Elkraft/Beregning av spenning og strøm i skjerm til enleder høyspenningskabel

Høyspenningskabler har en metallisk skjerm som påvirkes av strømmen og spenningen i kabelens faseleder. Det fører til en spenningsstigning eller strøm i skjermen avhengig av om den er jordet i henholdsvis den ene eller begge ender. Denne artikkelen viser hvordan spenningen og strømmen grovt kan beregnes.

Innledning

Veiledning til forskrift om elektriske forsyningsanlegg §4-4 om høyspenningskabler angir at

kabelskjermer skal jordes, vanligvis i begge ender
enlederkablers skjerm tillates jordet i den ene enden når dette er ønskelig av hensyn til reduksjon av tapene i skjermen

NEK 900/EN 50122-1 om elsikkerhet, jording og returkrets punkt 10.2 for enleder vekselstrømskabler legger til at om nødvendig må det utføres tiltak for å sikre at kabelskjerm jordet i

begge ender ikke oppnår uakseptabel høy temperatur på grunn av returstrøm og induksjon fra banestrømmen
en ende ikke oppnår uakseptabel høy spenning på grunn av induksjon fra banestrømmen

Det er altså avgjørende å kjenne til skjermstrømmen, henholdsvis spenningsstigningen, for å kunne velge rett utforming og tiltak. Denne artikkelen beskriver en beregningsmetode supplert med eksempler for

enfase kabelanlegg for jernbane
tofase kabelanlegg for jernbane (autotransformatorsystem)
trefase kabelanlegg

Til slutt i artikkelen er det en oversikt over nyttige referanser for økt forståelse av forbehold, forenklinger og bakgrunn. Vedlagt artikkelen følger en programkode i Python som implementerer beregningsmetoden for eksemplene.

Kabelskjermer

Kabeloppbygning

Elektriske kabler består av en elektrisk leder omsluttet av elektrisk isolasjon mot omgivelsene. Høyspenningskabler har i tillegg en metallisk skjerm som beskytter isolasjonen mot elektriske påkjenninger gjennom jevn fordeling av det elektriske feltet og i noen tilfeller også kjemiske påkjenninger fra omgivelsene, for eksempel vann. Den metalliske skjermen beskytter også omgivelsene ved isolasjonsfeil. Figur 1 viser eksempel på oppbygningen av en enleder høyspenningskabel med ytterkappe, vanninntregningslaminat av aluminium, skjermtråder av kopper, svellelag, ytre halvleder, isolasjon, indre halvleder og faseleder.

Figur 1: Eksempel på enleder høyspenningskabel med følgende komponenter/lag fra ytterst mot innerst: 1) Ytterkappe, 2) Vanninntregningslaminat av aluminium, 3) Skjermtråder av kopper, 4) Svellelag, 5) Ytre halvleder, 6) Isolasjon (PEX), 7) Indre halvleder og 8) Faseleder (Bilde: Prysmian)

Skjermoppbygning

Kabelskjermen består ofte av skjermtråder av kobber. I tillegg kan skjermen bestå av et laminat av aluminium for å hindre vanninntrenging utenfra og inn til isolasjonen. Både koppertrådene og aluminiumslaminatet er elektrisk ledende. Skjermens elektriske tverrsnitt og resistans oppgis i kabelens datablad. Tverrsnittet oppgis som en kobberekvivalent av skjermtrådene og laminatet til sammen. Denne ekvivalenten er typisk 35 mm2 Cu for mellomspenningskabler. Dette tverrsnittet må også videreføres i kabelskjøter og endeavslutninger.

Spenning og strøm i skjermen

Strøm og spenning i kabelskjermen kan oppstå ved konduktiv, induktiv og kapasitiv kobling med omgivelsene.

Den konduktive koblingen oppstår dersom kabelskjermen utgjør en strømvei for banestrømmens returstrøm i et jernbaneanlegg. For likestrømmer vil strømmen i skjermen være en ren strømdeling basert på resistansen i skjermen og returkretsen. For vekselstrømmer vil strømdelingen også avhenge av induktansen gitt av den induktive koblingen mellom lederne.

