Samvirke mellom rullende materiell og spor
__NUMBEREDHEADINGS__
Lenke til PDF-filen: Samvirke mellom rullende materiell og spor
INNLEDNING
Studiet av de dynamiske bevegelser til det rullende materiell ved framføring på et skinnegående spor er meget komplisert. Dette har sammenheng med de dynamiske belastninger som hjulsettet utsettes for når det beveger seg på skinnegangen. Men bevegelsen til det rullende materiell følger allikevel grunnleggende dynamiske prinsipper. Dette gjelder både vertikalt og lateralt samt rulling.
Temaet samvirke rullende materiell/bane er delt inn i to kapitler. Denne første delen omhandler vognens bevegelser på sporet, herunder konisitet og vogndynamikk. Forhold knyttet til adhesjonsegenskaper og kryp er beskrevet i del 2.
Et spor blir aldri helt perfekt. Ved meget lange bølgelengder vil den geometriske linjeføringen mht. sporet lateralt og vertikalt samt i lengderetning påvirke bevegelsene til vogn og boggi . Ved korte bølgelengder vil uregelmessigheter i skinnene føre til urolige bevegelser. Riktig konstruksjon og oppbygging av sporet og underbygningen samt definert og planlagt vedlikehold vil redusere amplitudene på sporfeilene.
Det er gjennom lang tid observert at amplituden for ulike sporfeil er en funksjon av bølgelengder. Jo større bølgelengden er, jo større er vanligvis amplituden i sporfeilen. Dette er illustrert i figur 2.1 En sporfeil av type A vil oppstå langt oftere enn en sporfeil av type B for samme bølgelengde. Videre vil en sporfeil av type C med større amplitude ved lang bølgelengde oppstå like lett som en sporfeil av type A ved kort bølgelengde. Som en første tilnærming kan gjøres den antakelse at størrelsen på amplituden til en sporfeil er en funksjon av sporets bølgelengde.
SAMVIRKE RULLENDE MATERIELL/BANE
Samvirke mellom det rullende materiell og bane er et meget vidt begrep, men skal i det etterfølgende begrenses til det som kalles gangdynamikkeller gangegenskaper.
Dette omfatter:
- Bevegelser av det rullende materiell på skinnebundet spor
- Krefter mellom rullende materiell og spor (sporkrefter)
Følgende hendelser kan relateres til ovenstående:
- Avsporinger
- Slitasjeav f.eks. hjul og skinner
- Komfortfor de reisende
Følgende aspekter er relatert til gangdynamiske prinsipper:
- Sikkerhetsom en funksjon av hastighetog sporstandard
- Tillatt lastkapasitettil det rullende materiell som funksjon av påkjenninger på sporet
- Togets tillatte hastighetpå grunn av sporgeometrisk linjeføring
- Passasjerenes opplevelser av reisen samt risiko for forskyvning av lasten og dermed skader på gods
- Vedlikeholdskostnader på det rullende materiell og på sporet
Kjøreegenskapene til det rullende materiell har stor betydning for:
- Sikkerhet
- Komfortog skader på gods
- Økonomi
Gjeldende utviklingstendenser er framføring av tog med tyngre laster og med
større hastigheter. Disse aspektene er i høy grad avhengig av god
kjøredynamikk.
I forbindelse med kjøreegenskapene til det rullende materiell på skinnebundet
spor skal det beskrives noen grunnleggende begreper:
- Statisk tilstandinntreffer når det rullende materiell står stille på et perfekt spor.
- Kvasistatisk tilstander den tilstand som opptrer når det rullende materiell framføres med konstant hastighetpå et perfekt spor. Det forutsettes atdette sporet har konstant kurveradiusmed konstant overhøyde. Videre eksisterer det konstante friksjonsforhold mellom hjul og skinne. Dette medfører at alle krefter eller forskyvninger i det rullende materiell og mellom det rullende materiell og sporet er konstant hele tiden.
- Dynamisk tilstand definerer de bevegelser og tilleggskreftersom det rullende materiell utøver på grunn av sporfeil, endring av opprinnelig sporgeometri, endring av hastighetog friksjoni sporet. Selvgenererende bevegelser som f.eks. sinusforløpog ustabilt løpinngår i begrepe
Vognenes vibrasjonsmønster
I dette avsnittet skal det gis en beskrivelse av bevegelsene til det rullende materiell.
Det er 6 mulige bevegelser for alle komponenter til det rullende materiell ved framføring på et skinnegående spor. Dette gjelder for selve vognkassen, boggirammenog hjulsettet. Bevegelsene er vist samlet i figur 2.2.
Bevegelser | Engelsk betegnelse | Norsk betegnelse | |
---|---|---|---|
Translasjonsbevegelse i kjøreretningen (X -retning) | Langsgående bevegelse eller longitudinell bevegelse | X Longitudinal | Rykk i kjøreretningen |
Translasjonsbevegelse i tverretningen (Y -retning) | Sidebevegelse eller lateral bevegelse | Y Lateral | Sidesleng |
Translasjonsbevegelse vinkel rett mot sporplanet | Vertikalbevegelse | Z Vertical, bounce | Hopping |
Rotasjons -bevegelse i et plan tvers på lengderetninge) | Vognbevegelse | φ Roll, sway | Rulling |
Rotasjons bevegelse i et langsgående vertikalplan | χ Pitch | Galoppering elle
vipping | |
Rotasjons - bevegelse i selve sporplanet | ψ Yaw | Svingning |
Langsgående bevegelser eller rykkav vognene har sammenheng med
stivhetsparametre i forbindelse med buffere i en togformasjon.
Figur 2.2 Frihetsgrader mht. bevegelser til en jernbanevogn og vognens
hovedkomponenter
Jernbanevogner er vanligvis symmetriske om den vertikale akse. Dette er
illustrert i figur 2.3. Vertikale ujevnheter i sporet kan antas å påvirke vognens
bevegelser symmetrisk om denne aksen.
Figur 2.3 Det rullende materiell er vanligvis symmetrisk om den vertikal
akse.
Bevegelser mht. hoppingog galopperinger overveiende uavhengige av
laterale ujevnheter i sporet og rulling. Hopping og galoppering opptrer derim
i spor med ujevnheter i vertikal retning og er illustrert i figurene 2.4 og 2.5.
Figur 2.4 Illustrasjon mht. hoppingav vogn.
Figur 2.5 Eksempel på galoppering av vogn
På grunn av jernbanevognenes konstruksjon er vognmateriellet ikke
symmetrisk om noen lateral akse. Lateral bevegelse og rulling vil derfor
oppstå samtidig. Disse 2 sammenkoblede bevegelsene kan beskrives som
øvre rulling og nedre rulling. Bevegelsene er vist i figurene 2.6 og 2.7.
Figur 2.6 Eksempel på øvre rulling av vognmateriellet
Figur 2.7 Eksempel på nedre rulling av vognmateriellet
Ved nedre rulling har rotasjonssenteret et lavt nivå, mens for øvre rulling ligger
rotasjonssenteret høyere oppe. Frekvensen for den øvre liggende rulling vil
vanligvis være høyere enn for den lavere liggende rulling.
Svingningsmønsteret (yaw) er vist i figur 2.8
Figur 2.8 Svingningsmønsteret for en vogn
Typiske frekvensområder for ulike bevegelser er:
- Lavere rulling: 0,6 Hz
- Svingning: 0,9 Hz
- Hopping: 1,0 Hz
- Galoppering: 1,4 Hz
- Øvre rulling: 1,6 Hz
Reaksjonsmønsteret til en virkelig vogn er meget komplekst. Dette gjelder også når vognen framføres på et idealisert spor. Denne kompleksiteten er sammensatt av et antall av fysiske effekter. Det er nødvendig å beskrive samspillet av disse fysiske effektene for å få innsikt i forståelsen av hvordan vognen oppfører seg i et spor.
VOGN I FJÆR/DEMPER-SYSTEM
I det foregående avsnittet er bevegelsene til det rullende materiell beskrevet og illustrert. I dette avsnittet skal bevegelsene uttrykkes matematisk. Dette er særlig tilfelle for den vertikale bevegelse.
Masse med et enkelt fjær/demper-system
En masse som sitter på et fjæropplegg, har et system med en frihetsgrad. Bevegelsen til massen vil bli påvirket av vertikale ujevnheter i sporet. Dette er vist i figur 2.9.
Figur 2.9 Masse med et enkelt fjæropplegg og dempe
Denne massen vil utøve resonansved en naturlig frekvens som er gitt ved
formelen:
(2.1) |
Her betyr:
- fn = naturlig frekvens [Hz], [s -1]
- k = fjærstivhet[N/m]
- m = masse [kg]
Uten dempingi systemet vil bevegelsen gå mot uendelig ved den naturlige
frekvensen. Systemet utføres derfor med en demper med gitte
karakteristikker:
- c = demperkonstant[N/v], [N/m/s], [Ns/]
Det er mulig å påvirke området for resonansfrekvenser gjennom parametrene k og m. En stiv fjær vil gi høye frekvenser og en tung masse vil medføre lave frekvenser.
Det defineres følgende parameter:
(2.2) |
Dette gir:
(2.3) |
Videre defineres:
(2.4) |
Dette gir:
(2.5) |
ω0 kan identifiseres som systemets resonansfrekvens(egenfrekvens) ved en
dempingsfaktorlik 0 (ingen dempingi systemet).
ζ defineres som den relative dempingi forhold til kritisk demping:
(2.6) |
hvor
(2.7) |
Den dempede naturlige frekvens blir:
(2.8) |
Ved lave frekvenser vil massen følge uregelmessighetene i sporet ved
langsgående bevegelse. Dette gjelder både for vertikal forskyvning og for
akselerasjonsbevegelser til vognkassen. Ved massens egenfrekvens vil
aktivitetene oppnå særdeles høye verdier. Ved økende frekvenser avtar
verdiene igjen.
Det er mulig å øke nivået på dempingen. Det må imidlertid bemerkes at dempere i motsetning til fjærer er meget sensitive i høyere frekvensområder. Dette har sammenheng med at dempere reagerer som funksjon av hastighet. Fjærene får forskyvninger på grunn av uregelmessigheter i sporet.
Disse forholdene er vist i figur 2.10. Diagrammet viser forsterkningen i akselerasjonen uttrykt ved ÿ/w0til en masse som funksjon av frekvensområdet w(opptredende frekvenser). Forsterkningen i akselerasjonen er illustrert ved ulike nivåer på dempingen.
Figur 2.10 Forsterkning av akselerasjonen som funksjon av svingningsfrekvens samt nivå på dempere
Egenskapene blir:
- lav dempingmedfører stor forsterkning ved resonans
- høy dempinggir stor forsterkning i akselerasjonen ved høye frekvenser
- høy dempingoppleves som vibrerende ved høyfrekvente forstyrrelser
En viktig oppgave er derfor å konstruere den optimale demping.
Masse med fjær og demper med innebygget fjær
Overføring av energi til massen m kan reduseres betydelig ved innføring av fjær i dempersystemet. Dette er illustrert i figur 2.11. Litt elastisitet vil alltid opptre i hydrauliske dempere på grunn av sammentrykkingen av olje samt fleksible innfatningskomponenter i dempersystemet. Det er vanligvis verdifullt å benytte slike fleksible innfatningskomponenter for å få kontroll over systemet.
Figur 2.11 Modell av vogn med fjær i dempersystemet
Kombinasjonen av demper og en fjær i dempersystemet har bruddfrekvens
som er definert iht. følgende formel:
(2.9) |
Her betyr:
- kss= stivhet i fjæren til dempersystemet
- c= demperkonstant
- fb= bruddfrekvens
Ved frekvenser lavere enn bruddfrekvensen vil systemet opptre hovedsakelig
som demper. Ved frekvenser høyere enn fb vil systemet virke som en fjær. Et
passende valg av bruddfrekvens vil gi akseptabel demping ved naturlig
frekvens. Dermed vil overføring av vibrasjoner ved høyere frekvenser bli
redusert.
En verdi av kss = 10 k vil medføre et meget stivt system. Ved lavere verdier av kss blir systemet mykere. Dette medfører at overføring av energi til massen m ved høyere frekvenser minsker betraktelig. Imidlertid vil forholdet føre til en viss økning i overføring av energi ved resonansfrekvens. Det vises til figur 2.12. Y-aksen illustrerer akselerasjonen uttrykt ÿ/ω0 og x-aksen frekvensområdet uttrykt ved ω.
Det kan vises matematisk at for et system med én frihetsgrad vil den optimale
oppførselen til massen skje ved et nivå i dempingen på 20 % og en stivhet i
dempersystemet kss som er 2 ganger større enn fjærstivheten k.
Figur 2.12 Effekt av fjæropplegg i dempersystemet.
