er hjulradius i løpesirkelen

Δr er økning i hjulradius

γ er kontaktpunktsvinkelen

ΔZ_H er hjulløftet

Δy er sideforskyvning av kontaktpunktet hjul – skinne, denne defineres som positiv når hjulets flens nærmer seg skinnen

Figur 2.53 viser definisjonen av disse parametrene.

Figur 2.53 Definisjon av parametre i kontaktpunktet hjul/skinne

Med bakgrunn i ovennevnte vil det for en gitt hjul/skinne kombinasjon dannes de tre kontaktpunktsfunksjonene:

[math] \Delta r = f_1 ( \Delta y ) [/math]

(2.92)

[math] \gamma = f_2 ( \Delta y ) [/math]

(2.93)

[math] \Delta Z_1 = f_3 ( \Delta y ) [/math]

(2.94)

Med effektiv konisitet for et hjul menes kvotienten mellom økning i rulleradius og den laterale forskyvning mellom hjul og skinne:

[math] \lambda_{EFF.} = {\Delta r \over \Delta y} [/math]

(2.95)

Oftest er det imidlertid den effektive konisiteten for et hjulsett som er av interesse. Denne konisiteten uttrykkes som kvotienten mellom den halve forskjellen i rulleradius mellom de 2 hjulene og den laterale forskyvning mellom hjul og skinne:

[math] \lambda_{EFF.} = {\Delta r_L - \Delta r_R \over \ 2 \cdot \Delta y} = { r_L - r_R \over \ 2 \cdot \Delta y} [/math]

(2.96)

Det vises til figur 2.54.

Figur 2.54 Ved en sideforskyvning av hjulsettet endres hjulenes rulleradius

Dersom hjulbanene til de 2 hjulene har den samme konisitet(rak konus), er den effektive konisitet identisk med konusvinkelen dvs. kontaktpunktsvinkelen. For dette tilfelle gjelder:

[math] \Delta r = \gamma_0 \cdot \Delta y [/math]

(2.97)

[math] \gamma = \gamma_0 [/math]

(2.98)

[math] \Delta Z_H = \gamma_0 \cdot \Delta y [/math]

(2.99)

Dette gir:

[math] \Delta r = \Delta Z_H [/math]

(2.100)

Det vises til figur 2.55.

Figur 2.55 Effektiv konisitet ved rett konus

Det framgår av ovennevnte at med et slitt profil vil den aktuelle konisitet være avhengig av formen på skinnehodet og hjulbanen samt slitasje på øvrige komponenter. Sporvidde og skinnehelning har også innflytelse.

Uttrykket (r_L-r_R) gjenspeiler den øyeblikkelige differanse i rulleradius til hjulbanene for et hjulsett. I praksis er denne differansen en ikke-lineær funksjon av den laterale forskyvning Δy av hjulsettet mht. senterstillingen.

Et diagram som beskriver differansen i rulleradiusuttrykt ved (r_V - r_H) i forhold til den laterale bevegelse Dy av hjulsettet kan opptegnes. Et eksempel er vist i figur 2.56.

[math] \lambda_{EFF.}= {1 \over 2}\cdot \int {{N( \Delta y )\cdot ( r_L - r_R )} \over \Delta y } d( \Delta y ) [/math]

(2.101)

N representerer normalfordelingsfunksjonen mht. hyppighet av den enkelte laterale forskyvning ved en bestemt verdi av differanse i rulleradius.

Når hjulsettet gjennomløper en kurve, vil de 2 hjulene ha forskjellig distanse tilbakelegge. Dette fordi den ytre skinnestrengen er lengre enn den indre skinnestrengen i kurven. Dersom differansen i rulleradius til de 2 hjulene forholder seg til differansen i lengde til skinnestrengene, så vil hjulsettet gjennomløpe kurven på en perfekt måte. Dette er illustrert i figur 2.57.

