Sporets trasé/Sporgeometri

__NUMBEREDHEADINGS__

Innledning og grunnleggende definisjoner

Historikk

De eldre jernbanesporene i Norge ble formet etter terrenget på en tid da hensynet til massebalansen ble vektlagt. Krutt var dyrt, og det kostet også mye å flytte på massene. Men med en hastighet på 30 km/h og kurveradier på 250 m, lot bygging av nyanlegg seg gjøre uten de helt store inngrepene. I dag gjelder fortsatt denne utformingen for de fleste strekningene i landet, men kravet til hastighet har naturlig nok økt i takt med teknisk utvikling og moderne transporttilbud. Den avgjørende størrelsen i dag blir derfor dimensjonerende hastighet, som blant annet setter høye krav til sporets geometri.

Når en løsning er valgt for en togtrasé, vil ulike hensyn avsette en del tekniske fastpunkter, det vil si punkter traséen må passere. Med trasering/ teknisk linjeføring menes den geometriske utformingen av linjen mellom de tekniske fastpunktene, og krav til utformingen settes av sporets geometri, hastighetsbetraktninger og de enkelte traseringsparametrene, foruten hensyn til det rullende materiell, som aksellast, trekkraft og kjøremotstand.

For å beskrive traséen teknisk sett, skiller vi mellom horisontal- og vertikal-geometri. De fleste geometriske størrelser betraktes i planet, selv om den faktiske traséen på alle måter ligger i rommet. Her beskrives krumning, overganger, ulik kurvatur og helning på tvers av sporet. Vertikalkurvaturen betraktes som et langsliggende profil, hvor traséen litt forenklet sagt endrer seg mellom stigning og fall. Uansett er denne geometrien mye enklere enn hos horisontalkurvaturen og betraktes separat. Der komplisert horisontalkurvatur forekommer er det også viktig at vertikalkurvaturen ikke innebærer store endringer.

Sporvidde

Definisjon: Sporvidden s er den vinkelrette, horisontale avstanden mellom kjørekanten til de to skinnestrengene, målt 14 mm under skinnehodets topp.

I Norge er sporvidden satt lik 1435 mm. Der denne sporvidden er anordnet betegnes sporet normalspor. Bredere spor kalles bredspor og smalere spor kalles smalspor.

Når sporvidden s inngår i gemetriberegninger, brukes imidlertid en annen sporvidde, s = 1500 mm.

Mer om sporvidde på no.wikipedia.org/wiki/Sporvidde

Overhøyde

Definisjon: Overhøyden h er høydeforskjellen mellom skinnestrengene i forhold til horisontalplanet, målt vinkelrett på sporet.

Overhøyden angir hvilken helning sporplanet (kjøreflaten) har og tilsvarer det som kalles dossering for vei. Overhøyden angis vanligvis i millimeter, men kunne også vært oppgitt som en vinkel med horisontalplanet (β).

HORISONTALKURVATUR

Kurver i horisontalplanet

I en alminnelig trasé har vi tre elementer: rettlinjer, sirkelkurver og overgangskurver. Sirkelkurvene angis ved radius R som er radius for spormidt. Eldre linjer i Norge har radius helt ned til R = 180 m, som utgjør en svært krapp sirkelkurve. Med dette forstår vi at kurvatur er en av de viktigste faktorene når hastigheten skal imøtekomme dagens krav til effektiv transport. Tabell 1 viser en kurvefordeling for ulike eksisterende baner i Norge:

Kurvefordeling for ulike eksisterende baner i Norge

	R ≤ 300 m	300 m < R ≤ 500 m	500 m < R ≤ 1100 m	R > 1100 m	Rettstrekning	Minste radius
Østfoldbanen, vestre linje	2 %	14 %	13 %	20 %	51 %	200 m
Østfoldbanen, østre linje	3 %	17 %	17 %	16 %	46 %	239 m
Dovrebanen	8 %	12 %	17 %	23 %	40 %	225 m
Kongsvingerbanen	0 %	3 %	23 %	20 %	54 %	257 m
Rørosbanen	7 %	13 %	16 %	14 %	50 %	189 m
Nordlandsbanen	3 %	20 %	17 %	19 %	41 %	210 m
Gjøvikbanen	20 %	15 %	16 %	18 %	31 %	230 m
Bergensbanen	12 %	12 %	15 %	18 %	43 %	160 m
Sørlandsbanen	12 %	18 %	13 %	15 %	41 %	243 m
Vestfoldbanen	9 %	11 %	11 %	25 %	43 %	180 m
Solørbanen	1 %	3 %	7 %	28 %	60 %	245 m
Roa - Hønefoss	18 %	21 %	13 %	21 %	26 %	238 m
Raumabanen	7 %	7 %	21 %	21 %	43 %	259 m
Meråkerbanen	9 %	16 %	18 %	15 %	42 %	275 m
Namsosbanen	5 %	14 %	13 %	23 %	45 %	250 m
Randsfjordbanen	5 %	22 %	21 %	15 %	37 %	196 m
Flåmsbana	51 %	5 %	8 %	1 %	35 %	130 m
Spikkestadbanen	7 %	12 %	14 %	22 %	45 %	269 m
Arendalsbanen	32 %	13 %	7 %	18 %	30 %	210 m
Ofotbanen	24 %	21 %	14 %	8 %	33 %	250 m
Drammenbanen	1 %	11 %	12 %	24 %	51 %	246
Totalt 1)	8 %	15 %	15 %	19 %	43 %	130 m

1. Totalsum for banene nevnt ovenfor. Øvrige baner i Norge (eksempelvis små godsbaner som Numedalsbanen eller museumsbaner som Krøderbanen) er ikke inkludert.

Rettlinjer

Rettlinjer er som ordet sier rette linjer i traséen. De kan også beskrives som sirkelkurver med radius lik uendelig. Rettlinjen kan tilstøte både overgangskurven og sirkelkurven, sistnevnte ofte på stasjoner og i sidespor.

Rettlinjen som traseringselement er relativt uproblematisk. Geometrisk sett er det ingen hastighetsbegrensninger på rettlinjen (men mange andre faktorer kan være begrensende, se for eksempel Hastighetsberegninger). Det eneste kravet sporgeometrien setter til rettlinjen er at den ikke må være for kort:

• Mellom motsattrettede sirkelkurver med små radier er det fare for ombufring dersom ikke rettlinjen derimellom er over en viss lengde
• Mellom kurver uten overgangskurver bør det være en rettlinje av en viss lengde for å hindre at passasjerene opplever flere brå bevegelser i vognen rett etter hverandre.
• Generelt er det en fordel for passasjerenes komfort at vognen befinner seg minst 1-2 sekunder i hver rettlinje.

Eksempel 1: I Norge per 2014 skal rettlinjer ikke være kortere enn følgende:

Normale krav [m]	Minste krav [m]
0,5 V	0,25 V

(krav om minste lengde for avsnitt med konstant krumning, Teknisk regelverk 2014)

Dette kravet sørger for at gjennomkjøringstiden for hvert element blir minimum 0,9 sekunder (0,25 x 3,6) for minste krav og 1,8 sekunder for normale krav.

Sirkelkurver

En sirkelkurve er en del av en sirkel, det vil si en kurve som har konstant krumming langs hele kurven. Sirkelkurvens krumming κ er definert utfra radien R ved κ = 1/R.

For å beskrive sirkelkurvens egenskaper må vi først ta en del fysiske størrelser i betraktning.

Sentripetalakselerasjon og sideakselerasjon

Dersom vi kjører i en sirkelkurve i konstant hastighet, har vi to konstante akselerasjoner (se figur 1): Tyngdens akselerasjon g som virker vertikalt nedover og sentripetalakselerasjonen ${\frac {v^{2}}{R}}$ (ofte kalt a i fysikkbøker) rettet innover mot kurvens sentrum. For en passasjer føles det imidlertid som om akselerasjonen er rettet ut av kurven. Kraften på grunn av denne akselerasjonen omtales gjerne som sentrifugalkraft - en størrelse som i fysikken regnes som en fiktivkraft. Vi skal imidlertid i det følgende bruke sideakselerasjon med benevning j om nettopp denne størrelsen, som dermed er rettet motsatt vei av den virkelige sentripetalakselerasjonen,

Figur 1 - Akselerasjoner på vogna i sirkelkurve uten og med overhøyde.