Effekten av primærfjær i systemet
Dersom det innføres en primærfjær, dannes et system med 2 masser. Dette systemet har 2 frihetsgrader og dermed 2 egenfrekvenser (naturlige frekvenser). Egenfrekvensene vil være avhengige av stivhetene til de 2 elastiske fjærene. Det vises til figur 2.13.
Figur 2.13 System med 2 masser og innebygget primærfjær og sekundærfjær
Den dynamiske bevegelse til et slikt system som beveger seg på et idealisert spor, er vist i figur 2.14.
Betydningen av 2 separate resonansfrekvenser kan observeres. Massen av boggien er mye mindre enn massen av. Samtidig er den primære fjæren mye stivere. Dette medfører at den naturlige frekvensen til sekundærfjæren blir høyere (7 Hz).
Primærfjæren filtrerer bort mye av de høyfrekvente bevegelsene som oppstår på grunn av ujevnheter i sporet. Jo mykere primærfjæren er, jo større blir effekten av filtreringen.
Figur 2.14 Dynamisk oppførsel til system med 2 masser
Det må imidlertid bemerkes at kontakten hjul - skinne i tillegg introduserer høyere frekvenser som må isoleres (beskrevet ved Hertzian-fjæren).
Toakslede vogner
En lang masse har normalt opplegg mot sporet i 2 punkter. En to-akslet vogn er et slikt eksempel. Vognen har de 2 frihetsgradene hopping og vipping (galoppering). Generelt vil disse frihetsgradene opptre i forskjellige frekvenser og ha forskjellige nivåer mht. demping. I tillegg vil de geometriske egenskapene til vognen filtrere effekter av påvirkninger fra uregelmessigheter i sporet. Ved bestemte bølgelengder i sporet vil hoppingen av vognen skje med full amplitude iht. sporets uregelmessigheter. Ved andre bølgelengder vil den vertikale amplitude i forbindelse med hoppingen bli mindre.
Vippingen av vognen vil ved bestemte bølgelengder kunne skje med full amplitude.
Det vises til figurene 2.15 og 2.16.
Figur 2.15 To-akslet vogn som utsettes for hopping.
Figur 2.16 To-akslet vogn som utsettes for vipping(galoppering)
Det forutsettes en lengde mellom akslene til vognen lik L. Den maksimale hoppingen til vognen inntreffer ved definerte bølgelengder i sporet. Likeledes vil det ved andre bølgelengder i sporet ikke være hopping i det hele tatt. Dette er vist i tabellen under. Det samme gjelder for vipping. For den illustrerte vognen vil det være 2 tilfeller av vibrasjonsmuligheter med forskjellige egenfrekvenser og nivåer på demping som oppstår på grunn av ulike bølgelengder.
Bølgelengdene som forårsaker hoppingen og vippingen, er bare avhengige av avstanden mellom punktene for uregelmessighetene i sporet. Frekvensene for når vibrasjonene opptrer, vil derfor være avhengig av hastigheten. Siden hvert tilfelle har en spesifisert egenfrekvens, vil hoppingen av vognen (massen) bli utøvet ved en bestemt hastighet. Ved andre hastigheter vil avstanden mellom uregelmessighetene i sporet kunne forårsake en filtrerende effekt ved sammenligning med et system med ekvivalent enhetsmasse.
Tabell 2.1 Hopping og vipping ved ulike bølgelengder
Bølgelengde | Hopping av vogn | Vipping av vogn |
---|---|---|
Uendelig | Maksimum | Null |
2 L | Null | Maksimum |
L | Maksimum | Null |
2L/3 | Null | Maksimum |
L/2 | Maksimum | Null |
2L/5 | Null | Maksimum |
Effekten av den geometriske filtreringen er meget kompleks, selv for idealisert
spor. Dette er illustrert i diagram 2.17. Diagrammene illustrerer
vertikalbevegelser og galoppering(vipping) for en to-akslet vogn med avstand
mellom akslene på 9 m.
Figur 2.17 Dynamisk opptreden av en typisk to-akslet vogn mht. vertikalbevegelse og galoppering.
Virkelige opptredende sporfeil kan forårsake mer komplekse bevegelser. Bevegelsene til to-akslede vogner kan forverres betydelig ved bestemte hastigheter dersom en bølgelengdeved maksimal hendelse mht. hopping eller vipping sammenfaller med en bølgelengde hvor uregelmessighetene i sporet er særdeles store.
Det faktum at både hopping og vipping opptrer i en vognkasse, medfører for passasjeren at akselerasjonen varierer langs vognkassen. En passasjer som sitter midt i vognen, vil bare føle hoppingen. En annen passasjer i endene av vognen vil i tillegg føle vertikal bevegelse fra vippingen. På grunn av dette vil sannsynligvis komforten oppfattes å være betydelig bedre midt i vognen enn i vognende. Dette er anskueliggjort i diagram 2.18.
Figur 2.18 Akselerasjoner i vognkassemidt på og i ende.
Et annet forhold er at vognen blir utsatt for momentbøyning. Amplituden av
bøyebevegelsen er naturligvis størst i vognmidt. Bøyningen kan føre til
opplevelser av vibrasjoner for passasjeren.
Effekten av boggier
En boggi vil utøve tilsvarende løpeegenskaper ved framføring som en toakslet vogn. Hopping og vipping vil også for en boggi være avhengig av bølgelengder for ujevnheter i sporet samt avstand mellom hjulsatsene til boggiene. Imidlertid vil normalt vogner med boggier være betydelig lenger enn to-akslede vogner.
Et annet viktig aspekt er at selve boggien vil utøve et geometrisk tilleggsfilter for å ta opp uregelmessigheter i sporet. Bølgelengder som påvirker hoppingen av en boggi, vil normalt ikke bli overført til vognkassegjennom sekundærfjæringen. Det vises til figur 2.19
Figur 2.19 Vogn med 2 boggier
Boggiene introduserer flere frihetsgrader enn de som påvirker hopping og vipping. Dermed oppstår flere resonansfrekvenser i systemet. Vipping av boggien ved resonansfrekvensene vil bare ha liten innflytelse på bevegelsen av selve vognkassen. Derimot vil hoppingen av boggien i frekvensområdene for resonans ha stor virkning på bevegelsen i vognkassen.
Løpeegenskapene til en vogn med boggier som framføres på et idealisert spor, er vist i figur 2.20. Som eksempel er avstanden mellom boggiene blitt holdt den samme som for en to-akslet vogn med akselavstand lik 9,0 m. I tillegg er avstanden mellom akslene i boggien lik 2,0 m. Det framkommer at bevegelsen til vognen med boggier er sammenfallende med bevegelsene til den to-akslede vognen. Det er imidlertid et fall i aktiviteten ved en frekvens på 7,5 Hz som tilsvarer en bølgelengde på 4,0 m ved hastighet lik 30 m/s. Dette er et resultat av den geometriske filtreringen av boggien. Togframføring mht. komfort blir bl.a. betydelig forbedret.
Figur 2.20 Akselerasjonsegenskaper for vognkasse med boggier
I denne diskusjonen er så langt effekten av kontakten hjul/skinne ikke berørt. Kontakten mellom hjul og skinne influerer særlig på den vertikale bevegelse. Lateral bevegelse oppstår i prinsippet av samme grunn. Men i tillegg vil det for den vertikale bevegelse genereres kinematiske bevegelser på grunn av vibrasjoner i boggiene. Frekvensen i disse vibrasjonene samt dempingen vil være avhengig av hastigheten. Noen av bevegelsene vil bli overført til vognkassen, andre ikke.
Det er allerede påpekt at høy demping oppleve s som vibrerende ved høyfrekvente bevegelser eller forstyrrelser. En viktig oppgave er derfor å optimalisere dempingen.
Én mulighet er å gjennomføre fjæring i 2 trinn, slik at fjæringen i det første trinnet virker på den mellomliggende masse (f.eks. boggier). Det andre trinnet i fjæringen skal virke på den massen (dvs. vognkasse) som isoleres fra underlagets ujevnheter (sporet). Det er nettopp dette som skjer ved et rullende materiell som er utstyrt med primær- og sekundærfjæring med mellomliggende boggimasse. Massen i boggien virker som et filter for høyfrekvente forstyrrelser.
Matematiske vibrasjonsmodeller
I den klassiske fysikken eller mekanikken blir det beskrevet matematiske modeller for bevegelser av legemer som vibrerer eller som blir utsatt for forstyrrelser på grunn av ujevnheter i underlaget. Modellene tar gjerne utgangspunkt i bevegelsesforløp som funksjon av tiden.
Et enkelt ekvivalent system for beskrivelse av vibrasjoner består av en konsentrert masse med et fjærsystem. Denne massen blir utsatt for en framføringskraft og samtidig en retarderende kraft som forårsakes av demperelementet. Et slikt system er vist i figur 2.21. Massen m kan tenkes plassert i en generell posisjon som er forskjøvet i en avstand x fra nøytralstillingen. Kraften i fjæren med stivhet k er i denne stillingen (nøytralstillingen) lik 0. Det forutsettes at fjæren er tilknyttet et ubevegelig og udeformerbart fundament. Massen beveger seg iht. en kraft F = f(t) som altså blir uttrykt som en funksjon av tiden. Men samtidig blir bevegelsen til massen retardert i demperelementet ved en kraft som vil være proporsjonal med hastigheten. Denne type av såkalt friksjonsretardasjon blir betegnet som viskosiøs demping. Denne viskosiøse dempingen kan framstilles på flere måter.
Figur 2.21 Bevegelse av masse m i en avstand x fra nøytral posisjon.
I figur 2.21betyr:
- m = masse til legemet (kg)
- F = kraft som massen m blir utsatt for (kN)
- kx = retarderende kraft (kN)
- k = fjærstivhet(kN/mm)
- x = tilbakelagt vei fra nøytralstilling til fjæren (mm)
- c = den viskosiøse demperkonstant(N/m/s)
- x = hastighet(m/s)
Newton’ s 2. lov lyder:
(2.10) |
Ved anvendelse av denne lov kan bevegelsen i x-retningen beskrives:
(2.11) |
Denne likningen kan omformes til:
(2.12) |
Et system som ligner på det foregående, er vist i figur 2.22. Det forutsettes at fjæren er forbundet med et underlag eller et fundament som har fått en forskyvning som funksjon av tiden lik δ = δ (t). Denne forskyvningen kan enten ha framkommet ved bevegelse av fundamentet eller ved deformasjon. Dersom x er den absolutte forskyvning av massen m målt fra nøytral posisjon ved δ = 0, vil fjæren få en spenning:
(2.13) |
For øvrig er betegnelsene de samme som i foregående figur.
Figur 2.22 Bevegelse av masse m i en avstand x fra nøytral posisjon når
opplageret til fjæren får en forskyvning.
Dersom hastigheten til deformasjonen av underlaget neglisjeres, blir formelen:
(2.14) |
Denne kan omskrives til:
(2.15) |
Vi ser at kraften F i figur 2.15 er erstattet av uttrykket kδ , dvs. produktet av
fjærstivhet og bevegelse av fjæren på grunn av forskyvning av fundamentet.
Likningene
(2.16) |
og
(2.17) |
er lineære differensiallikninger av 2. grad og blir benyttet til å beskrive
bevegelsene til mange systemer, bl.a. også i jernbaneteknikk i forbindelse
med framføring av rullende materiell.
Differensiallikningene lar seg løse ved standardprosedyrer. Noen eksempler
relatert til jernbaneteknikk vises i det etterfølgende.
3.7 Grunnleggende prinsipper
Som kjent framføres det rullende materiell på et spor med diverse
komponenter. Sporet utgjør et byggverk som lar seg opprette mer eller mindre
jevnt, men sporfeil i vertikal retning vil alltid være tilstede. Komforten ville
naturligvis bli meget god i et feilfritt spor. Men en idealisert jevnhet er ikke
mulig å oppnå uten at kostnadene blir enormt store.
Nettopp av kostnadsgrunner både ved nybygging og ved vedlikeholdsarbeider vil sporet alltid bli overlevert med sporfeil innenfor definerte toleransegrenser. Dette medfører at det er det skinnegående materiell som må bli utformet på en slik måte at virkningen av uregelmessighetene i sporet blir redusert mht. komfort. Dette skal imidlertid ikke oppfattes dit hen at et spor kan ferdigstilles med sporfeil. Det skal innenfor akseptable kostnader søkes å bygge et spor så feilfritt som mulig og sporet skal ved overtagelse i alle fall være i samsvar med definerte toleransegrenser.
Uregelmessigheter og ujevnheter under eller på rullende hjul vil føre til støtbevegelser som merkes. Av den grunn er vognmateriellet fjæret. Materiell for frakt av passasjerer har alltid to fjærer i seriekopling. Dette betyr at de har en primærfjær for boggirammen og en sekundærfjær for selve vognkassen.