Den induktive koblingen oppstår når kabelskjermen påvirkes av et magnetfelt som omslutter strømførende ledere iht. Ampères lov. Kabelens egen faseleder er en svært nærliggende slik strømførende leder. Dette magnetfeltet induserer (fremkaller) en elektromotorisk spenning i andre nærliggende elektrisk ledende komponenter iht. Faradays induksjonslov. En slik elektrisk ledende komponent kan være kabelens egen skjerm. Dersom skjermen er jordet i én ende vil denne induserte spenningen føre til en spenningsstigning til skjermens utisolerte andre ende. Dersom skjermen er jordet i begge ender, vil spenningen drive en indusert strøm gjennom den sluttede kretsen som oppstår gjennom jord og eventuell returkrets.

Den kapasitive koblingen oppstår på grunn av spenningen mellom kabelens skjerm og faseleder over kabelisolasjonen. Konstruksjonen blir en kondensator som lades opp og ut når den påtrykkes faselederen vekselspenning.

Dersom skjermen jordes i en eller begge ender, kan strømmer og spenninger beregnes som vist videre i artikkelen. Dersom skjermen ikke jordes i noen av endene, gir både kapasitiv og induktiv kobling en udefinert skjermspenning som kan være farlig.

Beregningsmetode kapasitiv kobling

Grunnharmonisk metode

Den kapasitive ladestrømmen Ic til en kabel er gitt av spenningen U og kapasitansen C mellom kabelens faseleder og skjerm som illustrert i figur 2.

Figur 2: Prinsipp for ladestrøm gjennom kabelkapasitansen

Kapasitansen er normalt oppgitt per lengdeenhet, for eksempel km. Spenningens frekvens er i bestemt av spenningskildens grunnharmoniske. Det er i første omgang hensiktsmessig å neglisjere faselederens og skjermens resistans og induktive kobling, samt summere kapasitansen over kabellengden. Uttrykket for den ladestrømmen blir da:

$I_{c}={\frac {U}{{jX}_{c}}}=-j2\pi \cdot \ f\cdot \ c\cdot \ l\cdot \ U$

hvor:

f er nettfrekvensen, for eksempel lik 16 ⅔ Hz eller 50 Hz
c er kabelens kapasitans i Farad per m
l er kabelens lengde i m
U er spenningen mellom faseleder og skjerm
j = √(-1)

Eksempel

Kvinesheitunnelen er 9,5 km lang. Negativ fase i autotransformatorsystemet er forlagt i kabel gjennom hele tunnelen. I kabelens datablad er kapasitansen oppgitt til 0,33 μF/km. Kabelens skjerm er jordet i den ene enden og utisolert i den andre enden. Ladestrøm i kabelskjermens jording er ved tomgangsspenning på 16,5 kV:

$\left|I_{c}\right|=\left|-j2\pi \cdot f\cdot c\cdot l\cdot U\right|=2\pi \cdot 16{\frac {2}{3}}\left[Hz\right]\cdot 0,33\left[{\frac {\mu F}{km}}\right]\cdot 9,5\left[km\right]\cdot 16,5\left[kV\right]=5,4\left[A\right]$

Beregningsmetode konduktiv og induktiv kobling

Grunnharmonisk metode

For beregning av spenningsstigning og strøm i kabelskjermen kan en impedansmodell for grunnharmoniske benyttes. En slik modell er beskrevet i Cigre’s tekniske brosjyre «Special bonding of high voltage power cables» (TB283) fra oktober 2005. Modellen legger til grunn:

grunnharmoniske strømmer og spenninger, og ignorerer kapasitiv kobling fordi den er liten sammenlignet med den induktive koblingen
uniforme og homogene forhold som tillater klumpete parametere fremfor distribuerte parametere
at jord kan modelleres som en parallell ekvivalent leder
en kompleks impedansmatrise som representerer alle ledere og retur i jord
at impedansene består av en resistans og en induktans, inklusive selvinduktans og gjensidig induktans, etter Carsons formler (første ledd)
numerisk løsning av ligningssystemet basert på den komplekse impedansmatrisen og grensebetingelser

Se den tekniske brosjyren for fullstendig beskrivelse av metoden med forutsetninger.