Figur 2.57 Gjennomløp av hjulsett i kurve i nøytrallinjen

Hjulsettets laterale posisjon i en riktig stilling i kurven kan uttrykkes ved følgende formel:

[math] {R + l_0 \over r_R}= {R - l_0 \over r_L} [/math]

(2.102)

Her betyr:

r_V = rulleradius til det venstre hjulet

R = kurvens radius

l₀= halv sporavstand

r_H = rulleradius til det høyre hjulet

Dersom hjulbanene til hjulene er teoretisk formet med riktig konisitet, kan beliggenheten til den nøytrale linjen i kurven beregnes mht. forskyvning fra spormidt:

[math] y_e = {r_0 \cdot l_0 \over \lambda \cdot R} [/math]

(2.103)

Her betyr:

r₀= sentersirkel i hjulbanen til hjulet

l = konisitet til hjulene

Kontaktpunktvinkelen er allerede nevnt. Størrelsen på kontaktpunktsvinkelen er meget viktig da kraften normalt på kontaktpunktet gir opphav til en lateral komponent. Kraften normalt på kontaktpunktet skal bære vekten av det rullende materiell som framføres. Dersom hjulsettet har hjul som er teoretisk konisk utformet, så vil konisiteten til hjulet i kontaktpunktet være den samme som kontaktpunktsvinkelen. Dette gjelder under forutsetning av at flenskontakt blir unngått. For et profilert hjul vil den opptredende kontaktpunktsvinkelen d variere etter som hjulsettet beveger seg langs skinnene. På samme måte som en differanse i rulleradiustil hjulene i et hjulpar oppstår, vil det oppstå en differanse i størrelsen på kontaktpunktsvinkelen til de samme hjulene. Denne differansen kan uttrykkes ved

[math] (\gamma_R -\gamma_L) [/math]

(2.104)

Denne differansen i kontaktpunktsvinkelenkan beregnes og en lineær kontaktpunktsvinkel som parameter kan bestemmes relatert til (γ_R - γ_L) som funksjon av den laterale forskyvning y:

[math] \epsilon = l_0 \cdot {(\gamma_R -\gamma_L)\over 2y} [/math]

(2.105)

Dette er antydet i figur 2.58.

Figur 2.58 Definisjon av kontaktpunktsvinkel

Det er allerede nevnt at hjulbaner på hjul med rak konus etter hvert vil forandre form på grunn av slitasje. For små sideforskyvninger mellom hjul og skinne kan hjulflaten og skinneflaten i området for det nominelle kontaktpunktet med en viss tilnærming anses å ha konstante krumningsradier i tverrplanet. Det forutsettes videre at kontaktpunktsvinkelen i normal stilling ved forskyvning y=0 er λ=γ₀.

Under forutsetninger av små laterale forskyvninger kan den effektive konisitetenberegnes iht.:

[math] \lambda_{EFF.} = \gamma_0 \cdot {r_{TH} \over r_{TH} - r_{TR}} [/math]

(2.106)

Her betyr:

r_TH = krummningsradius til hjulbanen

r_TR = krummningsradius til skinnehodet

Figur 2.59 Effektiv konisitet ved små forskyvninger

Det kan av ovennevnte formel avleses at den effektive konisitet kan bli meget stor dersom hjulbanens og skinnehodets krummningsradier er tilnærmet like store. Ved oppstått slitasje i hjulbanen til hjulet kommer derfor den effektive konisiteten til å øke.

Den effektive konisitet kommer også til å bli stor når sporspillet er lite i normalstilling til hjulet. Dette henger sammen med at Kontaktpunktvinkelen g 0 blir høy. Det vises til figur 2.59.

I ovenliggende formel ble det forutsatt at krummningsradiene for hjulbanen til hjulet og til skinnehodet i tverrplanet var konstant. Dette har tilnærmet gyldighet for små bevegelser av hjulsettet i lateral retning i området rundt normalstillingen, dvs. i området + 2 mm til - 2 mm.

I praksis må størrelsene Δr, γ og ΔZ_H beregnes med numeriske metoder. For ikke-lineære funksjoner kan benyttes metoden som tar i bruk normalfordelingsfunksjonen som veid funksjon. Det vises til foregående redegjørelse.

Det kan konkluderes med at ved lite sporspill dvs. trangt spor kan den effektive konisiteten bli meget høy. Spesielt gjelder dette når det samtidig er full tykkelse av hjulflensen på begge hjulene.

Spørsmålet blir hvor stor bør konisiteten være. Det er naturligvis vanskelig å konstruere et løpeverk som utøver gode løpeegenskaper under alle forhold. Normal konstruksjonspraksis er at det rullende materiell skal klare en effektiv konisitet i området

0,05 ≤ λ_EFF. ≤ 0,35.

Dette gjelder for framføring av rullende materiell med høyere hastigheter. For lavere hastigheter bør kanskje gjelde λ_EFF. ≤ 0,50.