Selv med fjærer i seriekopling vil vognkassen bli utsatt for bevegelser og akselerasjoner ved ujevnheter i sporet. Det skal beskrives hvordan ujevnheter i sporet kan skape akselerasjoner i vognkassen.
Fjærer medfører at en masse m tilbakelegger en bestemt veg. Denne bevegelsen vil resultere i en kraft. Fjærstivhet er definert som forholdet mellom kraft og veg. Jo mykere fjæren er, jo mindre blir fjærkraften ved bevegelse over samme veg. Dersom en masse m med hjul ruller over en vertikal ujevnhet med høyde h, kan kraften under forutsetning av gitt fjærstivhet beregnes:
(2.18) |
h er ujevnhet i høyde
c er fjærstivhet til et legeme
m er legemets masse
Newtons lover sier at aksjon er lik reaksjon. Dette medfører at fjærkraften F virker i motsatt retning på hjulet og massen i samsvar med følgende uttrykk:
(2.19) |
Figur 2.23 Kjøretøy som masse-fjærsystem hvor fjærkrefter og
forskyvninger opptrer ved passering av en enkel ujevnhet.
Figur 2.23 viser at fjæren vil overføre ujevnhetene ved hjulet til massen m1 over fjærkraften F1 i bevegelser med en akselerasjon ¨z1:
(2.20) |
Derav kan utledes:
(2.21) |
Uttrykket c1/m1 er proporsjonalitetsfaktoren og i denne inngår både
fjærstivheten og massen.
I en seriekobling av fjærer gjentar den samme effekten seg for sekundærtrinnet. Den vertikale bevegelse z1 til den mellomliggende masse m1 forårsaker sammen med sekundærfjæren med stivhet c2 en akselerasjon ¨z2 til massen m2 som beregnes til:
(2.22) |
Igjen er c2/m2 en proporsjonalitetsfaktor og i denne inngår både fjærstivheten
og massen.
Det er naturligvis om å gjøre å konstruere vognen på en slik måte at
akselerasjonene ¨z1
og ¨z2 blir så lave som mulig ved passering av en ujevnhet
med høyde h. De to proporsjonalitetsfaktorene c1/m1
og c2/m2 har en
avgjørende betydning.
Likningene ovenfor kan omskrives:
(2.23) |
Samme relasjoner gjelder naturligvis også for masse m2.
Forholdet fjærstivhet/masse indikerer hvilken akselerasjon i m/s 2 som den avfjærede masse vil få med en gang (i første øyeblikk) når fotpunktet til fjæren blir løftet plutselig 1 mm. Denne kvotienten (generelt c/m) virker som overføringsfunksjon for intensiteten eller forsterkningen i akselerasjonen ¨z/h (generelt).
Neste steg er å undersøke hvordan akselerasjonen fører til svingninger. Med en sammentrekkende bevegelse til fjæren ved ujevnheten h blir den potensielle energi til fjæren ved fjærkraft F og fjærveg h:
(2.24) |
I uttrykket for fjærkraften inngår akselerasjonen ¨z. Denne er igjen avhengig av hastigheten z til massen m. Den potensielle energi som er lagret i fjæren, går over til kinetisk energi på grunn av bevegelsen til massen:
(2.25) |
Den bevegelige massen gjør at fjæren strekker seg ut. Denne massen avgir energi til fjæren helt til fjæren ikke strekker seg mer ut. Deretter starter en pendling av energien i motsatt retning. Dermed oppstår de karakteristiske svingningene til massen. Slike svingninger er dynamiske hendelser med regelmessige bevegelser mellom bestemte grenser og periodisk veksel mht. energiformen. Den frie udempede svingning vil teoretisk aldri opphøre. Og det vil gjelde:
(2.26) |
Det må gjelde:
(2.27) |
(2.28) |
Det kan utledes:
(2.29) |
Forholdet z (prikk)/h angir den hastighet som massen m får når fotpunktet til fjæren blir løftet en høyde h på grunn av den vertikale ujevnhet i sporet. Denne hastigheten er avhengig av størrelsen som igjen er avhengig av den spesifikke fjærstivheten c/m. Uttrykket kan bli betraktet som overføringsfaktor til den hastigheten som svingningene får.
I moderne skinnegående materiell ligger de spesifikke fjærstivhetene evt. overføringsfaktorene eller intensiteten i akselerasjonene i størrelsesorden:
(2.30) |
(2.31) |
Det framgår at intensiteten eller forsterkningen i akselerasjonene i de 2 fjærstegene atskiller seg med mer enn 102. Primærfjæren pådrar seg relativt store akselerasjoner ved små ujevnheter. Sekundærfjæren bevirker på massen m2små akselerasjoner som er ønskelig mht. komfort. En forutsetning for dette er bevegelse eller løfting av begge fotpunktene samtidig.
For svingningshastighetene gjelder:
(2.32) |
(2.33) |
Ved en samtidig løfting av fotpunktene til begge fjærene ved passering av ujevnheten med høyde h får primærfjæren en svingningshastighet som er ca. 15 ganger høyere enn svingningshastigheten til sekundærfjæren. Til nå er det foretatt betraktninger mht. til passering av en hindring i sporet av kvasistatisk natur. For å komme over hindringen må hjulet bli løftet og fjæren blir trykt sammen. Det oppstår dermed en kraft i selve fjæren uttrykt ved fjærstivheten og fjærvegen. Ved passering av hindringen vil hjulet bli senket og kraften samt energien i fjæren forsvinner. Den tiden som hjulet bruker på nedsenkingen, har avgjørende betydning for de dynamiske bevegelser. Jo tidligere en nedsenking av hjulet følger etter et løft på grunn av hindringen, jo mindre blir bevegelsen av selve massen som framføres og dermed også svingningen.
Dette gjelder så lenge som at fjæren ikke har overført en vesentlig del av energien (i fjæren) til massen som er i bevegelse. Dersom fjæren ved nedsenkingen etter passering av hindringen ikke rekker å bli avfjæret, vil fjæren fra nedre stilling bli trukket opp igjen og ny energi vil bli lagret og overført til massen. Energien vil akselerere massen og forårsake videre svingninger.
Den svingningsdyktige kombinasjonen av fjær og masse og tidsintervallet mht. serie av ujevnheter står i et definert forhold til hverandre. Så lenge ujevnhetene i sporet opptrer i en serie med større avstand enn det som tilsvarer den beregningsmessige varigheten av svingningene, vil svingningsbevegelsene holde seg på lavt nivå. Varigheten av svingningene beregnes ut fra den opptredende svingningshastighet. Opptrer ujevnhetene i sporet i en serie med en avstand som tilnærmet er lik varigheten i svingningene, vil dette medføre kraftige bevegelser mht. svingninger. Blir disse parametrene like, vil svingningene fortsette uten stans og det blir resonans.
Svingninger og virkningene av disse kan påvirkes på forskjellig vis. Uten særlige tiltak blir i et udempet fjærmasse system den tilførte energien lagret av fjæren og overført som bevegelsesenergi til massen.
Den mest virksomme metoden mht. å utøve innflytelse på energiopptaket i forbindelse med svingningene er å redusere ujevnhetene på skinnene i sporet. Ujevnheten med en høyde h inngår kvadratisk (i 2. potens) i energiopptaket. En feilfri kjørevei uten ujevnheter er derfor den mest effektive form for å eliminere svingninger i massen og å skape best mulig komfort. Dessverre blir gjennomføringen av et slikt tiltak svært dyrt.
Lave akselerasjoner til massen m iht. likningene
(2.34) |
og
(2.35) |
kan realiseres med lave verdier av c/m. Myke fjærer med liten fjærstivhet reduserer energiopptaket i forbindelse med passering av ujevnheter i sporet. Svingningshastigheten og framfor alt svingningsakselerasjonen til massen m blir ved et slikt tiltak redusert.
Effekten av et system med 2 svingningsmasser blir tydeliggjort. Mellommassen m1etter primærtrinnet gjør det vanskelig å bygge opp akselerasjonene, svingningshastighetene og svingbreddene. Mellommassen skjermer det etterfølgende sekundærtrinnet mot forstyrrelser. Denne massen sammen med myke primærfjærer fungerer derfor som en sperre for opptak av bevegelsesenergi. Redusering av energi med dempere og spesielt hydrauliske svingningsdempere med dempekraft som er proporsjonalt med hastigheten, er benyttede metoder for kontroll av svingningene.
Formålet med fjærene er å redusere akselerasjonen til massen ved samtidig opptak av energi når hindringer skal passeres. Dempere skal fjærne energiopptaket ved en uønsket kraft som opptrer i denne forbindelse. Disse forhold må kombineres på en slik måte at fordelene blir framhevet og ulempene fjernet.
Trykkreftene i dempere forsterker oppbyggingen av akselerasjonen til massen, mens strekkreftene reduserer akselerasjonen. Omvendt vil det være ved nedbyggingen av akselerasjonen etter passering av hindringen. Bevegelsene blir forstørret ved strekkreftene og redusert ved trykkreftene.
Det er tilstrekkelig å gjøre trykk- og strekkegenskapene til demperen avhengig av den opptredende fjærkraft i den hensikt å forbedre komforten. Akselerasjonen til massen ved oppbyggingen i forbindelse med passeringen av hindringen forsvinner når summen av fjærkraft og dempekraft blir lik null:
(2.36) |
Den optimale svingningskomfort blir oppnådd når:
(2.37) |
dvs. når:
(2.38) |
Hydrauliske dempere framskaffer dempekrefter S som vil være proporsjonal
med dempehastigheten:
(2.39) |
Dette gir:
(2.40) |
Hastigheten i forbindelse med dempingen er på grunn av bevegelsene ikke
mulig å påvirke. Dempekraften S kan derimot tilpasses forholdene gjennom k.
Denne dempeverdien k må fortløpende innstilles i takt med de varierende
forholdene:
(2.41) |
Tekniske forhold begrenser imidlertid verdien av k og den tillatte dempekraft
S:
(2.42) |
(2.43) |
Dette betyr at den fjærkraftorienterte styringen av dempekraften stemmer overens med den størst mulige redusering av energien ved minimumsverdien for akselerasjonen i forbindelse med oppbyggingen og dermed den best mulige komforten mht. svingningsforløpet.
Enkel vibrasjonsmodell relatert til rullende materiell på spor
De teoretiske grunnmodellene som ble beskrevet i avsnittet foran, skal benyttes til å beskrive vibrasjoner i det rullende materiell. I stedet for en idealisert horisontal bevegelse skal det studeres den vertikale bevegelse til en vognmasse som består av fjærer og demper. Vognmassen beveger seg på sporet med ujevnheter i vertikalretning og har en frihetsgrad. Det vises til figur 2.24.
Figur 2.24 Et dynamisk system med en frihetsgrad som utsettes for
vibrasjoneri vertikalretning
De idealiserte modellene i foregående avsnitt ble utsatt for en horisontal
bevegelse. I tilfellet hvor underlaget eller fundamentet til fjæren fikk en
forskyvning eller deformasjon, ble hastigheten av deformasjonen ikke tatt med
i betraktningen. Dette fordi egenvekten til massen (vertikallast) ikke hadde
innflytelse på fundamentets bevegelse.
I vertikalretningen har massen innflytelse på deformasjonen til underlaget eller undergrunnen. Følgelig må hastigheten av deformasjonen til underlaget tas med i modellen. Følgende betegnelser inngår:
- y = forskyvning til massen (mm)
- x = underlagets forskyvning (mm)
- c = demperkonstantfor viskosiøs lineær demper(N/m/s) = (Ns/m)
- k = fjærstivhet(N/mm)
- m = massen
- x = hastighettil demperelementet på grunn av underlagets forskyvning
- y = hastigheten til forskyvningen av massen
- ÿ = massens akselerasjon
Iht. Newtons 2. lov kan følgende formel utledes:
(2.44) |
Denne formelen kan skrives om på følgende måte:
(2.45) |
Formelen er en differensiallikning av 2. grad og derfor matematisk komplisert å behandle. Det er utviklet matematiske metoder (Pierre Simon de Laplace) hvor en spesiell type integralfunksjon kan transformere en funksjon til en annen funksjon iht. formel:
(2.46) |
Laplace-transformasjonen har anvendelser innen teorien for lineære
differensiallikninger med konstante koeffisienter. Transformasjonen er ren
matematisk teknikk for å kunne omgjøre en komplisert funksjon til en enklere
funksjon.
En Laplace-transformasjon av likning i (2.45) gir:
(2.47) |
Som tidligere nevnt defineres følgende:
(2.48) |
og
(2.49) |
Dette kan også uttrykkes som:
(2.50) |
Iht. ovenstående gir:
(2.51) |
ω0 kan identifiseres som systemets resonansfrekvens eller egenfrekvens ved demping ζ = 0.