Carsons formler

Carsons formler inkluderer:

hver enkelt leders selvimpedans, dvs. si den motstanden hver enkelt leder utgjør, inklusive den magnetiske påvirkningen fra strømmen den selv fører
gjensidig impedans, dvs. den magnetiske koblingen mellom to og to ledere på grunn av strømmen hver av dem fører

Både selvimpedans for en leder m og gjensidig impedans mellom leder m og n beskrives av følgende formel

${\vec {z_{mn}}}=r_{DC_{m}}+r_{j}+j\cdot \ f\cdot \mu _{0}\cdot \ ln\left({\frac {D_{j}}{g_{mn}}}\right)$

med enhet Ω/m hvor:

r_DC er likestrømsmotstanden i lederen oppgitt i databladet for m=n, for m≠n er den 0
r_j er resistansen for strømmens returvei i jord lik π∙f∙μ₀ /4 Ω/m
f er nettfrekvensen, for eksempel lik 16 ⅔ Hz eller 50 Hz
μ₀ er den magnetiske konstanten (permeabilitet) lik 4∙π∙10^-7 H/m
D_j er jordavstanden (avstanden til tyngdepunktet for returstrømmen i jord) lik 660∙(ρ_j/f)1/2 m
ρ_j er jordresistiviteten i Ω∙m som kan variere fra 1 for saltholdig vann til 10000 for fjellgrunn
g_mn er geometrisk middelavstand mellom de to lederne (m≠n) eller for lederen selv (m=n) som angitt nedenfor
j = √(-1)

For sylindriske ledere, som er vanligst i kabelanlegg, er den geometriske middelavstanden g_mn:

for selvimpedans (m=n): g_mn = α∙r_m hvor α er koeffisient basert på oppbygningen av lederen som gitt i tabell 1 og r_m er lederens radius
for gjensidig impedans mellom ikke coaxial-ledere: g_mn= a_mn hvor a_mn er avstanden mellom lederne
for gjensidig impedans mellom coaxial-ledere (for eksempel skjermer): g_mn = max(r_m, r_n) hvor r_m og r_n er geometrisk gjennomsnittsradius for henholdsvis leder m og n

Tabell 1 Koeffisient α for ulike typer ledere
Type leder	Parameter	α
Massiv	-	0,799
Trådet kompakt	-	0,799
Trådet	3 tråder 7 tråder 19 tråder	0,628 0,726 0,758
Hul syliner	Ytterradius r_c Innerradius r_i a=r_c/r_i	$\alpha =e^{-\left[{\frac {0,25-a^{2}+a^{4}\left(0,75-ln{\left(a\right)}\right)}{\left(1-a^{2}\right)^{2}}}\right]}$

Selv- og gjensidig impedans til den ekvivalente lederen som representerer jorden er beregnet for en hul sylinder med en radius D_j. Diameteren og avstanden til alle andre ledere i kabelanlegget er i praksis mye mindre enn D_j og legges derfor til grunn for beregning av alle lederes gjensidige impedans med jord, samt jordens selvimpedans.

Kjøreskinner på jernbanen har ikke-sylindrisk form og er laget av magnetisk materiale som gjør impedansen strømavhengig. De utelates derfor fra beregningene i denne teksten.

Struktur av ligningsystemet

Kabelanlegget kan beskrives av ekvivalentskjema for k antall ledere pluss jord i figur 3. Hver leder modelleres med sin selvimpedans og gjensidige impedans mot de andre lederne med tilhørende ligninger. Termen «leder» brukes om faseledere og alle andre parallelle metalliske strukturer slik som kabelskjermer, andre parallelle kabler, jordledere, metalliske rør og jernbanens kjøreskinner.

Figur 3: Ekvivalentskjema for kabelanlegget

Fjern jord er forenklet modellert som en leder forbundet med en overgangsmotstand R_j mot lokal jord.

For grunnharmoniske beregninger brukes komplekse tall for å representere amplitude og fase for spenninger, strømmer og impedanser. Sammenhengen mellom spenningene og strømmene i et slikt system med parallelle ledere beskrives av den komplekse matriseligningen

${\vec {\mathbf {U} }}={\vec {\mathbf {Z} }}\cdot {\vec {\mathbf {I} }}$

hvor:

${\vec {\mathbf {U} }}$ er en vektor med spenningene over hver leder
${\vec {\mathbf {I} }}$ er en vektor med strømmene gjennom hver leder
${\vec {\mathbf {Z} }}$ er matrisen med selvinduktanser og gjensidige induktanser, hvor Z_mn = z_mn∙l og l er lengden av lederen m eller av parallellføringen av lederne m og n