$j={\frac {v^{2}}{R}}$

(1)

I kurver med overhøyde er det akselerasjonens komponenter parallelt med vogngulvet som er avgjørende for passasjerenes komfort.

Utfra figur 1 kan vi se at gravitasjonens komponent langs vogngulvet er:

$g'=g\cdot \sin \beta =g\cdot {\frac {h}{s}}$

(2)

På samme måte finner vi sideakselerasjonens komponent langs vogngulvet:

$j'=j\cdot \cos \beta$

(3)

Fordi β er liten, kan vi sette cos β ≈ 1 og j' ≈ j, det vil i praksis si at vi regner sideakselerasjonen for å virke parallelt med vogngulvet.

Tyngdekraftens komponent langs vogngulvet, g', virker i motsatt retning av j'. Det betyr at den følte sideakselerasjonen reduseres. Vi definierer begrepet ukompensert sideakselereasjon som j' minus g':

$j_{u}={\frac {v^{2}}{R}}-g\cdot {\frac {h}{s}}$

(4)

Hastighet i sirkelkurven

Dersom vi snur om på (4) kan vi få et uttrykk for hastigheten:

$v={\sqrt {R\left({\frac {gh}{s}}+j_{\text{u}}\right)}}$

Ved å sette en maksimalverdi for j_u får vi et uttrykk for maksimal hastighet:

$v_{\text{maks}}={\sqrt {R\left({\frac {gh}{s}}+j_{\text{u,maks}}\right)}}$ [m/s],

(5)

der grenseverdien j_u,maks har ulik verdi avhengig av togtype, kurveradius, banestandard eller andre parametre fastsatt av den enkelte forvaltning. Verdien av j_u,maks ligger vanligvis i intervallet 0,5 - 1,5 m/s³.

For spor uten overhøyde reduseres (5) til

$v_{\text{maks}}={\sqrt {R\cdot j_{\text{u,maks}}}}$ [m/s],

der j_u er lik j fordi gravitasjonen ikke kompenserer noe av sideakselerasjonen.

Eksempel 2: En sirkelkurve har radius R = 350 meter og overhøyde h = 140 mm. Dersom j_u,maks = 0.98 m/s³, blir maksimal hastighet i kurven

$v_{\text{maks}}={\sqrt {350\left({\frac {9,81\cdot 140}{s}}+0,98\right)}}\approx 25,8\;{\text{m/s}}$

For å få hastigheten i kilometer per time istedenfor meter per sekund, multipliseres den med 3,6:

$V_{\text{maks}}=v_{maks}\cdot 3,6\approx 93{\text{km/h}}$

(Liten v brukes i dette kapitlet alltid for hastighet i m/s og stor V for hastighet i km/h.)

Dersom man justerer overhøyden til h = 0 mm i samme sirkelkurve, blir hastigheten også lavere;

$v_{\text{maks}}={\sqrt {350\cdot 0.98}}\approx 18,5\;{\text{m/s}}$,

som tilsvarer ca 67 km/h.

Likevektshastighet og teoretisk overhøyde

For en kurve med en gitt overhøyde finnes det en hastighet v slik at sideakselerasjonen er like stor som gravitasjonens komponent langs vogngulvet,

${\frac {v^{2}}{R}}=g\cdot {\frac {h}{s}}$

(6)

I dette tilfellet er ukompensert sideakselerasjon på vognen lik null. Denne hastigheten kalles likevektshastighet. Ved å løse for v, ser vi at likevektshastigheten er gitt ved

$v_{\text{likevekt}}={\sqrt {R\cdot g\cdot {\frac {h}{s}}}}$

(7)

Den overhøyden som gir likevektshastighet, kalles teoretisk overhøyde. Ved å løse (6) for h isteden, får vi

$h_{\text{teor}}={\frac {s\cdot v^{2}}{g\cdot R}}$

(8)

Eksempel 3: Ved radius R = 600 meter og overhøyde h = 100 mm er likevektshastigheten

$v_{\text{likevekt}}={\sqrt {600\cdot 9,81\cdot {\frac {100}{1500}}}}\approx 19,8{\text{ m/s}}\approx 71{\text{ km/h}}$.