ζ er relativ demping i forhold til den kritiske demping:
(2.52) |
Likning
(2.53) |
kan også skrives på formen:
(2.54) |
Denne kan utvikles videre:
(2.55) |
(2.56) |
(2.57) |
Dette gir:
(2.58) |
Med
(2.59) |
(2.60) |
(2.61) |
(2.62) |
blir
(2.63) |
Denne likningen beskriver forsterkningen til forskyvningen til massen m på grunn av ujevnhetene i underlaget. Den dynamiske bevegelse av massen i forhold til den statiske bevegelse av underlaget uttrykkes som:
(2.64) |
I ovennevnte brøk framstiller telleren den dynamiske bevegelse til massen og
nevneren framstiller den statiske bevegelse til underlaget (undergrunnen) på
grunn av ujevnheter.
Uttrykkene 2.37 og 2.38 kombineres ved følgende omskrivning rent matematisk:
(2.65) |
Det defineres en fasevinkel mellom y og x lik θ :
(2.66) |
Det gjentas at ω er opptredende frekvens til massen på grunn av ujevnheter og at ω0 er resonansfrekvensen eller egenfrekvensen til massen m.
Dersom
- ζ << 1 og ω<< ω0 blir θ tilnærmet lik 0o
og
- ζ << 1 og ω>> ω0 blir θ tilnærmet lik 1800 eller π
Dette betyr at ved lav demping(ζ << 1) vil svingningen skje i fase med
ujevnhetene i underlaget dersom opptredende frekvens ω er vesentlig mindre
enn resonansfrekvensen.
Videre vil ved lav demping svingningen skje i motfase om opptredende
frekvens er høyere enn resonansfrekvensen.
Med
(2.67) |
blir 1. deriverte, dvs. hastigheten
(2.68) |
Den 2. deriverte gir akselerasjonen:
(2.69) |
Med
(2.70) |
kan på samme vis utledes at akselerasjonen på grunn av ujevnhetene blir
(2.71) |
Forholdet mellom massens akselerasjon og bevegelsen av vognen på grunn
av ujevnhetene i underlaget kan uttrykkes iht.
(2.72) |
Forsterkningen i akselerasjonen kan uttrykkes ved
(2.73) |
Innsatt i ovenstående likning med matematisk omskrivning blir:
(2.74) |
Endelig kan den normerte akselerasjonsforsterkning uttrykkes:
(2.75) |
Forsterkningen eller intensiteten mht. forskyvning |H| y og normert
forsterkning mht. akselerasjonen |H|ÿ/ω02
er vist på figurene 2.25 og 2.26.
Figur 2.25 Forsterkning av forskyvningen til en masse som funksjon av
opptredende svingningsfrekvens i forhold til resonansfrekvens
Figur 2.26 Forsterkning av akselerasjonen til en masse som funksjon svingningsfrekvens i forhold til resonansfrekvens
En viktig oppgave er derfor å optimere dempingen.
En mulighet er å etablere fjærkonstruksjon i to trinn. Den første fjærkomponenten skal virke på en mellomliggende masse (for eksempel en boggi) og den andre komponenten skal virke på den massen som må isoleres fra underlagets ujevnheter.
Det er nettopp dette som er tilfelle for en vogn med primærfjær og sekundærfjær. Vognen ha da en mellomliggende masse som er boggien. Denne boggimassen virker som et filter for høyfrekvente forstyrrelser.
Eksempel – ujevnheter i undergrunnen
Det skal illustreres et eksempel på hvordan vertikale bevegelser kan opptre i det rullende materiell ved framføring. Vognen har en hastighet lik v (m/s). I underbygningen eksisterer periodiske ujevnheter med avstand L mellom disse. Vognmateriellet vil da passere ujevnhetene med en frekvens lik
(2.76) |
Her betyr:
- f = frekvens (Hz), (s-1)
- v = hastighet(m/s)
- L = avstand mellom de periodiske ujevnheter (m)
Dette er vist i figur 2.27.
Figur 2.27 Sporkonstruksjon med periodiske ujevnheter i undergrunnen
På grunn av variasjon av elastisiteten i overbygningen vil det opptre en
endring av den vertikale statiske deformasjon x0(jω)= δ0 i underlaget til
sporkonstruksjonen ved passering av det rullende materiell. Vognen kan da
anta en dynamisk bevegelse i vertikalretningen lik y0(jω)= x0.
Her betyr:
- δ0 er amplitude for den statiske deformasjon i vertikal retning i underlaget når et legeme med masse m passerer
- x0 er amplitude for den dynamiske bevegelse i vertikal retning i til legemet med masse m
- ω0 = p er massens egenfrekvens
- ω = frekvens som det rullende materiell passerer de periodiske ujevnhetene med
Forholdet
(2.77) |
er vist i figur 2.28og 2.29. ζ er dempingsfaktor i forhold til kritisk demping for
det rullende materiell. ζ = 1 medfører
(2.78) |
for alle ω/p0
Figur 2.28 Bevegelse av vogn over ujevnhet i underbygningen
Figur 2.29 Dannelse av resonans
For f = v/L = w> p0 vil tallverdien av H – funksjonen anta en lav verdi. Dette er meget gunstig mht. å unngå resonans og gjelder for alle dempingsforhold i forhold til kritisk demping. Forholdet medfører at det er fordelaktig å passere de periodisk opptredende ujevnheter med stor hastighet.
For f = v/L = ω< p0 vil tallverdien av den samme funksjonen anta en lavere
verdi enn verdien for resonans. Effekten mht. til å unngå resonans ved lavere
hastigheter er ikke så gunstig som ved høyere hastigheter.
For f = v/L = ω= 0 blir forholdet lik 1. Da står vognen stille.
Det eksisterer ulike tiltak for å redusere vibrasjonene. Det mest effektive tiltaket er å eliminere den utøvende kraft som er årsak til vibrasjonene:
- jevn og homogen elastisitet i sporkonstruksjonen
- introdusere dempingselementer som myk mellom leggsplate(i gummi) mellom skinne og sville
- sørge for tilstrekkelig minimumshøyde i ballastlaget
- toget tvinges til en framføringshastighet hvor frekvensen ved passering av ujevnhetene i overbygningen er forskjellig fra egenfrekvensene til togets komponenter
Innvirkning på kjøredynamikken lateralt på grunn av feil i sporet
En type sporfeil som må vies oppmerksomhet, er langbølgede sidefeil med bølgelengderover ca. 30 m. Disse finnes spesielt i kurver og er vanligvis av periodisk karakter. Feilene er årsak til forstyrrelse av komforten. For krengetogene er krengeteknikken en funksjon av den ukompenserte sideakselerasjon i sporplanet og disse togtypene vil derfor være svært ømfintlige overfor langbølgede sidefeil. Dette er vist i figur 2.30. Eksemplet illustrerer en langbølget sidefeil på 80 m og en lateral forskyvning av sporet på 0,028 m ved kilden til sporfeilen..
Figur 2.30 Langbølgede sidefeil i sporet opptegnet i et diagram fra målevognskjøring
Kilden til langbølgede sidefeil er en alvorlig lateral sporfeil. Denne feilen
forårsaker bevegelser sideveis av vognen som overfører dempede periodiske
laterale bevegelser mot sporet.
Dersom bølgelengdene korresponderer med resonansfrekvensen til en vogn i
lateral retning, kan det oppstå ubehagelige situasjoner. I figur 2.31 støter
vognen sideveis mot sporet med en kraft F0 der hvor den alvorlige sporfeil er
oppstått. Stivheten til sporet sideveis kan betegnes med k. ω er den frekvens
som vognmateriellet passerer de periodiske ujevnhetene med. p er vognens
resonansfrekvens. Sideveis bevegelse til vognmateriellet er x som vil variere
som funksjon av avstand fra den alvorlige sporfeil. Uttrykket F0/k beskriver den
statiske deformasjonen i sporet. Iht. litteraturen kan følgende uttrykk utledes:
(2.79) |
Det dannes dempede svingninger. Disse kan beskrives av en omhyllingskurve. Det vises til figur 2.32.
Figur 2.31 Illustrasjon av langbølgede sidefeil
Figur 2.32 Forløp av dempede svingninger med omhyllingskurver
Bevegelseslikning for det rullende materiell
I de foregående avsnitt er det blitt diskutert utførlig den vertikale bevegelse til et enkelt legeme eller masse. En enkel svingningsteori for kun en bevegelse er betraktet. Forsterkningen av forskyvningen til massen i forhold til underlagets endring av deformasjonen på grunn av varierende elastisitet og tilfelle for resonansbevegelser er diskutert.
Det er påpekt at det er til sammen 6 mulige bevegelser for en masse eller
legeme som beveger seg langs sporet:
- langsgående bevegelseell er rykk i kjøreretningen
- lateral bevegelseeller sidesleng
- vertikalbevegelseeller hopping
- rotasjonsbevegelseeller rulling
- galoppering eller vipping
- svingning
Ved å betrakte alle disse bevegelsene til et legeme blir naturligvis forholdet vesentlig mer komplisert og omfangsrikt enn når bare en bevegelse (den vertikale) betraktes.
Et rullende materiell kan tenkes sammensatt av flere enkeltstående legemer som er forbundet med fjærer og dempere. I en slik sammensatt modell hvor bevegelsen til hver del beskrives av 6 frihetsgrader, kan den resulterende bevegelse av modellen beskrives av en vektor med forskyvning
(2.80) |
av alle frihetsgrader.
Legemene og deres systemtregheter med hver frihetsgrad kan bli uttrykt ved
en matrise
(2.81) |
og forholdet mellom forskyvning og hastigheten til frihetsgradene. Stivhetene og dempingen kan uttrykkes ved matrisene
(2.82) |
(2.83) |
Likninger for bevegelse av en modell kan skrives på følgende form:
(2.84) |
F er eksterne krefter som virker på vognen.
Matrisen for demping må skrives på formen
(2.85) |
Dette fordi dempingen tar i betraktning stivhet og hastighetsavhengige elementer.
Løsningen av disse likningene i matrisene gjør det mulig å beregne stabilitet, kjøreegenskaper og evnen til å gjennomløpe kurver til et rullende materiell ved å ta hensyn til materiellets ulike komponenter (ikke bare et legeme med en masse).
Dynamisk modell av vogn-spor
Den gjensidige dynamiske påvirkning mellom rullende materiell og spor kan matematisk beskrives meget godt og definert i vertikal retning. Figur 2.33gir et eksempel på en slik modell som består av et diskret (avsondret) masse - fjær system for det rullende materiell og en diskret opplagret bjelke på elastisk underlag. I kontaktflaten mellom hjul og skinne eksisterer den såkalte Hertzian fjæren.
Den dynamiske oppførsel opptrer i et meget vidt bånd fra lave frekvenser i størrelsesorden 0,5 - 1,0 Hz for vertikale og laterale akselerasjoner opp til 2000 Hz i vognkasse som en konsekvens av geometriske ujevnheter i skinner og på hjulbane.
Figur 2.33 Dynamisk modell av vogn - spor
Det skal i det etterfølgende bli forsøkt å skape en forståelse for de dynamiske
krefters natur ved beskrivelse av sporets og det rullende materiellets
dynamiske karakter.
Et dynamisk system som består av fjærer og masser har i det minste en
egenfrekvens. Ved denne frekvensen vil systemet vibrere. Det er allerede
nevnt at et enkelt system med én masse og én fjær med stivhet k har
egenfrekvens iht. følgende formel:
(2.86) |
Her betyr:
- f0 = egenfrekvens(Hz), (s-1)
- k= fjærkonstant(kN/mm)
- m= masse i kg
Det kan utledes av formelen at en stor masse med myk fjær gir lave frekvenser. Omvendt vil en liten masse med stiv fjær forårsake høye frekvenser.
Sporet er bygd opp av flere komponenter. Et konvensjonelt spor består av skinner, befestigelse med fjærer og mellomleggsplater (elastisk skinnebefestigelse), sviller og endelig ballast samt underbygning. På samme måte kan det rullende materiell deles opp i vognkasse, boggiramme og hjulsats.
Et system bestående av sporet og det rullende materiell kan illustreres som vist i figur 2.25. I denne formen er vognmateriellet forbundet med fjæroppheng og demper mellom vognkasse og boggi(sekundærfjær) og et nytt fjæroppheng med demper mellom boggi og hjulsats. Den direkte kontaktflaten mellom hjul og skinne kan beskrives ved den såkalte Hertzian-fjæren. Det høyelastiske mellomlegget mellom skinne og sville kan også betraktes som en fjær med gitt stivhet og demper. Under sville hviler ballasten på en underbygning. Alt etter undergrunnens beskaffenhet har ballasten forskjellige stivheter.