Beregning av strømmer og spenninger

Den komplekse matriseligningen over kan skrives som

$0={\vec {\mathbf {Z} }}\cdot {\vec {\mathbf {I} }}-{\vec {\mathbf {U} }}$

Variablene i dette ligningssystemet er vektorene ${\vec {\mathbf {U} }}$ og ${\vec {\mathbf {I} }}$ . Antall ukjente er dermed det dobbelte av antall ledere. For å løse ligningssystemet må en derfor legge til ligninger som beskriver grensebetingelsene for hver enkelt leder. Det vil si spesifisere om strømmen eller spenningen er fast. Betingelsene er som følger:

For ledere med en fast strøm (for eksempel faseledere): ${\vec {I_{m_{k}onstant}}}={\vec {I_{m}}}$
For ledere med åpen ende (for eksempel ensidig jordet kabelskjerm): $0={\vec {I_{m}}}$
For ledere med begge ender koblet til jord (for eksempel jordledere, kjøreskinner eller kabelskjermer jordet i begge ender): $0={\vec {U_{m}}}-{\vec {U_{j}}}-{\vec {U_{j1}}}+{\vec {U_{j2}}}$

Ligningssystemet løses gjerne i et regneprogram, eller med manuell Gauss-eliminasjon.

Strømmen i en lukket kabelskjerm fremkommer direkte fra løsningen av ligningssystemet. Spenningen mellom åpen skjerm i utisolert ende og lokal jordreferanse finnes fra:

${\vec {U_{mj}}}={\vec {U_{m}}}-{\vec {U_{j}}}-{\vec {U_{j1}}}+{\vec {U_{j2}}}={\vec {U_{m}}}-{\vec {U_{j}}}-{\vec {I_{j}}}\left(R_{j1}{+R}_{j2}\right)$

Eksempler

Felles parametere

Det påtrykkes en strøm i faseleder(e) på 1, indusert strøm og spenning i skjermen i forhold til lokal jord oppgis relativt dette i henholdsvis [A/A] og [V/A]
Jordresistiviteten 5000 Ωm (forutsatt)
Høyspenningskabel Prysmian 36 kV TSLI PURE 400 Al med følgende parametere
- Faselederens likestrømsresistans r_DC = 0,0778 Ω/km
- Faselederens diameter 23,7 mm som gir geometrisk radius g = (0,0237/2)∙0,779 m
- Skjermens likestrømsresistans r_DC = 0,524 Ω/km
- Skjermens radius antatt som gjennomsnittet mellom nominell diameter over isolasjon og nominell ytterdiameter g = (0,0403+0,0495)/(2∙2) m
Returkabel Prysmian 1 kV TXXI 400 Al med følgende parametere
- Lederens likestrømsresistans r_DC = 0,0778 Ω/km
- Lederens diameter 23,7 mm som gir geometrisk radius g = (0,0229/2)∙0,779 m
Beregningen legger til stasjonære forhold med kun grunnharmonisk frekvens. Under transienter, for eksempel kortslutning, kan endringen være raskere og induksjonen større.
Beregningene er utført ved hjelp av programkoden vist til slutt i artikkelen.

Eksempel 1: Enfase kabelanlegg for jernbane

Konfigurasjon, se Figur 4:

En faseleder i enlederkabel med skjerm (åpen og lukket)
Kabelens lengde 1 km
Nøytral retur som returkabel 10 meter fra faseleder (dl) som forenklet alternativ til kjøreskinner
Jernbanefrekvens 16 ⅔ Hz

Figur 4: Konfigurasjon eksempel 1

Resultat, se Tabell 2:

Ved lukket skjerm er skjermstrømmen 42 % av fasestrømmen. Det vil si at når faseleder fører belastningsstrøm på 1 kA er skjermstrømmen 420 A, og når faseleder fører kortslutningsstrøm på 10 kA er skjermstrømmen 4,2 kA. Skjermens spenning er 0 V på grunn av jordingen.
Ved åpen skjerm er spenningen mellom lokal jord og utisolert ende 0,28 V/A fasestrøm. Det vil si at når faseleder fører belastningsstrøm på 1 kA er skjermspenningen 280 V og når faseleder fører kortslutningsstrøm på 10 kA er skjermspenningen 2,8 kV.