Dersom man ønsker å øke likevektshastigheten til 80 km/h (tilsv. 22,22 m/s), kan man regne ut hvor stor overhøyden da må være:

$h_{\text{teor}}={\frac {1500\cdot (22,22)^{2}}{9,81\cdot 600}}\approx 125,8{\text{ mm}}$

For persontrafikken er hastigheten som regel større enn likevektshastigheten, og da vil gravitasjonens komponent parallelt med sporplanet bare kompensere for deler av sideakselerasjonen, som er akkurat det (4) viser

${\frac {v^{2}}{R}}-g\cdot {\frac {h}{s}}=j_{u}$

Hvis hastigheten er mindre enn likevektshastigheten, blir j_u negativ, det vil si at den er rettet innover i kurven. Det blir en overkompensering, eller overskuddssideakselerasjon. Dette er ofte tilfellet for godstog som trafikkerer spor beregnet for blandet trafikk, eller ved saktekjøringer. Ved full stans virker kun gravitasjonens komponent, og dette setter grenser for hvor stor overhøyden kan være. I Norge er maksimal overhøyde satt til h_maks = 150 mm, i tråd med det som er mest vanlig hos de fleste forvaltningene i Europa.

En annen vinkling på den ukompenserte sideakselerasjonen er at overhøyden ikke er stor nok for den aktuelle hastigheten. Vi definerer manglende overhøyde som I = h_teor - h, det vil si

$I={\frac {sv^{2}}{gR}}-h$

(9)

Multipliserer vi ut uttrykket for ukompensert sideakselerasjon (4), med s/g, får vi et utrykk for manglende overhøyde i forhold til den ukompenserte sideakselerasjonen:

$I={\frac {s}{g}}\cdot {\frac {v^{2}}{R}}-h={\frac {s}{g}}\cdot j_{u}$

(10)

Innsatt med verdier for s og g får vi at I ≈ 153 $\cdot$ j_u. Manglende overhøyde er altså et begrep som gir akkurat samme informasjon som den ukompenserte sideakselerasjonen, men i jernbanesammenheng er det mer vanlig å bruke manglende overhøyde.

Eksempel 4: Ved å snu på ligning 9 kan hastigheten finnes uttrykt ved manglende overhøyde også:

$v_{\text{maks}}={\sqrt {{\frac {gR}{s}}\cdot (h+I_{\text{maks}})}}$        (11)

Setter inn kjente størrelser og multipliserer med 3,6 for å få hastighet i km/h:

$V_{\text{maks}}=0,291\cdot {\sqrt {R(h+I_{\text{maks}})}}$    (12)

Kan da regne ut eksempel 2 på nytt med den forenklede formelen ($j_{\text{u,maks}}=0,98{\text{ m/s}}$ tilsvarer $I_{\text{maks}}=150{\text{ mm}}$) og se at svaret blir det samme:

$V_{\text{maks}}=0,291\cdot {\sqrt {350\cdot (140+150)}}=93{\text{ km/h}}$

Rullvinkel

Figur 2 - Vogna krenger utover med rullvinkelen ρ. Vinkelen β skyldes overhøyden.

Den ukompenserte sideakselerasjonen (j_u) gjør at vognkassens fjæranordning blir usymmetrisk belastet, og vogngulvet får en vinkel med sporplanet, som vist på figur 2. Denne vinkelen kalles rullvinkel eller rullingsvinkel. Rulling av vognkassen vil delvis oppheve effekten av overhøyden når vognen kjøres med større fart enn likevektshastigheten.

Som følge av rullingen blir den ukompenserte sideakselerasjonen som passasjerene merker større enn j_u. På samme måte som i sentripetalakselerasjon og sideakselerasjon kan vi finne sideakselerasjonens komponent langs vogngulvet (J) og gravitasjonens komponent vinkelrett på vogngulvet (g''). Akselerasjonen J kalles effektiv sideakselerasjon eller merkbar ukompensert sideakselerasjon. Den er et bedre mål for kjørekomfort enn j_u, men den er avhengig av type materiell. Rullvinkelen er vanligvis proporsjonal med j_u:

$J=(1+r)\cdot j_{u}$,

(13)

der r er rullvinkelkoeffisienten. Den kan beregnes eller fastlegges ved forsøk.