Systemet består altså av flere legemer som er forbundet med hverandre gjennom fjærer og dempere. Hvert av disse legemene kan da tilordnes hver sin egenfrekvens. Dessuten er det nødvendig å betrakte systemet som en helhet med en resulterende egenfrekvens. Det er påvist at hver komponent i sporet blir utsatt for ulik påkjenning fra samme dynamiske kraft mot skinnens kjøreflate. Dette henger sammen med at sporet og det rullende materiell kan betraktes som et dynamisk system som beskrevet. De opptredende frekvenser for de enkelte legemer i systemet kan beregnes iht. følgende formel:
(2.87) |
hvor
- f = det enkelte legemets egenfrekvens
- k= legemets stivhet (N/m)
- m= legemets masse (kg)
Normalt vil vognkassen ha den største massen og det mykeste fjæropphenget
i systemet. Med tilordnet demper medfører dette lave frekvenser i vertikal
bevegelse. Boggirammen har mindre masse og som regel stivere fjær. Dette
medfører høyere frekvenser. Hertzian-fjæreni kontaktflaten mellom hjul og
skinne er meget stiv og fører til særdeles høye frekvenser.
Den resulterende masse bestående av komponentene i sporet opptrer som
ekvivalent medsvingende masse. Denne ekvivalente medsvingende masse er
normalt mindre enn vognkassens masse og har også en høyere fjærstivhet.
Dette fører som regel til høyere frekvenser for sporet enn for vognkassen. Spesielt i tunneler med lav ballasthøyde og uten ballastmatter kan frekvensene bli til dels meget store.
Det rullende materiell forårsaker resulterende egenfrekvenser i området 0 < f < 30 Hz. Den resulterende svingende masse er bestemt ut fra vekten av vognkasse, boggiramme, og hjulsats. I den nedre delen av dette frekvensområdet kan sporet antas å være stivt og ubevegelig.
I frekvensområdet 20 < f < 60 Hz oppstår en sone hvor hjulsats og spor danner et felles svingende system. Den svingende masse blir summen av hjulmasse og ekvivalent medsvingende spormasse.
For høyere frekvenser vil sporet igjen stivne og det oppstår resonanssvingninger mellom hjul og skinne. Dette medfører store overflatespenninger på hjul og skinne.
Figur 2.34viser hvilke deler i vognmateriellet som antar bestemte typer av resonansbevegelser ved gitte hastigheter og ved hvilke bølgelengder disse bevegelsene inntreffer.
Figur 2.34 Egenfrekvenser for de enkelte komponenter i vognmateriellet
I diagrammet er angitt bølgelengde langs abscissen og ordinaten viser
hastighetsnivået. Intervallområdene for resonansbevegelser for de ulike deler
av vognmateriellet er inntegnet. Det framgår f.eks. at vognkassen til en vogn
vil anta vertikalbevegelser(hopping) i frekvensområdet 1 - 2 Hz. Avhengig av
framføringshastighet(10 m/s til 60 m/s) vil den periodiske bølgelengde variere
fra 5 m opp til 50 m.
Et lokomotiv vil anta resonansbevegelser mht. hopping og galoppering i frekvensområdet 5 til 15 Hz. Dette skjer i bølgelengdeområdet 0,5 m til 5,0 m i angitt hastighetsområde.
Tilsvarende vil det opptre hopping av hjulsett til en boggi i frekvensområdet 30 - 50 Hz i samme hastighetsintervall (10 m/s - 60 m/s) ved bølgelengder i området 0,2 m til 2,0m. Det gjøres oppmerksom på at svilleavstanden er 0,6 m. Svillene representerer en plutselig forandring i elastisitetsforholdene i sporkonstruksjonen, spesielt ved for lav ballasthøyde. Dette kan under ekstreme forhold føre til resonansbevegelser.
Det skal gis en teoretisk betraktning mht. bevegelse av en partikkel på sporet hvor en bølge i sporets overflate i en idealisert tilstand tenkes beskrevet ved følgende funksjon:
- z = z0 cos kx
hvor
- k = 2π/L
Her betyr:
- L = bølgens lengde (m)
- z0= bølgens amplitude
En massepartikkel beveger seg på bølgens overflate med hastighet
- v(m/s)
Med tilbakelagt vei
- x = vt
vil massepartikkelen i tidsperioden bevege seg
- z = z0 cos kvt
I en definert tidsperiode T beregnes bølgelengden til:
- L = vt (m)
eller
- L = v/f
hvor
- f = 1/T (s-1) eller (Hz)
Dersom sporet tenkes helt stivt, dvs. i frekvensområdet f < (20 - 30) Hz, vil bølgelengder iht.
- L = vf-1
variere i området 2 m < L < 60 m ved hastighet ca. 60 m/s.
Tilsvarende oppnås aktuelle bølgelengder i frekvensområde 30 < f < (60 - 100) Hz lik 0,60 m < L < 2 m.
Hertzian - fjæren
Gjennom den gjensidige påvirkningen i vogn - sporsystemet blir krefter overført ved kontaktflaten mellom hjul og skinne. Denne kraften F forårsaker en vertikal bevegelse av hjulet til boggien og sammenhengen mellom bevegelse og kraft uttrykkes ved den såkalte Hertzian-fjæren. Den antatte lineariserte stivheten til Hertzian-fjæren kan beskrives ved differensialligningen
(2.88) |
Dette betyr at stivheten kH
beskriver en lineær forandring av kraft over en gitt
lengdeenhet. Egentlig er denne stivheten ikke lineær, men dette blir altså
antatt i den matematiske modell.
Stivheten kH er i litteraturen angitt som en funksjon av aksellast og hjuldiameter. Som eksempel kan nevnes at for en hjuldiameter på 1,00 m og en statisk hjullast lik 75 kN er det beregnet en verdi for kH lik:
- 1,4 x 109 N/m for nye hjul
- 1,6 x 109 N/m for eldre hjul
Det blir altså antatt en stivere verdi for eldre hjul enn for yngre hjul.
Iht. figur 2.35 kan sammenhengen mellom den gjensidige påvirkningskraften FH og forandringen i lengden til Hertzian-fjæren bestemmes ved følgende ligning:
(2.89) |
Her betyr:
- yW= den vertikale forskyvning av hjulet i nivå med aksel
- yR= den vertikale forskyvning av skinnen under påvirkning av kraft FH
- yG= vertikal geometri av skinnen
- kH= den lineariserte stivhet i Hertzian-fjæren
- FH= vertikal dynamisk kraft i kontaktflate hjul–skinne
Figur 2.35 Hertzianfjæren
For å holde de dynamiske kreftene så lave som mulig er det nødvendig å
vektlegge forskjellige aspekter ved konstruksjon av vognmateriell.
Vognen må utøve stabilitet innenfor det hastighetsområde den er dimensjonert for. Dette betyr at det må være tilstrekkelig nivåer på alle dempere i relevante vibrasjonsområder. Over tid slites hjulflensen og forandring av konisiteten oppstår. Spesielt ved høyere hastigheter kan forandring av konisitet føre til ustabilitet ved framføring av det rullende materiell.
Mht. komfort for passasjerene er det nødvendig å innføre myke fjæroppheng. Sammen med stor vognmasse medfører dette lave vertikale egenfrekvenser.
Store sporkrefter og derved utmatting samt slitasje oppstår på sporet på grunn av stor vognmasse og spesielt på grunn av den uavfjærede masse. Uavfjæret masse er massen under det primære fjæropphenget til vognen og er derfor massen som hviler direkte på kontaktflaten mellom hjul og skinne.
Det må av den grunn gjøres avveininger eller kompromisser mht. konstruksjon av vognmateriell. Tunge vogner vil bevirke god komfort fordi de reagerer tregt på ujevnheter i sporet. På den annen side vil tung masse føre til utmatting på sporets komponenter.
Det er helt nødvendig å unngå flate hjul for å hindre hjulslag.
Men det må også stilles krav til overbygningen. Overbygningen må ha jevn og homogen elastisitet. Ballastlaget må derfor være ensartet og ha konstant høyde. Videre bør ballastlaget legges på en underbygningskonstruksjon hvor formasjonsplaneter lagt ut med stor nøyaktighet mht. jevnhet (helt plant). Ujevnheter i formasjonsplanet kan føre til uheldige bevegelser av materiellets ulike deler i vertikalretningen med resonansfrekvenser som følge.
HJULSETTPÅ SKINNEBUNDET SPOR
Bevegelsesmønsteret til hjulsettet til et vognmateriell på skinnebundet spor er fundamentalt for forståelsen av kjøredynamikken. I dette avsnittet skal det gis en beskrivelse av bevegelsene. I neste avsnitt følger de matematiske likninge som er forbundet med framføring av det rullende materiell.
Differanse i rulleradius til hjulene i hjulsettet
Hjulbanene til hjulene i et hjulsett er formet konisk. Når hjulsettet antar en lateral bevegelse i forhold til spormidt, vil rulleradius bli endret. Dette er illustrert i figurene 2.36,2.37 og 2.38. Figur 2.36 viser tilfellet når hjulsettet beveger seg med nominell hjulradius rNOM . Når flensen til hjulet flytter seg mot innvendig kant av skinnehodet, vil rulleradius til hjulbanen i kontaktpunktet mellom hjul og skinne rc. øke. Beveger flensen til hjulet seg vekk fra innvendig skinnekant, blir rulleradius mindre enn rNOM .
Figur 2.36 Rulleradius rNOM til hjulbanen i kontaktpunktet mellom hjul og skinne.
Figur 2.37 Rulleradius rC til hjulbanen i kontaktpunktet mellom hjul og skinne. Rulleradius er større enn nominell radius.
I figur 2.38 er vist et tilfelle hvor rulleradius rC kan bli meget stor.
Figur 2.38 Kontaktpunktet mellom hjul og innvendig skinnekant ligger i
flensområdet.
Etter som hjulsettet beveger seg lateralt fra den midtre eller nominelle
posisjon, vil en hjulflens nærme seg innvendig kant av skinnehodet. Den
andre hjulflensen vil fjerne seg fra skinnehodet. Dette medfører at rulleradius
til hjulbanen i kontaktpunktet for det ene hjulet vil øke. Tilsvarende vil
rulleradius til hjulbanen i kontaktpunktet til det andre hjulet avta. Dermed
oppstår det en differanse i rulleradius til de 2 hjulene i hjulsettet.
Dersom hjulprofilene var helt koniske, ville gravitasjonssenteret til hjulsettet ha samme høyde ved lateral bevegelse. Men vanligvis er hjulsettene utsatt for slitasje som fører til hult profil. Dette medfører en kraftig endring av hjulradius for det hjulet hvor flensen nærmer seg innvendig kant av skinnehodet. Differensen i rulleradius til hjulbanene for de 2 hjulene vil da bli meget stor. Gravitasjonssenteret til hjulsettet vil løfte seg litt. Forholdet kan medføre klatring som til slutt kan ende i avsporing. Dette vil imidlertid bli forsøkt hindret av hjulsettets treghet og stivhet til primærfjæren. I figur 2.39er det vist forskjellen mellom et korrekt konisk profil og et slitasjeprofil.
Figur 2.39 Forskjellen mellom konisk profil og slitasjeprofil.
Effekt av lateral bevegelse av hjulsettet
Dersom et hjulsett beveger seg f.eks. lateralt til venstre i forhold til sporet i kjøreretningen, så vil rulleradius til hjulbanen til det venstre hjulet rL øke. Det vises til figur 2.40. Rulleradius til hjulbanen til det høyre hjulet derimot vil avta når hjulet beveger seg fra skinnen. Når omkretsen til det venstre hjulet blir større, vil det prøve å rulle videre ved en gitt rotasjonshastighet. Når fjæringen til slutt utøver motstand, vil det oppstå motsatt like store langsgående krefter på de 2 hjulene. Dette medfører et dreiemoment som forsøker å bringe hjulsettet tilbake til senterlinjen i sporet.
Figur 2.40 Lateral bevegelse av hjulsettet.
Dersom hjulsettet beveger seg med en anløpsvinkel i sporet, vil hjulene i hjulsettet prøve å fortsette rullingen i den angitte retning. Dette er vist ved de svake angitte dobbeltpilene i figur 2.41. Dersom hjulsettet i denne stillingen b tvunget til å fortsette den parallelle bevegelsen i sporet (angitt ved de svarte dobbeltpilene), vil det oppstå laterale krefter på hjulbanen til hvert hjul.