Tabell 2 Beregningsresultater eksempel 1
	Åpen skjerm		Lukket skjerm
Leder	Strøm [A/A]	Spenning [V/A]	Strøm [A/A]	Spenning [V/A]
Faseleder	1,00	-	1,00	-
Skjerm	0,00	0,28	0,42	0,00
Nøytral/retur	0,96	0,00	0,76	0,00
Jord	0,08	-	0,06	-

Variasjon:

Avstanden mellom faseleder og returleder:
- Ved åpen skjerm øker skjermspenningen sterkt ved økende avstand inntil ca. 100 m. Ved avstand over dette øker skjermspenningen svakt. Skjermstrømmen er fremdeles 0 A. Se figur 5.
- Ved lukket skjerm øker skjermstrømmen sterkt ved økende avstand inntil ca. 100 m. Ved avstand over dette øker skjermstrømmen svakt. Skjermspenningen er fremdeles 0 A. Se figur 6
Kabelens lengde:
- Ved åpen skjerm stiger skjermspenningen proporsjonalt med kabellengden. Se figur 7.
- Ved lukket skjerm er skjermstrømmen i praksis uendret for økt kabellengde, men med svakt synkende tendens. Se figur 8.

Figur 5: Variasjon eksempel 1 mtp. avstand mellom faseleder og returleder ved åpen skjerm

Figur 6: Variasjon eksempel 1 mtp. avstand mellom faseleder og returleder ved lukket skjerm

Figur 7: Variasjon eksempel 1 mtp. kabelens lengde ved åpen skjerm

Figur 8: Variasjon eksempel 1 mtp. kabelens lengde ved lukket skjerm

Eksempel 2: Tofase kabelanlegg for jernbane

Konfigurasjon:

To faseledere i hver sin enlederkabel med skjerm (åpen og lukket)
Kabelens lengde 1 km
Faseavstand 0,1 m
Nøytral retur som returkabel 10 meter fra faseleder (dl) som forenklet alternativ til kjøreskinner
Jernbanefrekvens 16 2/3 Hz
Balansert belastning, dvs. strøm i negativ fase like stor og motsatt rettet sammenlignet med strøm i positiv fase

Resultat, se tabell 3:

Ved åpen skjerm er skjermspenningen 0,03 [V/A].
Ved lukket skjerm fører skjerm for begge fasene 6 % av fasestrømmen.
Den balanserte belastningen i de to fasene reduserer induksjonen i skjermen vesentlig (til nær 1/10) sammenlignet med eksempel 1.

Tabell 3 Beregningsresultater eksempel 2
	Åpen skjerm		Lukket skjerm
Leder	Strøm [A/A]	Spenning [V/A]	Strøm [A/A]	Spenning [V/A]
Faseleder PL	1,00	-	1,00	-
Skjerm PL	0,00	0,03	0,06	0,00
Faseleder NL	1,00	-	1,00	-
Skjerm NL	0,00	0,03	0,06	0,00
Nøytral/retur	0,00	0,00	0,00	0,00
Jord	0,00	-	0,00	-

Variasjon:

Grad av balansert/ubalansert strøm i faselederne, se Figur 9 og 10:
- Skjermen til faselederen som fører høyest strøm er også utsatt for høyest induksjon.
- Induksjonen øker i begge skjermene jo mer ubalansert belastningen i faselederne blir.
- Induksjon ved helt ubalansert belastning (strøm kun i positiv faseleder) er mindre enn i eksempel 1 på grunn av gjensidig påvirkning mellom flere ledere. Ubalansert belastning og åpen skjerm for negativ fase gir samme induksjon til skjermen for positiv fase som i eksempel 1.

Figur 9: Variasjon eksempel 2 mtp. grad av balansert/ubalansert strøm i faselederne ved åpen skjerm

Figur 10: Variasjon eksempel 2 mtp. grad av balansert/ubalansert strøm i faselederne ved lukket skjerm

Eksempel 3: Trefase kabelanlegg

Konfigurasjon:

Tre faseledere i hver sin enlederkabel med skjerm (åpen og lukket)
Faseavstand 0,1 m flat forlegning
Kabellengde 1 km
Nøytralleder/følgejordleder i faseavstand over midtleder
Nettfrekvens 50 Hz
Symmetrisk belastning

Resultat, se Tabell 4:

Indusert størst i skjermene til kablene forlagt ytterst på grunn av større/usymmetrisk magnetisk påvirkning.
Induksjonen er større enn i balansert tofase jernbanesystem på grunn av høyere nettfrekvens.