Figur 3 - Følte akselerasjoner i en vogn: a) uten overhøyde og rulling, b) kun med overhøyde, c) med både overhøyde og rulling, d) sammenlikning av a) til c).

For vanlige normalsporede gods- og personvogner ligger rullvinkelkoeffisienten i størrelsesorden 0,1-0,6. For NSBs B7-vogner er r = 0,2. For krengetog blir situasjonen motsatt, i og med at vogna lener seg innover i stedet for utover i kurven. Rullvinkelkoeffisient blir altså negativ. For NSBs krengetog (Signatur) ligger rullvinkelkoeffisienten på ca. r = -0,55 og for SJs X2000 er r = -0,7.

Ved å betrakte figur 4, kan vi utlede sammenhengen mellom rullvinkelkoeffisienten r og rullvinkelen ρ fra ligning 13:

Figur 4 - Akselerasjoner med retninger for en vogn påvirket av både overhøyde og rulling.

${\frac {v^{2}}{R}}\cdot \cos(\beta -\rho )-g\cdot \sin(\beta -\rho )=j_{u}(1+r)=J$

(14)

Jamfør tidligere tilnærminger, kan vi sette cosβ ≈ cosρ ≈ 1. Med sinβ = h/s kan vi med litt regning komme fram til følgende uttrykk for rullvinkelkoeffisienten:

$r={\frac {\sin \rho }{j_{u}}}\left(j_{u}\cdot {\frac {h}{s}}+g\cdot {\frac {h^{2}}{s^{2}}}+g\right)$

(15)

Uttrykket kan imidlertid forenkles gjennom tilnærming. På grunn av at rullvinkelen er liten, kan vi tilnærme sinρ med ρ . Dessuten er de to første leddene i parentesen i formel 15 så små at vi kan utelate dem for deretter å oppveie dem ved å sette tyngdeakselerasjonen g = 10. Dermed får vi et svært enkelt uttrykk for rullvinkelkoeffisienten:

$r={\frac {10\cdot \rho }{j_{u}}}$

(16)

der ρ er i radianer.

Likning 16 innsatt i utgangslikningen gir effektiv sideakselerasjon som funksjon av rullvinkelen:

$J=j_{u}+10\rho$

(17)

Når denne forenklede formelen tas i bruk, må det nevnes at dynamiske bidrag er utelatt. Disse vil i praksis øke den effektive sideakselerasjonen J ytterligere, men beregningsmessig er det alltid j_u som er traseringselementet. Det kan allikevel nevnes at J til en viss grad er tatt hensyn til i regelverket for mange forvaltninger ved at det benyttes ulike traseringsparametre for ulike togtyper.

Uten å gå inn på beviset her, kan det vises at rullvinkelen i stor grad er proporsjonal med sideakselerasjonen, slik at det finnes en konstant c som gir ρ = c j_u . I ligning 16 får vi da eliminert hele sideakselerasjonen j_u , og rullvinkelkoeffisienten blir en konstant for hvert enkelt rullende materiell. De avgjørende elementer blir da lastens masse og plassering, egenskaper og plassering til vognas fjæringssystem.

Grenseverdier

Ved fastsettelse av grenseverdien(e) j_u,maks (I_maks), er det særlig fire hensyn som skal ivaretas:

• passasjerenes komfort
• sikkerhet mot sideforskyvning av sporet
• sikkerhet mot avsporing
• sikkerhet mot velting

En tommelfingerregel er at så lenge passasjerkomforten er ivaretatt, er de tre sikkerhetshensynene også godt innenfor kravet. En cirka tallfesting av sikkerhetskravene kan gis utfra verdier for manglende overhøyde (dette er gamle og sannsynligvis noe utdaterte verdier):

• sideforskyvning: I > 200 mm
• avsporing: I > 300 mm
• velting: I > 400 mm

De fleste forvaltninger har grenseverdier for I på mellom 100 mm og 200 mm, avhengig av faktorer som materielltype, sporstandard, kurveradius med mer (se eksempel nedenfor). Når sideforskyvning, avsporing og velting likevel skjer, skyldes dettes om regel at I/j_u har vært altfor høy i et kort tidsintervall: I virkeligheten danner ingen kurver perfekte sirkelsegmenter og sporfeil og feil på materiellet gir dynamiske virkninger som kommer i tillegg til de beregnede kreftene. I denne sammenheng har faste punkter i sporet (f.eks sporveksler, broer uten ballast, planoverganger) samme virkning som sporfeil.