Figur 2.41 Hjulsettet beveger seg på sporet med en anløpsvinkel
Dersom det er hjulflensen som framtvinger hjulsettet til å løpe parallelt med sporet med anløpsvinkel, så vil det fremdeles være en lateral kraft F på hjulbanen til hvert hjul. Hjulflensen på det venstre hjulet må imidlertid utvikle en kraft på 2 F i retning mot høyre for å overvinne hjulbanekreftene. Når hjulbane- og hjulflenskreftene summeres på det venstre hjulet, vil det oppstå en netto kraft lik F mot høyre på det venstre hjulet. Det vil da bli en rotasjonsbevegelse mot høyre. Dette er vist i figur 2.42.
Figur 2.42 Motsatt rettede krefter i hjulbanen framtvinger en dreining av
hjulsettet mot høyre
Kreftene vist i figur 2.42 er de resulterende krefter på hjulene. Kreftene på
skinnene vil bli like store og motsatt rettet. Dette betyr at hjulsettetvil generere
krefter som vil trekke skinnene fra hverandre og dermed føre til større
sporvidde.
Bevegelse av et fritt hjulsett på rett linje
Det antas at et fritt hjulsett beveger seg på et spor. Videre forutsettes at hjulsettet starter denne bevegelsen fra en forskjøvet posisjon. På grunn av forskjell i rulleradius til hjulbanene på de 2 hjulene vil hjulsettet av seg selv styre inn mot senterlinjen av sporet. Når hjulsettet når senterlinjen av sporet, vil det danne en anløpsvinkel i forhold til skinnene. Av den grunn vil hjulsettet gå mot den andre siden av sporet og bevegelsene vil fortsette på denne måten. Bevegelsesmønsteret er vist i figur 2.43.
Denne trigonometriske bevegelsen på sporet betegnes som hjulsettets kinematiske bevegelse og er kun en funksjon av det geometriske systemet. Bestemmende parametre er den effektive konisitet til hjulsettet, hjulradius og sporvidde. Den effektive konisitet utledes av helningen på skinnene og de koniske hjulene på hjulsettet. Den bølgelengde som oppstår, kalles den kinematiske bølgelengde og er uavhengig av hastighet. Dette medfører at frekvensen av den kinematiske bevegelse øker lineært med økende hastighet.
Denne bevegelsen kan i siste konsekvens føre til ustabilitet og såkalt hunting (hjulflensen støter mot skinnekantens innside).
Figur 2.43 Bevegelse av et hjulsett i en kurve
I en kurve vil den ytre skinnen være lenger enn den indre skinnen. Dersom
hjulsettet beveger seg tilstrekkelig langt nok lateralt mot den ytre skinne ved
framføring, vil differensen i rulleradius til hjulbanene til de 2 hjulene utligne
forskjellen i lengde. Et hjulsett som følger en slik bevegelse i en kurve,
betegnes å følge den ideelle linje. Dette er illustrert i figur 2.44.
Figur 2.44 Bevegelse av hjulsett i kurve
Et hjulsett som har radielle egenskaper og som følger den ideelle linje, vil løpe
perfekt gjennom kurven. Dermed vil tilleggskrefter ikke genereres. Imidlertid er
det viktig å være klar over at størrelsen av tilgjengelig lateral bevegelse vil bli
begrenset ved hjulflensens tilstedeværelse. For et hjul med konisitet lik 1 : 20
vil det være nødvendig med en radius lik 1700 m for at hjulsettet skal følge
den ideelle linje uten flenskontakt.
Rullende friksjon
Friksjonskrefter oppstår på grunn av differanse i rulleradius til hjulbanene i hjulene og på grunn av anløpsvinkel. Disse friksjonskreftene er forskjellig fra den klassiske glidende friksjon. Dette har sin bakgrunn i at hjulsettet ruller langs sporet.
Teorien og forståelsen av den rullende kontakt er fundamental for utviklingen av den teoretiske forståelse av kontakten hjul/skinne.
Den rullende kontakt eller den relative bevegelse mellom hjul og skinne benevnes kryp. Kryp er hastigheten av overflatekontakten til det ene legemet relativt til overflatekontakten til det andre legemet. Krefter på grunn av kryp kalles krypkrefter.
Et typisk krypkraft/krypforhold er vist i figur 2.45. Ved den glidende friksjon bygges kraften opp til et høyt nivå med en gang. Men med en gang den er oppstått, synker den glidende krypkraft med økende relativ hastighet. Mht. den rullende friksjon vil kraften være proporsjonal med den relative hastighet eller kryp ved lave verdier. Ved høyere verdier av hastighet/kryp vil kraften nærme seg asymptotisk mot et nivå som er gitt ved friksjonskoeffisienten multiplisert med normallast lik N.
Figur 2.45 Rullende friksjon og glidende friksjon
SAMVIRKE MATERIELL - BANE, KONISITET
I det foregående avsnitt ble bevegelsen av hjulsettet beskrevet. I dette avsnittet skal de matematiske sammenhenger diskuteres.
Generelt har hjulene følgende oppgaver:
- Bære det rullende materiell
- Styre det rullende materiell i lateral retning
- Overføre trekk- og bremsekrefter
Hjulsatsen
Hjulsatsen er et av jernbaneteknikkens grunnleggende konstruksjonselement. Hvert av hjulene har en hjulbane som er i kontakt med skinnen og en flens. Hjulflensens oppgave er å styre hjulsettet lateralt i sporet.
De 2 hjulene i et hjulsett er forbundet med en aksel. En hjulsats kan dermed beskrives som et par konede hjul med flenser hvor hjulene er stivt forbundet med akselen.
Figur 2.46 illustrerer et hjulsett på sporet.
Figur 2.46 Definisjon av viktige parametre for en hjulsats på sporet.
Følgende parametre defineres:
- Nominell sporvidde som er avstanden mellom kontaktpunktene for
løpebanenes middellinjer (sirkellinjer) på skinnene. Denne parameteren er meget viktig og må ikke forveksles med sporvidde. Nominell sporvidde skal være 1500 mm.
- Sporvidde som er avstanden mellom innsiden til de 2 skinnene målt 14 mm
under skinnetopp. Sporvidden skal være 1435 mm. Toleranseverdier er vanligvis + 10 mm og - 3 mm for et spor av vanlig bra standard. Detaljerte toleransemål i de ulike hastighetsavhengige kvalitetsklaser er gitt i regelverket.
- Flensvidde som er avstanden mellom hjulflensene mot innside av
skinnekant målt 10 mm under overkant av skinnetopp for et spor med nominell sporvidde. Det forutsettes at hjulsettet er i sentrert posisjon. Flensvidden er 1426 mm med toleranseverdier lik + 0 mm og -16 mm.
- Hjulvidde som er avstanden mellom innside av hjulene og er 1360 mm på
et standard spor med nominell sporvidde lik 1500 mm. Toleranseverdiene er + 3 mm og - 3 mm.
- Sporspillet er klaringen mellom hjulsettet og sporet og er dermed den
avstand hjulsettet kan bevege seg lateralt. Denne avstanden er ikke den samme som avstanden mellom sporvidde og flensvidde.
- Andre viktige parametre for hjulet er flenstykkelse, flenshøyde og det
såkalte qR målet.
qR måletdefineres som horisontal avstand målt fra et punkt i en høyde på 2 mm fra underkant hjulflenstil et punkt som er 10 mm over hjulbanen ved løpesirkelen. Det vises til figur 2.47.
Figur 2.47 Definisjon av qR
- målet.
Ved Jernbaneverket skal qR
ikke underskride 6,5 mm. Ved en lavere verdi vil
innvendig side av flensen bli meget bratt. Dette øker faren for avsporing.
Hjulets konisitet
Det er nevnt at hjulets løpebane er konisk formet.
Årsaken til dette er at konisiteten gir en styremulighet for hjulsatsen i sporet på rett linje og i kurver. I den etterfølgende betraktning skal det antas at hjulenes hjulbaner har en rak konisk form.
Figur 2.48 Konisitet for hjulene i et hjulsats
Figur 2.48 viser kontaktpunktene mellom hjulene til et hjulsett og skinnene. Det er antatt at hjulsettet er sentrert. Dersom hjulsettet beveger seg lateralt mot høyre på grunn av klaringen, vil rulleradius til det høyre hjulet, rH , bli større. Likeledes vil rulleradius til det venstre hjulet, r V , bli mindre.
Dersom hjulsettet derimot beveger seg mot venstre, vil rV bli større og rH vil anta en lavere verdi.
Denne differansen mellom størrelsen på de 2 hjulradiene til hjulene er en meget viktig parameter for å kunne beskrive hjulsettets bevegelser. Under antakelse av at hjulets hjulbane er ideelt konisk utformet, kan følgende enkle matematiske sammenhenger iht. betegnelser i figur 32 utledes ved lateral bevegelse av hjulparet mot høyre:
(2.90) |
(2.91) |
Her betyr:
- rV er rulleradius til det venstre hjulet i kontaktpunktet med skinne
- rH er rulleradius til det høyre hjulet i kontaktpunktet med skinne
- r0 er midlere rulleradius til hjulet
- λ er hjulbanens konisitet eller helning
- y er lateral forskyvning av hjulsettet
For et konisk hjulsett er verdien av λ gitt ved vinkelen til det koniske kjegleutsnittet. For l lik 0,05 er konisiteten eller helningen til hjulbanen med horisontalen lik 1 : 20. Tilsvarende er for λ lik 0,025 konisiteten til hjulbanen lik 1 : 40.
Imidlertid i praksis er variasjonen eller endringen i hjulradius for hvert hjul en meget kompleks funksjon. Viktige parametre er hjulets og sporets geometri. Dette har sammenheng med at hjul med rak konisitet i hjulbanen etter hvert vil bli utsatt for slitasje i hjulbanen. Det kan danne seg en dobbelflens som vist i figur 2.49. Et annet fenomen er dannelse av en falsk flens. Et slikt slitasjeprofil vil kunne oppstå relativt hurtig, bl.a. på grunn av bremsing. Men når det først har oppstått, vil profilet være ganske stabilt og det opptrer da som et slitasjetilpasset profil.
Både dobbelflens og falsk flens vil i varierende grad føre til tvangsstyring av hjulsettet.
Figur 2.49 Slitt profil i hjulbane med dannelse av dobbel flens og falsk flens
Kontaktpunktsgeometri
Mellom hjul og skinne dannes en kontaktflate. Dersom normalkraften i kontaktflaten går mot null, vil kontaktflaten bare bli et punkt. Dette punktet kalles kontaktpunktet.
Den geometriske formen på kontaktflaten mellom hjulbane og skinnehode er normalt elipseformet.
Kontaktellipsens størrelse kan beregnes ved hjelp av Hertz’ kontaktteori. Kontaktellipsens flateinnhold er ca. 1 - 2 cm2. Dette er illustrert i figur 2.50.
Figur 2.56 Ekvivalent konisitet
Det framgår at funksjonen ikke beskriver en rett linje. For å oppnå en “ ekvivalent konisitet” vil det være nødvendig å trekke en rett linje gjennom den ikke-lineære grafen for best mulig tilpassing. Dette kan gjøres ved å benytte en veiet funksjon som tar hensyn til den tiden som hjulsettet bruker for hver verdi av den laterale posisjon hjulsettet har. Den mest normale veide funksjon er normalfordelingsfunksjonen sentrert om sporets senterlinje og med et standardavvik lik 2,5 mm. Ved å bruke en slik veiet funksjon kan den best tilpassede rette linje for å beskrive den ekvivalente konisitet uttrykkes ved:
Figur 2.50 Kontaktellipsens flate er normalt 1 - 2 cm2
Dersom det dannes kun ett kontaktpunkt mellom hjul og skinne, råder
ettpunktskontakt. Det vises til figur 2.51.
Figur 2.51 Ettpunktskontakt mellom hjul og skinne
2 kontaktpunkter mellom hjul og skinne betegnes topunktskontakt. Dette er
illustrert i figur 2.52.
Figur 2.52 Topunktskontakt
Det skal bemerkes at for et hjul med slitasjetilpasset hjulbane på en slitt skinne forflyttes kontaktpunktet som regel kontinuerlig mot hjulflensen når hjulet forskyves lateralt i forhold til skinnen.
Ekvivalent konisitet
Når et hjul forskyves lateralt i forhold til skinnen, medfører dette en endring av flere parametre som har betydning for kontaktpunktet mellom hjul og skinne.
Den laterale forskyvning til hjulsettet betegnes y. Flere parametre vil være avhengig av denne bevegelsen. Det innføres:
- r0 er hjulradius i løpesirkelen
- Δr er økning i hjulradius
- γ er kontaktpunktsvinkelen
- ΔZH er hjulløftet
- Δy er sideforskyvning av kontaktpunktet hjul – skinne, denne defineres som positiv når hjulets flens nærmer seg skinnen
Figur 2.53 viser definisjonen av disse parametrene.