Tabell 4 Beregningsresultater eksempel 3
	Åpen skjerm		Lukket skjerm
Leder	Strøm [A/A]	Spenning [V/A]	Strøm [A/A]	Spenning [V/A]
Faseleder 1	1,00	-	1,00	-
Skjerm 1	0,00	0,12	0,22	0,00
Faseleder 2	1,00	-	1,00	-
Skjerm 2	0,00	0,09	0,15	0,00
Faseleder 3	1,00	-	1,00	-
Skjerm 3	0,00	0,12	0,24	0,00
Nøytral/retur	0,00	0,00	0,02	0,00
Jord	0,00	-	0,00	-

Oppsummering

Det er i artikkelen vist hvordan konduktiv, induktiv og kapasitiv kobling mellom ledere påvirker strøm og spenning i skjermen til enleder høyspenningskabler.

Induksjonen er proporsjonal med magnetfeltet som er proporsjonal med faselederens strøm i styrke og frekvens. Økt avstand mellom faseleder og returleder og ubalansert belastning øker induksjonen. Økt kabellengde øker indusert spenning i åpen skjerm og reduserer svakt indusert strøm i lukket skjerm. Det gjør at skjermstrømmen i et jernbaneanlegg kan anta størrelse opp til nær 50 % av fasestrømmen i kabelen dersom skjermen lukkes. Ved åpen skjerm kan spenningsstigningen være opp til nær 0,5 V/A fasestrøm per km kabel.

Den kapasitive ladestrømmen er typisk i størrelsesorden 0,5 A/km kabel og liten i forhold til den den induserte strømmen i en kabel med lukket skjerm.

Bibliografi

Cigre «Special Bonding of High Voltage Cables», Working Group B1.18 October 2005
NTNU «Elektromagnetisk Sameksistens i Jernbaneanlegg. Kapittel 9: Kontaktledningsnettet – Impedanser og induserte spenninger»
REN-blad 9024 «Teori for kabel, skjøter og endeavslutninger»
Draka Norsk Kabel, Teknisk håndbok Kraftkabel (Maken - Teknisk håndbok : kraftkabel), 3. utgave
Norconsult «Follobaneprosjektet, Ski stasjon - Beregning og vurdering av elektriske og termiske forhold for matekabler med utjevnet eller utisolert skjerm eller tett forlagt returleder» dokument nummer UOS-90-A-75129 revidert 2024

Beregningskode

Kapasitiv kobling

import numpy as np

f = 16+2/3
c = 0.33e-6
l = 9.5
U = 16.5e3

Ic = 2*np.pi*f*c*l*U

print(Ic)

Konduktiv og induktiv kobling

import numpy as np
import pandas as pd 
import sys
from IPython.display import display, Markdown

# Systemparametere som angis av bruker
f = 50/3                    # Nettfrekvensen i [Hz]
l = 1000                    # Kabelanleggets lengde i [m] fra ende 1 til 2
dl = 10                     # Avstand mellom tur og retur i [m]
df = 0.1                    # Faseavstand i [m]
Rj1 = 1                     # Avledning til jord i ende 1 i [Ohm]
Rj2 = 1                     # Avledning til jord i ende 2 i [Ohm] 

# Systemparametere som er fast
my0 = 4*np.pi*1e-7          # Den magnetiske konstant (permeabilitet) i luft i [H/m]
rj = np.pi*f*my0/4         # Resistansen for strømmens returvei i jord i [Ohm/m]
rhoj = 5000                 # Jordresistiviteten i [Ohm*m]
Dj = 660*np.sqrt(rhoj/f)    # JordavstanDjn i [m]