Eksempel på grenseverdier:

Banedanmark
Maksimal manglende overhøyde I 1)	Maksimal overhøyde h
for alle tog hvor V ≤ 140 km/h: I = 130 mm for alle tog hvor 140 km/h < V ≤ 250 km/h: I = 150 mm for særlige togsett: I = 160 mm	h = 150? 160?
Trafikverket, Sverige
Maksimal manglende overhøyde I 2)	Maksimal overhøyde h
togkategori A: I = 100 mm togkategori B: I = 150 mm togkategori S: I = 245 mm	h = 160 mm
Jernbaneverket, Norge
Maksimal manglende overhøyde I 3)	Maksimal overhøyde h
konvensjonelt materiell: I = 100-150 mm avhengig av radius plussmateriell: I = 130-160 mm avhengig av radius krengetogsmateriell: I = 160-245 mm avhengig av radius	h = 150 mm

1. Ved aksellast ≤ 22,5 tonn og 60-kilos skinner
2. For hastigheter ≤ 250 km/h. Togkategoriene er satt utfra hvilken manglende overhøyde togene er godkjent for og kategori S skal i tillegg ha krengemekanisme.
3. Konvensjonelt materiell er hovedsaklig godstog og plussmateriell hovedsaklig persontog.

(Alle verdier per februar 2014.)

I avsnittet om rullvinkel forklares det hvordan fjæringen av materiellet i en sving reduserer effekten av overhøyden. Grenseverdien for komfort må derfor også ta hensyn til ulike typer materiell i tillegg til spor og sporstandard. Komfortbegrepet blir forøvrig nøye gjennomgått i kapitlet Krengetogstilpasning utfra komfort, men det kan nevnes at grenseverdiene som er diskutert her må variere med hvorvidt en passasjer sitter, står eller går i vogna.

Det må også fastsettes noen grenseverdier for overhøyden, h:

• en absolutt maksimalverdi, h_maks. I Norge er h_maks = 180 mm (for nye persontrafikkbaner, for øvrige baner er h_maks = 150 mm). Høyere verdi tillater større hastighet for de raskeste tog, men er uheldig for saktegående godstog og for steder hvor toget kan komme til å stoppe.
• en maksimalverdi som er avhengig av kurveradius på grunn av avsporingsfaren ved lav hastighet i krappe kurver. For eksempel anbefaler standarden EN 13803 å begrense overhøyden for kurver med radius mindre enn 320 m til

$h_{\text{avsp}}={\tfrac {R-50}{1,5}}$ [mm] (der radius er gitt i m) ;     (18)

• en maksimalverdi som er avhengig av overgangskurvens lengde og hastighet, utfra hvilken rampestigningshastighet som tillates, se avsnittet om overgangskurver.
• en minimumsverdi utfra hastighet til raskeste tog, finnes ved å snu ligning 5:

$h_{\text{min}}={\frac {s}{g}}\left({\frac {(v_{\text{maks}})^{2}}{R}}-j_{\text{u,maks}}\right)$          (19)

• en maksimumsverdi utfra hastighet til raskeste tog; det er aldri noe poeng å ha større overhøyde enn den overhøyden som gir likevektshastighet for raskeste tog:

$h_{maks}\leq h_{teor}={\frac {s\cdot (v_{\text{maks}})^{2}}{gR}}$          (20)

Overgangskurver og overhøyderamper

Figur 5 - Lineær overhøyderampe, sammenfallende med overgangskurven

En overgangskurve er definert ved at den har krumning lik tilstøtende kurver i endene og samtidig har kontinuerlig endring av krumning gjennom hele kurven. Overgangskurver benyttes mellom rettlinjer og sirkelkurver og mellom sirkelkurver med ulik radius. Summert er en overgangskurve et traséelement som forbinder to traséelementer med ulik radius. Hensikten er å gi en smidig overgang fra en akselerert tilstand til en annen, med henblikk først og fremst på passasjerkomfort, men også sikkerhet og slitasje på spor og materiell.