Figur 2.53 Definisjon av parametre i kontaktpunktet hjul/skinne
Med bakgrunn i ovennevnte vil det for en gitt hjul/skinne kombinasjon dannes de tre kontaktpunktsfunksjonene:
(2.92) |
(2.93) |
(2.94) |
Med effektiv konisitet for et hjul menes kvotienten mellom økning i rulleradius og den laterale forskyvning mellom hjul og skinne:
(2.95) |
Oftest er det imidlertid den effektive konisiteten for et hjulsett som er av
interesse. Denne konisiteten uttrykkes som kvotienten mellom den halve
forskjellen i rulleradius mellom de 2 hjulene og den laterale forskyvning
mellom hjul og skinne:
(2.96) |
Det vises til figur 2.54.
Figur 2.54 Ved en sideforskyvning av hjulsettet endres hjulenes rulleradius
Dersom hjulbanene til de 2 hjulene har den samme konisitet(rak konus), er den effektive konisitet identisk med konusvinkelen dvs. kontaktpunktsvinkelen. For dette tilfelle gjelder:
(2.97) |
(2.98) |
(2.99) |
Dette gir:
(2.100) |
Det vises til figur 2.55.
Figur 2.55 Effektiv konisitet ved rett konus
Det framgår av ovennevnte at med et slitt profil vil den aktuelle konisitet være avhengig av formen på skinnehodet og hjulbanen samt slitasje på øvrige komponenter. Sporvidde og skinnehelning har også innflytelse.
Uttrykket (rL-rR) gjenspeiler den øyeblikkelige differanse i rulleradius til hjulbanene for et hjulsett. I praksis er denne differansen en ikke-lineær funksjon av den laterale forskyvning Δy av hjulsettet mht. senterstillingen.
Et diagram som beskriver differansen i rulleradiusuttrykt ved (rV - rH) i forhold til den laterale bevegelse Dy av hjulsettet kan opptegnes. Et eksempel er vist i figur 2.56.
(2.101) |
N representerer normalfordelingsfunksjonen mht. hyppighet av den enkelte
laterale forskyvning ved en bestemt verdi av differanse i rulleradius.
Når hjulsettet gjennomløper en kurve, vil de 2 hjulene ha forskjellig distanse tilbakelegge. Dette fordi den ytre skinnestrengen er lengre enn den indre skinnestrengen i kurven. Dersom differansen i rulleradius til de 2 hjulene forholder seg til differansen i lengde til skinnestrengene, så vil hjulsettet gjennomløpe kurven på en perfekt måte. Dette er illustrert i figur 2.57.
Figur 2.57 Gjennomløp av hjulsett i kurve i nøytrallinjen
Hjulsettets laterale posisjon i en riktig stilling i kurven kan uttrykkes ved
følgende formel:
(2.102) |
Her betyr:
- rV = rulleradius til det venstre hjulet
- R = kurvens radius
- l0= halv sporavstand
- rH = rulleradius til det høyre hjulet
Dersom hjulbanene til hjulene er teoretisk formet med riktig konisitet, kan
beliggenheten til den nøytrale linjen i kurven beregnes mht. forskyvning fra
spormidt:
(2.103) |
Her betyr:
r0= sentersirkel i hjulbanen til hjulet
l = konisitet til hjulene
Kontaktpunktvinkelen er allerede nevnt. Størrelsen på kontaktpunktsvinkelen
er meget viktig da kraften normalt på kontaktpunktet gir opphav til en lateral
komponent. Kraften normalt på kontaktpunktet skal bære vekten av det
rullende materiell som framføres. Dersom hjulsettet har hjul som er teoretisk
konisk utformet, så vil konisiteten til hjulet i kontaktpunktet være den samme
som kontaktpunktsvinkelen. Dette gjelder under forutsetning av at flenskontakt
blir unngått. For et profilert hjul vil den opptredende kontaktpunktsvinkelen d
variere etter som hjulsettet beveger seg langs skinnene. På samme måte som
en differanse i rulleradiustil hjulene i et hjulpar oppstår, vil det oppstå en
differanse i størrelsen på kontaktpunktsvinkelen til de samme hjulene. Denne
differansen kan uttrykkes ved
(2.104) |
Denne differansen i kontaktpunktsvinkelenkan beregnes og en lineær
kontaktpunktsvinkel som parameter kan bestemmes relatert til (γR - γL) som
funksjon av den laterale forskyvning y:
(2.105) |
Dette er antydet i figur 2.58.
Figur 2.58 Definisjon av kontaktpunktsvinkel
Det er allerede nevnt at hjulbaner på hjul med rak konus etter hvert vil forandre form på grunn av slitasje. For små sideforskyvninger mellom hjul og skinne kan hjulflaten og skinneflaten i området for det nominelle kontaktpunktet med en viss tilnærming anses å ha konstante krumningsradier i tverrplanet. Det forutsettes videre at kontaktpunktsvinkelen i normal stilling ved forskyvning y=0 er λ=γ0.
Under forutsetninger av små laterale forskyvninger kan den effektive
konisitetenberegnes iht.:
(2.106) |
Her betyr:
- rTH = krummningsradius til hjulbanen
- rTR = krummningsradius til skinnehodet
Figur 2.59 Effektiv konisitet ved små forskyvninger
Det kan av ovennevnte formel avleses at den effektive konisitet kan bli meget stor dersom hjulbanens og skinnehodets krummningsradier er tilnærmet like store. Ved oppstått slitasje i hjulbanen til hjulet kommer derfor den effektive konisiteten til å øke.
Den effektive konisitet kommer også til å bli stor når sporspillet er lite i normalstilling til hjulet. Dette henger sammen med at Kontaktpunktvinkelen g 0 blir høy. Det vises til figur 2.59.
I ovenliggende formel ble det forutsatt at krummningsradiene for hjulbanen til hjulet og til skinnehodet i tverrplanet var konstant. Dette har tilnærmet gyldighet for små bevegelser av hjulsettet i lateral retning i området rundt normalstillingen, dvs. i området + 2 mm til - 2 mm.
I praksis må størrelsene Δr, γ og ΔZH beregnes med numeriske metoder. For ikke-lineære funksjoner kan benyttes metoden som tar i bruk normalfordelingsfunksjonen som veid funksjon. Det vises til foregående redegjørelse.
Det kan konkluderes med at ved lite sporspill dvs. trangt spor kan den effektive konisiteten bli meget høy. Spesielt gjelder dette når det samtidig er full tykkelse av hjulflensen på begge hjulene.
Spørsmålet blir hvor stor bør konisiteten være. Det er naturligvis vanskelig å konstruere et løpeverk som utøver gode løpeegenskaper under alle forhold. Normal konstruksjonspraksis er at det rullende materiell skal klare en effektiv konisitet i området
0,05 ≤ λEFF. ≤ 0,35.
Dette gjelder for framføring av rullende materiell med høyere hastigheter.
For lavere hastigheter bør kanskje gjelde λEFF. ≤ 0,50.
Hjulparets bevegelse i sporet
Rett linje
Et hjulsett med hjul som har teoretisk riktig konisitet mht. hjulbanen, beveger seg på rett linje. På grunn av klaringen i sporet (sporspillet) vil hjulet bli forskjøvet lateralt. Denne laterale bevegelsen vil bli møtt eller motvirket av en kraft som gjør at hjulsettet beveger seg mot den andre siden. Det oppstår en periodisk bevegelse, en såkalt sinusbevegelse. Denne pendlingen av hjulsettet er beskrevet teoretisk av Klingel i 1883 og betegnes derfor som Klingels bevegelse. I figur 2.60er hjulsettet modifisert og følgende parametre inngår i den matematiske formuleringen:
- λ eller γ = konisitet(helning) til hjulbanen
- r = radius av hjulbanens sirkel i senter
- R = radius i sinuskurven til den periodiske bevegelse på rett linje
- s = sporvidde
- y = lateral forskyvning av hjulsettet fra senter
- v = hastighet
- x = distanse som tilbakelegges
I en teoretisk riktig bevegelse vil hjulsettet bli forskjøvet lateralt over en distanse y med utgangspunkt i senter til hjulbanens løpesirkel. Dette på grunn av rullingen til hjulsettet ved framføring. Videre vil differansen i rulleradius til hjulsettet være 2yγ .
Det kan utledes følgende matematiske sammenhenger:
(2.107) |
(2.108) |
Figur 2.60 Differanse i rulleradius mht. lateral bevegelse til hjulsettet
Dette gir:
(2.109) |
(2.110) |
(2.111) |
(2.112) |
Med disse 4 utrykkene kan følgende sammenhenger utledes:
(2.113) |
som er definisjon av ekvivalent konisitet.
(2.114) |
Det er påpekt at den hjulsettet følger en tilnærmet sinusbevegelse med en
radius R på grunn av klaringen eller sporspillet når det beveger seg på ret
linje. Det må være kjent fra mekanikken at et element inntar en form ved
sentrisk belastning på grunn av trykkrefter som kan beskrives ved:
(2.115) |
Dette betyr at den annen deriverte av en funksjon beskriver krumningen til elementet i et x-y koordinatsystem ved sentrisk belastning av elementet. Det vises til figur 2.61. Denne relasjonen kan overføres til den tilnærmede sinusbevegelse til et hjulsett som på grunn av hjulbanenes konisitet beveger seg langs sporet på en rett linje.
Figur 2.61 Krumning av et element ved sentrisk belastning.
Det kan dermed utledes:
(2.116) |
(2.117) |
(2.118) |
(2.119) |
(2.120) |
(2.121) |
Denne differensiallikningen har en generell løsning som kan skrives på
formen:
(2.122) |
α kan beskrives ved uttrykket:
(2.123) |
For y(x = 0) = 0, blir løsningen:
(2.124) |
Her betyr:
- y0 = amplitude av den lateral forskyvning av hjulsettet
- L = bølgelengde i den periodiske sinusbevegelse på rett linje
Den kinematiske bølgelengde L er vist i figurene 2.62 og 2.63 og beskrives
ved formelen:
(2.125) |
Figur 2.62 Bølgelengde av bevegelsen til et hjulsett på rett linje
Figur 2.63 Teoretisk forløp av den laterale bevegelse av et hjulsett hvor
bølgelengde L, maksimal amplitude y0 og sporspillet er angitt.
Den maksimale laterale akselerasjon uttrykkes ved:
(2.126) |
Frekvensen til den laterale akselerasjon:
(2.127) |
Dersom denne frekvensen sammenfaller med en av resonansfrekvensene til
det rullende materiell, vil vognen bli ustabil ved framføring. Den laterale
akselrasjonen er et mål for størrelsen på de laterale krefter. Det framgår at
den laterale kraften vil øke ved større hastigheter og/eller ved mindre
bølgelengder, dvs. ved større konisiteter. Det framgår også at størrelsen på
bølgelengden er uavhengig av hastigheten. Parametre som bestemmer
bølgelengdens størrelse, er radius i senter til hjulbane, sporvidde og konisitet.
En konisitet lik 1 : 40 vil gi en større bølgelengde og en lavere lateral
akselerasjon enn en konisitet lik 1 : 20 ved samme hastighet. Den progressive
økende konisitet i tilfellet av slitte profiler på hjulbane og skinnehode vil
forårsake kortere bølgelengder og økende akselerasjoner.
”Hunting”
Det er utledet at bevegelsesligningen til Klingel kan skrives på formen:
(2.128) |
Det forutsettes at y = 0 ved stedet x = 0, dvs. der hvor bevegelsen til hjulsettet
starter.
Størrelsen på amplituden y0er en funksjon av sporets kvalitet mht.
uregelmessigheter (laterale sporfeil), dynamisk oppførsel av vognmateriellet
og hastigheten til det rullende materiell. Generelt på grunn av glidning vil y0
øke som funksjon av voksende hastighet inntil den laterale forskyvning antar
halve verdien av sporspillet (flangeway clearance). Hjulflensen vil da støte mot
innsiden av skinnehodet og hjulsettet vil “ bykse” eller “ sprette” tilbake. Dette
medfører at den laterale bevegelse vil innta en helt annen karakter og denne
bevegelsen er kjent som hunting. Dette er illustrert i figur 2.64.
Figur 2.64 Bevegelsesmønster til et hjulsett som utsettes for hunting
Bevegelsen til hjulsettet skifter fra en harmonisk sinusbevegelse til en form for sikksakk bevegelse. Bølgelengden blir kortere og frekvensen til den laterale akselerasjonen uttrykt ved hastighet over bølgelengde(v/L) øker. Til slutt kan resonans inntreffe. Dette er illustrert i figur 2.65. Boggien eller hjulsettet må derfor konstrueres på en slik måte at løpeegenskapene blir stabile. Parametre som må vies oppmerksomhet, er konisitet og sporspillet.