# I_NF/I_PF
Ipl = 1
Inl = -0

# Ledere inkl. jord som angis av bruker. For flere ledere, legg til flere liner etter samme mal
ledere_eks1 = [
    {'Leder': 'Faseleder',      'Type': 'Fase',                 'Radius': 0.0237/2*0.7788,          'rDC': 0.0778*1e-3,    'X': 0,       'Y': 
0, 'Strøm': 1},
    {'Leder': 'Skjerm',         'Type': 'Skjerm for Faseleder', 'Radius': (0.0495+0.0403)/(2*2),    'rDC': 0.524*1e-3,     'X': 0,       'Y': 
0, 'Kobling': 'Lukket'},
    {'Leder': 'Returkabel',     'Type': 'Retur',                'Radius': 0.0229/2*0.7788,          'rDC': 0.0778*1e-3,    'X': dl,      'Y': 
0},
    {'Leder': 'Jord',           'Type': 'Jord',                 'Radius': Dj,                       'rDC': rj,             'X': 0,       'Y': 
Dj, 'R1': Rj1, 'R2': Rj2}
]

ledere_eks2 = [
    {'Leder': 'Faseleder PL',   'Type': 'Fase',                    'Radius': 0.0237/2*0.7788,          'rDC': 0.0778*1e-3,    'X': dl,      
'Y': +df/2, 'Strøm': Ipl},
    {'Leder': 'Skjerm PL',      'Type': 'Skjerm for Faseleder PL', 'Radius': (0.0495+0.0403)/(2*2),    'rDC': 0.524*1e-3,     'X': dl,      
'Y': +df/2, 'Kobling': 'Åpen'},
    {'Leder': 'Faseleder NL',   'Type': 'Fase',                    'Radius': 0.0237/2*0.7788,          'rDC': 0.0778*1e-3,    'X': dl,      
'Y': -df/2, 'Strøm': Inl},
    {'Leder': 'Skjerm NL',      'Type': 'Skjerm for Faseleder NL', 'Radius': (0.0495+0.0403)/(2*2),    'rDC': 0.524*1e-3,     'X': dl,      
'Y': -df/2, 'Kobling': 'Åpen'},
    {'Leder': 'Returkabel',     'Type': 'Retur',                   'Radius': 0.0229/2*0.7788,          'rDC': 0.0778*1e-3,    'X': 0,       
'Y': 0},
    {'Leder': 'Jord',           'Type': 'Jord',                    'Radius': Dj,                       'rDC': rj,             'X': 0,       
'Y': Dj, 'R1': Rj1, 'R2': Rj2}
]

ledere_eks3 = [
    {'Leder': 'Faseleder 1',    'Type': 'Fase',                    'Radius': 0.0237/2*0.7788,          'rDC': 0.0778*1e-3,    'X': 0,       
'Y': -df,  'Strøm': -0.5+0.8660254j},
    {'Leder': 'Skjerm 1',       'Type': 'Skjerm for Faseleder 1',  'Radius': (0.0495+0.0403)/(2*2),    'rDC': 0.524*1e-3,     'X': 0,       
'Y': -df,  'Kobling': 'Åpen'},
    {'Leder': 'Faseleder 2',    'Type': 'Fase',                    'Radius': 0.0237/2*0.7788,          'rDC': 0.0778*1e-3,    'X': 0,       
'Y':  0.0, 'Strøm': +1},
    {'Leder': 'Skjerm 2',       'Type': 'Skjerm for Faseleder 2',  'Radius': (0.0495+0.0403)/(2*2),    'rDC': 0.524*1e-3,     'X': 0,       
'Y':  0.0, 'Kobling': 'Åpen'},
    {'Leder': 'Faseleder 3',    'Type': 'Fase',                    'Radius': 0.0237/2*0.7788,          'rDC': 0.0778*1e-3,    'X': 0,       
'Y': +df,  'Strøm': -0.5-0.8660254j},
    {'Leder': 'Skjerm 3',       'Type': 'Skjerm for Faseleder 3',  'Radius': (0.0495+0.0403)/(2*2),    'rDC': 0.524*1e-3,     'X': 0,       
'Y': +df,  'Kobling': 'Åpen'},
    {'Leder': 'Returkabel',     'Type': 'Retur',                   'Radius': 0.0229/2*0.7788,          'rDC': 0.0778*1e-3,    'X': dl,      
'Y': 0},
    {'Leder': 'Jord',           'Type': 'Jord',                    'Radius': Dj,                       'rDC': rj,             'X': 0,       
'Y': Dj, 'R1': Rj1, 'R2': Rj2}
]
 