For å oppnå overhøyde på sporet anvendes såkalte overhøyderamper, hvor overhøyden bygges opp kontinuerlig. Vanligvis er overhøyderampene sammenfallende med overgangskurvene. Ved kjøring gjennom en overhøyderampe, vil en vogn blir liggende skjevt på sporet. Forenklet kan vi si at dersom vogna var konstruert helt stiv, ville kun tre av fire hjul være på sporet samtidig. Rampen må derfor ikke være brattere enn at alle hjul har sikker føring gjennom hele overhøyderampen/overgangskurven.

Ordforklaringer:

OB - overgangskurvens begynnelse; punktet i overgangen fra rettlinje til overgangskurve

OE - overgangskurvens ende; punktet i overgangen mellom overgangskurve og sirkelkurve

For overgangskurven fra en sirkelkurve til en annen angir betegnelsene OB og OE kurvens tilstøtende punkter mot henholdsvis den slakeste og den krappeste av sirklene.

FOB - felles OB; brukes der det er kontrakurver og ingen rettlinje mellom overgangskurvene

Figur 6 - Saksede overhøyderamper.

Figur 5 viser det vanligste og enkleste tilfellet der overgangskurven ligger mellom en rettlinje og en sirkelkurve. Figur 6 viser to motsatt rettede sirkelkurver uten rettlinje i mellom. Rampene går da rett i hverandre, men vendepunktet (FOB) har alltid overhøyde lik null. Denne rampeutformingen kalles en sakset overhøyderampe. Hvis de to rampene i saksen har lik stigning, blir situasjonen enkel (figur 6a), mens har de ulik stigning, vil minst en av skinnestrengene få en knekk i FOB (figur 6b). Dette løses ved at den ene strengen løftes ubrutt gjennom hele sakserampen fra OE til OE, for så å bestemme FOBs beliggenhet hvor kravet om null overhøyde skal være oppfylt. Den siste strengen løftes til slutt mellom FOB og endepunktene.

Mange steder er overgangskurvene for korte til at store hastighetsøkninger kan tillates. En kunne ideelt sett ønske seg kurvekorrigeringer som omfattet forlengelse av overgangskurvene, men dette blir fort altfor omfattende og vil medføre store kostnader. Den alternative løsningen på problemet blir derfor å beholde lengden til overgangskurven og samtidig senke rampestigningen.

Tidligere ble denne oppgaven i praksis utført ved å strekke overhøyderampen et stykke inn i sirkelkurven. Enden av rampen ble da ikke sammenfallende med OE og ble benevnt RE - rampens ende. Metoden tillates derimot overhodet ikke i dag, i og med at overhøyden først er bygget helt opp et stykke inne i sirkelkurven. Når hastigheten er høy vil dette gi kritiske utslag på komfort såvel som slitasje.

Dagens løsning består i å redusere overhøyden gjennom hele sirkelkurven, i praksis ved å løfte sporets indre streng.

Klotoiden

Klotoide (trykk på bildet for å se animasjon)

Utfra definisjonen av en overgangskurve kan denne utformes på ulikt matematisk grunnlag. I Norge benyttes kun kurver der den kontinuerlige variasjonen i overhøyde og krumning foregår lineært. Denne kurven heter klotoide. I vedlegg xx er en kort forklaring av to andre typer overgangskurver.

Definisjon: En klotoide er en kurve der lengden av kurven L er proporsjonal med krummingen 1/R:

${\frac {1}{R}}=C\cdot L={\frac {1}{A^{2}}}\cdot L\;\Rightarrow \;RL=A^{2}$

(21)

der konstanten C = 1/A² er proporsjonalitetskonstanten. Konstanten A kalles klotoideparameteren og beskriver klotoiden entydig akkurat som radien beskriver en sirkelkurve entydig. I Norge er det imidlertid vanlig å bruke R og L til å beskrive klotoiden heller enn A.

Alle omskrivinger av 21 vil også gjelde et vilkårlig punkt på kurven, for eksempel når en kjenner r eller l.