6 Hjulparets bevegelse i sporet

6.1 Rett linje

Et hjulsett med hjul som har teoretisk riktig konisitet mht. hjulbanen, beveger seg på rett linje. På grunn av klaringen i sporet (sporspillet) vil hjulet bli forskjøvet lateralt. Denne laterale bevegelsen vil bli møtt eller motvirket av en kraft som gjør at hjulsettet beveger seg mot den andre siden. Det oppstår en periodisk bevegelse, en såkalt sinusbevegelse. Denne pendlingen av hjulsettet er beskrevet teoretisk av Klingel i 1883 og betegnes derfor som Klingels bevegelse. I figur 2.60er hjulsettet modifisert og følgende parametre inngår i den matematiske formuleringen:

• λ eller γ = konisitet(helning) til hjulbanen
• r = radius av hjulbanens sirkel i senter
• R = radius i sinuskurven til den periodiske bevegelse på rett linje
• s = sporvidde
• y = lateral forskyvning av hjulsettet fra senter
• v = hastighet
• x = distanse som tilbakelegges

I en teoretisk riktig bevegelse vil hjulsettet bli forskjøvet lateralt over en distanse y med utgangspunkt i senter til hjulbanens løpesirkel. Dette på grunn av rullingen til hjulsettet ved framføring. Videre vil differansen i rulleradius til hjulsettet være 2yγ .

Det kan utledes følgende matematiske sammenhenger:

[math] \Delta r = (r_1 - r_2)= (r + \gamma y)- (r - \gamma y)= 2 \gamma y [/math]

(2.107)

[math] {{\left( R + {s \over 2}\right)}\over {\left( R - {s \over 2}\right)}} = {{\left( r + \gamma y \right)}\over {\left( r - \gamma y \right)}} [/math]

(2.108)

Figur 2.60 Differanse i rulleradius mht. lateral bevegelse til hjulsettet

Dette gir:

[math] \left( R + {s \over 2}\right)\times \left( r - \gamma y \right)= \left( R - {s \over 2}\right)\times \left( r + \gamma y \right) [/math]

(2.109)

[math] R_r -R \gamma y + r \cdot \left( {s \over2} \right) - \gamma r \cdot \left( {s \over 2} \right) = R_r + R \gamma y - r \cdot \left( {s \over2} \right) - \gamma r \cdot \left( {s \over 2} \right) [/math]

(2.110)

[math] R \gamma y = r \cdot \left( {s \over2} \right) [/math]

(2.111)

[math] 2R \gamma y=sr= \Delta r \cdot R = (r_1 - r_2) \cdot R [/math]

(2.112)

Med disse 4 utrykkene kan følgende sammenhenger utledes:

[math] \gamma = {1 \over 2 } \cdot {r_1 -r_2 \over y} = \gamma_{EFF.} [/math]

(2.113)

som er definisjon av ekvivalent konisitet.

[math] \Delta r = 2 \gamma y = {sr \over R } [/math]

(2.114)

Det er påpekt at den hjulsettet følger en tilnærmet sinusbevegelse med en radius R på grunn av klaringen eller sporspillet når det beveger seg på ret linje. Det må være kjent fra mekanikken at et element inntar en form ved sentrisk belastning på grunn av trykkrefter som kan beskrives ved:

[math] \ddot y = - {1 \over R } [/math]

(2.115)

Dette betyr at den annen deriverte av en funksjon beskriver krumningen til elementet i et x-y koordinatsystem ved sentrisk belastning av elementet. Det vises til figur 2.61. Denne relasjonen kan overføres til den tilnærmede sinusbevegelse til et hjulsett som på grunn av hjulbanenes konisitet beveger seg langs sporet på en rett linje.

Figur 2.61 Krumning av et element ved sentrisk belastning.

Det kan dermed utledes:

[math] 2 \gamma y R = sr [/math]

(2.116)

[math] 2 \gamma y R - sr = 0 [/math]

(2.117)

[math] 2 \gamma y - {sr \over R} = 0 [/math]

(2.118)

[math] 2 \gamma y - sr \cdot ( - \ddot y ) = 0 [/math]

(2.119)

[math] 2 \gamma y + sr \ddot y = 0 [/math]

(2.120)

[math] \ddot y + 2 { \gamma \over rs} \cdot y = 0 [/math]

(2.121)

Denne differensiallikningen har en generell løsning som kan skrives på formen:

[math] y = A \cdot \cos \alpha x + B \cdot sin \alpha x [/math]

(2.122)

α kan beskrives ved uttrykket:

[math] \alpha = \sqrt { 2 \cdot \gamma \over rs} [/math]

(2.123)