# Håndterer ledere med input
ledere = ledere_eks1

k = len(ledere) # Antall ledere
j = 0 # Initielt antall definerte jord (ledere)
df_ledere = pd.DataFrame(ledere)

# Identifiserer jord og avbryter om det ikke er en og bare en jord (altså leder definert som "Jord")
jord = -1
for m in range(0,k):
     if (df_ledere['Type'][m] == 'Jord'):
          jord = m
          j = j+1
if j != 1:
     print(f"Feil antall jord definert ({j}). Må være 1. Avbryter beregning.")
     sys.exit(0)

# Beregner avstander og radier mellom ledere til g-matrise
g = np.zeros((k,k)) # Oppretter avstandsmatrise
for m in range(0,k):
    for n in range(0,k):
        if m == n:
            g[m][n] = df_ledere['Radius'][m]  # Fyller diagonalen med lederradius
        else:
            if (df_ledere['Type'][m] == 'Skjerm for ' + df_ledere['Leder'][n]): #Dersom den ene lederen er skjerm til den andre
                g[m][n] = df_ledere['Radius'][m] # Da er avstanden mellom lederne lik skjermradien
            elif (df_ledere['Type'][n] == 'Skjerm for ' + df_ledere['Leder'][m]): #Dersom den ene lederen er skjerm til den andre
                g[m][n] = df_ledere['Radius'][n] # Da er avstanden mellom lederne lik skjermradien
            else:
                g[m][n] = np.sqrt((df_ledere['X'][m]-df_ledere['X'][n])**2 + (df_ledere['Y'][m]-df_ledere['Y'][n])**2 )     # Fyller resten 
 med avstand

# Beregner Z-matrisa)
Z = np.zeros((k,k), dtype=complex) # Oppretter Z-matrisa
for m in range(0,k):
    for n in range(0,k):
        if m == n: # Beregn selvinduktans for lederen
                Z[m][n] = l * ((rj+df_ledere['rDC'][m]) + (1j*f*my0*np.log(Dj/g[m][n])))
        else: # Beregn gjensidig induktans mellom de to lederne
                Z[m][n] = l * (rj+1j*f*my0*np.log(Dj/g[m][n]))
 
# Lager I-matrise
I = -np.eye(k)

# Lager matriser for grensebetingelser
BCI = np.zeros((k,k))
BCV = np.zeros((k,k))
for m in range(0,k):
    if df_ledere['Type'][m]=='Jord':
        BCI[m] = np.ones(k) # Kirchoffs strømlov sum(I)=0
    elif df_ledere['Type'][m]=='Fase':
        BCI[m][m] = 1 # Fast strøm som i BC-matrisa
    else:
        if df_ledere['Kobling'][m]=='Åpen':
            BCI[m][m] = 1 # Fast strøm som i BC-matrisa, dvs 0 A
        else: # Åpen: Spenningen over lederen lik spenningen over jord
            BCI[m][jord] = -(df_ledere['R1'][jord] + df_ledere['R2'][jord]) 
            BCV[m][jord] = -1
            BCV[m][m] = 1
        
# Lager A-matrisa
A = np.block([
    [Z, I],
    [BCI, BCV]
])

# Lager B-matrisa
B0 = np.zeros([k,1])
BC = np.array(df_ledere['Strøm'].replace([np.nan],0)).reshape(-1,1)
B = np.concatenate((B0, BC))

# Løser ligningssettet
x = np.linalg.solve(A,B)

# Resultater
df_ledere['I'] = x[0:k]
df_ledere['U'] = x[k:(2*k)]
df_ledere['Umj'] = df_ledere['U'] - df_ledere['U'][jord]-df_ledere['I'][jord]*(Rj1+Rj2)
df_ledere['|I|'] = df_ledere['I'].abs().round(2)
df_ledere['|U|'] = df_ledere['U'].abs().round(2)
df_ledere['|Umj|'] = df_ledere['Umj'].abs().round(2)
display(Markdown('## Resultat'))
display(df_ledereI|','|U|','|Umj|','Kobling')
display('Parametere l=' + str(l) + ' / dl=' + str(dl) + ' / df=' + str(df) + ' / Inl/Ipl=' + str(Inl/Ipl) + ' / f=' + str(f) )

Elkraft/Beregning av spenning og strøm i skjerm til enleder høyspenningskabel

Innhold

Innledning