Figur 2.65 Økning i amplitude og frekvens med hastighet og utvikling av ustabilitet
Slitte hjulprofiler
Et absolutt perfekt konisk hjulprofil vil være ustabilt dersom bare formen betraktes. Men under påvirkning av slitasje vil profilet anta en form som gjør profilet stabilt. I tillegg vil de teoretisk riktige hjulprofilene ha den ulempe at en lateral bevegelse på grunn av 2-punkt kontakt, vil føre til støtbevegelse. Dersom det antas at profilet i kontaktpunktet mellom skinnehodet og hjulbane er sirkulært, så kan det utledes at ved en lateral forskyvning y til hjulsettet mht. sporet vil kontaktpunktet på skinnehodet overføres over en distanse:
(2.129) |
Her betyr:
- Δs = forskyvning av kontaktpunktet på skinne på grunn av
forskyvning av hjulsettet
- y = forskyvning av hjulsettet
- rHJUL = krummningsradius til hjulbanen
- rSKINNE =krummningsradius til skinnehodet
Videre kan det utledes:
(2.130) |
Det vises til figur 2.66 og figur 2.67.
Figur 2.66 Forskyvning av kontaktpunktet på skinnehodet på grunn av
forskyvning av hjulsettet.
Figur 2.67 ?r-kurve for et teoretisk S 1002 profil i kombinasjon med UIC54 skinne, skinnehelning1 : 40 og sporvidde 1434 mm.
Med koniske profil er radius uendelig og kontaktpunktet på skinnehodet beveger seg derfor ikke. Dette medfører at slitasje på skinnehodet blir mye konsentrert på et punkt. Et meget interessant punkt opptrer dersom radiene på hjulbanen og skinnen nesten blir den samme. Dersom det bare er en liten lateral forskyvning på akselen, så vil kontaktpunktet hoppe. Dette fører til mangel på kjørekomfort. I kurven for Dr manifesterer seg dette i et hopp.
Praktiske forsøk gjort i ORE Committee C 116har vist at over en gitt tidsperiode så stabiliserer seg slitasjen ved ekvivalent konisitet på ca. 0,2 til 0,3. Under hensyntagen til stabil løpsdynamikk må den ekvivalente konisitet være mindre 0,4, i alle fall ved høyere hastigheter. Og for å garantere sentereffekten må den ekvivalent konisitet være større enn 0,1. Figur gir en oversikt over verdier av den ekvivalente konisitet for profilet S 1002 i kombinasjon med skinne av type UIC60 for forskjellige sporvidder og skinnehelninger. Med unntakelse av skinnehelning1 : 20 øker konisiteten når sporvidden minker. Særlig ved stor skinnehelning øker konisiteten ved minkende sporvidde. Med skinnehelning 1 : 20 er konisiteten meget liten og nærmest uavhengig av sporvidden i området 1428 - 1438 mm.
Forskyvningene i kontaktpunktet på skinnehodet for gitte verdier er vist i figur 2.68. Videre er de illustrert i figur 2.69. Det vises at ved skinnehelning1 : 20 så arbeider ikke prinsippet med slitte profiler. Med skinnehelning 1 : 40 forblir hjulprofilene stabile skinnene slites lineært dersom sporvidden er mellom 1432 mm og 1436 mm.
Figur 2.68 Ekvivalent konisitet for S 1002 på UIC60
Figur 2.69 Bevegelse av hjul-skinne kontakt for S 1002 på UIC60
Anløpsvinkler
Det skal beskrives bevegelsesforløpet i en kurve for en boggirammeog for to akslede vogner.
Boggiramme
Anløpsvinkler opptrer ved gjennomkjøring i kurver med små radier. Under forutsetning av en stiv konstruert boggi holdes akslene parallelle. Boggien vil derfor forsøke å kjøre rett fram. Hjulet i fremre aksel vil da gjennomløpe sirkelkurven med flenskontakt mot ytre skinnestreng. Skinnestrengen presser hjulet tilbake og tvinger dermed boggien til å følge sporets krumning. Det oppstår en vinkel som defineres som anløpsvinkel. Det vises til figur 2.70. Anløpsvinkelen er vinkelen mellom skinnestrengen og hjulflaten. Denne vinkelen er lik vinkelen mellom hjulakselen og kurvens radius. Anløpsvinkelen angir forskjellen mellom vognakselens virkelige stilling og en teoretisk radialstilling. Størrelsen på anløpsvinkelen er avhengig av parametrene kurveradius og avstand mellom akslene i en boggie iht. følgende formel:
(2.131) |
Her betyr:
- α= anløpsvinkel til fremre aksel i boggi mot skinnestreng
- l = avstand mellom akslene
- R = radius i kurve
Formelen gir vinkelen i radianer. Omregning til grader og minutter blir:
(2.132) |
eller
(2.133) |
Figur 2.70 Anløpsvinkel til fremre aksel i en boggi
Dersom avstanden mellom akslene i en boggier f.eks. 2500 mm (B5 - materiell) og kurveradiuser 300 m, beregnes anløpsvinkelen til :
(2.134) |
(2.135) |
Dette under forutsetning av stiv boggiramme med aksler som holdes nøyaktig parallelle. Den bakre aksel i boggiløper gjennom kurven uten flenskontakt og føres dermed radielt.
Det er utviklet boggikonstruksjoner hvor oppleggene for hjulsettene er bygget elastiske og som dermed muliggjør radiell innstilling av hjulsettene.
Hjulsatsene er konstruert slik at det alltid er et sporspill ved framføring. Den forreste aksel i en boggikonstruksjon med stiv ramme vil da anta en anløpsvinkel som beregnes etter følgende formel:
(2.136) |
Her betyr f sporspillet. Ved økende sporviddeblir anløpsvinkelen dermed
større.
En stor anløpsvinkelmedvirker til økt slitasje på skinner og hjul samt til økt energiforbruk ved framføring av det rullende materiell. Det er derfor av interesse å holde anløpsvinkelen så lav som mulig.
To-akselede vogner
Dersom to-akslede vogner(godsvogner) ble bygget på en tilsvarende måte som boggier med stiv ramme (begge aksler holdes nøyaktig parallelle), ville anløpsvinkelen bli for stor. Dette fordi to-akslede vogner har en avstand mellom akslene opp til 10,0 m. Disse vognene blir bygget på en slik måte at akslene er svingbare i forhold til vognkassen. Hjulsatsene er derfor i stand til å dreie seg litt fra midtstillingen som de inntar på rettlinjet spor. Men akslene oppnår likevel ikke den radiale innstillingen. Det innstiller seg en anløpsvinkel som vist i figur 2.71.
Figur 2.71 Innstilling av hjulsats for to-akslet vogn
Den bakre aksel vil som oftest rulle gjennom kurven uten flenskontakt med
skinnene. Men hjul nr. 4 på bakre aksel av en vogn med stor akselavstand kan
ved lave hastigheter i kurver med små radier få flenskontakt med den indre
skinnestreng.
Hjulsats i kurver
Det skal betraktes 2 tilstander:
- Ideell gjennomløping av hjulsett i kurve
- Kinematisk rullebevegelse
Ideell gjennomløping av hjulsett i kurver
Betingelse for radiell innstilling av ytre hjul i første hjulsats skal diskuteres. Det vises til figur 2.72.
Figur 2.72 Boggi ved gjennomløp i kurve
Følgende begreper inngår:
- R = radius i sirkelkurve
- S = avstand mellom hjulflensene i hjulsettet
- a = akselavstand i sporets senterlinje
- Δx = avstand for radiell innstilling
Følgende matematiske utledning kan gjøres:
(2.137) |
Dette gir mht. ΔX:
(2.138) |
Uttrykket viser at jo større a er, jo større må Δx være for at hjulsettet skal
gjennomløpe kurven radielt.
Vinkelen kan beregnes:
(2.139) |
I figurene 2.73 og 2.65 er vist diagrammene mht. berøringsgeometrien for
hjul/skinne i et gjennomløp i en kurve. Øverste figur (figur2.64) angir
nødvendig Δx som funksjon av radius R ved forskjellig avstand mellom
akslene. Nederste figur (figur 2.74) viser vinkel som funksjon av radius og
avstand a.
Figur 2.73 ?x som funksjon av kurveradius ved varierende akselavstand
Figur 2.74 ? som funksjon av kurveradius ved varierende akselavstand
Kinematisk rullebetingelse i kurveradier
Det ytre hjulet må følge en lengre vei enn det hjulet som går på innerstrengen. Dette betyr at radius til løpesirkel til det ytre hjulet må være større enn radius til løpesirkel til det indre hjulet. Forskjellen betegnes Dr. Dette er illustrert i figur 2.75 under.
Figur 2.75 Differanse i rulleradius ved gjennomløp i kurve
Følgende betegnelser gjelder:
- R = radius i sirkelkurve
- s = avstand mellom hjulflensene
- r = radius i løpesirkel i sentrum av hjulbane
- Δr = differanse i løpesirkel til hjulbanene i hjulsettet
- y = lateral forskyvning av hjulsettet
Det kan utledes følgende matematiske relasjoner:
(2.140) |
Iht. utledninger utført i kapittel, gjelder:
(2.141) |
Dvs. nødvendig differanse avtar med økende radius i kurve.
Videre er det tidligere vist følgende relasjon:
(2.142) |
Dette viser at det er 2 muligheter til å oppnå tilstrekkelig differanse i
rulleradius:
- øke konisiteten
- oppnå større verdi av den laterale forskyvning y av hjulsettet ved for eksempel assymetrisk sliping
I figur 2.76er Δr framstilt som funksjon av rs/R ved forskjellige radier i
løpesirkelen.
Figur 2.76 ?r som funksjon av rs/R
Dynamisk stabilitet – gangstabilitet
Det vises til foregående kapitler om konisitet og gangdynamikk. Flere konklusjoner kan trekkes.
Jo større konisiteten blir i forhold til hjulradius og sporvidde, jo mindre blir bølgelengden i sinusgangen. Jo mindre bølgelengden blir og jo større hastigheten er, desto høyere blir frekvensen i svingningene og desto kraftigere blir bevegelsene. Det vises til grunnleggende formler.
Når bevegelsene i svingningene dempes, konkluderes det med at hjulsatsen har stabil gange eller gangstabilitet. Dette gjelder også for vognen som er montert på hjulsatsen.
I motsatt tilfelle vil bevegelsens amplitude i svingningene øke inntil det er hjulflensene som begrenser bevegelsene. Hjulflensene vil da få kontakt med skinnene. Dette medfører ustabilitet eller ustabil gange.
Et fri hjulsats har ustabil gange ved meget lave hastighet. Teoretisk oppstår den ustabile gange ved hastighet lik 0. Den hastighet som forårsaker ustabil gange, benevnes kritisk hastighet.
En vedvarende bevegelse i svingningene i lateral retning hvor hjulflensene til hjulsatsen får kontakt med skinnene, kan naturligvis ikke aksepteres. Bevegelsene vil forplante seg opp i selve vognen og gi opphav til kraftige forstyrrelser. Ofte blir også de laterale kreftene på sporet meget store i et slikt tilfelle. Dette gjelder særskilt ved høye hastigheter og dersom andre komponenter i vognen er stivt koplet til hjulsatsen. Spesielt er rammeverket i boggien utsatt. Ved en slik stiv kopling vil komponentene i vognkonstruksjonen følge med bevegelsene til hjulsatsen i lateral retning.
Risikoen for ustabilitet øker som regel med høyere hastigheter.
Generelt eksisterer det 2 typer av ustabilitet:
- Ved høy hjulkonisitet blir frekvensene til sinusbevegelsene meget store.
Her virker bl.a. uavfjæret masse i hjulsats og tilkoplet boggirammeverk destabiliserende. Denne ustabiliteten i hjulsatsen har normalt en svingningsfrekvens i området 4 – 8 Hz.
- Ved relativt lav hjulkonisitet blir bevegelsene i sinusgangen også meget
lav. Frekvensene ligger i nærheten av egenfrekvensen til vognens avfjæring, dvs. sekundærfjæringen. Selve vognen samvirker dynamisk på et meget komplisert måte med løpeverket og løpeverkets naturlige sinusgang.
Denne ustabiliteten gir ofte mindre kraftige bevegelser enn den høyfrekvente ustabilitet. Men etter som vognen i høy grad deltar i svingningene, blir ofte bevegelsene i svingningene i vognen uakseptable høye sammenlignet med de høye krav som gjelder i dag.
Ustabilitet for en vogn har en svingningsfrekvens på 1 – 2 Hz.
Hjulprofil-spor
Hjulsatsens viktigste grensemål er angitt i figur 2.77. I figur 2.78er vist detaljmål av hjulprofilet. Målene i parentes gjelder som ytterste slitasjegrenser.