Klotoiden har en enkel ligning, men er komplisert å regne på ettersom den ikke er gitt i kartesiske (rettvinklede) koorinater. Vedlegg 6.1 viser hvordan man utvikler klotoiden i kartesiske koordinater. Reslutatet er følgende parametriske framstilling for x og y:

$x=l-{\frac {l^{5}}{5\cdot 2^{2}\cdot A^{4}\cdot 2!}}+{\frac {l^{9}}{9\cdot 2^{4}\cdot A^{8}\cdot 4!}}-{\frac {l^{13}}{13\cdot 2^{6}\cdot A^{12}\cdot 6!}}+\dots$
	(23)
$y={\frac {l^{3}}{3\cdot 2A^{2}}}-{\frac {l^{7}}{7\cdot 2^{3}\cdot A^{6}\cdot 3!}}+{\frac {l^{11}}{11\cdot 2^{5}\cdot A^{10}\cdot 5!}}-{\frac {l^{15}}{15\cdot 2^{7}\cdot A^{14}\cdot 7!}}+\dots$

Hvis vi tilnærmer de uendelige rekkene med kun sitt første ledd, får vi at $x=l$ og $y={\frac {l^{3}}{3\cdot 2A^{2}}}$. Ved å erstatte variabelen $l$ i y-uttrykket med x-uttrykket (dvs. erstatte l med x) og sette inn for klotoideparameteren A, får vi

$y={\frac {x^{3}}{3\cdot 2A^{2}}}={\frac {x^{3}}{6\cdot R\cdot L}},$

som er den vanlige tilnærmingen til klotoiden når denne brukes som overgangskurve. Dette er en kubisk parabel eller en 3.gradsparabel. Tilnærmingen er akseptabel så lenge L er mye mindre enn R, noe som alltid vil være tilfelle ved overgangskurver. (En mer nøyaktig utledning for tilnærming til klotoiden kan finnes i [3] Kolbjørn Heie, side 408-410.)

Figur 7 - 3.gradsparabel mellom rettlinje og sirkelkurve

Det er vanlig å betrakte en utgangssituasjon der en ikke har noen overgang mellom rettlinje og sirkelkurve, som illustrert i fig. 7. Rettlinjen ligger på x-aksen og i punktet "T" starter sirkelkurven. Fortsettelsen av x-aksen etter at "sporet" har svingt av kalles tangenten fordi det er tangent til kurvens startpunkt. Origo ligger der vi vil starte overgangskurven (OB, i fig. 7 står det bare "B"). Man kan se fra figuren at 3.gradsparabelen (som starter i "B") gjør at sirkelkurven blir liggende innenfor den opprinnelige sirkelkurven. Avstanden er gitt ved

$m={\frac {l^{2}}{24R}}$

(38)

Avstanden m kalles ofte "innflyttningen" fordi det er denne avstanden kurven må flyttes innover for å legge inn overgangskurver i en kurve som ikke hadde det fra før. Siden overgangskurven har lineær endring av av radius, vil innflyttningen etter halve lengden L være halvparten av m.

Tabell 4 viser avvik mellom klotoiden og 3.gradsparabelen for ulike overgangskurvelengder og sirkelradier. Lengden L er buelengden til klotoiden, og tallene i tabellen er differansen mellom y-koordinaten til klotoiden, y_kloto, og y-koordinaten til 3.gradsparabelen innsatt x_kloto i 33:

$y_{\text{parab}}={\frac {x^{3}}{6Rl}}={\frac {l^{3}}{6Rl}}={\frac {l^{2}}{6R}}={\frac {x_{\text{kloto}}^{2}}{6R}}$

(39)

Tabell 2.4Avvik i mm mellom y-koordinat for klotoide og 3.gradsparabel.

Avvik i mm mellom y-koordinat for klotoide og 3.gradsparabel

	Radius R
Lengde L	250	300	500	800	1100
30	0,3	0,2	0,0	0,0	0,0
50	2,1	1,2	0,3	0,1	0,0
70	8,2	4,8	1,0	0,3	0,1
80	14,0	8,1	1,8	0,4	0,2
90	22,4	13,0	2,8	0,7	0,3
100	34,1	19.8	4,3	1,0	0,4
110	-	28,9	6,3	1,5	0,6
120	-	40,9	8,9	2,2	0,8

I dag brukes klotiden ved prosjektering fordi kravet til nøyaktighet er stort og dataverktøyene er gode. Tidligere ble imidlertid 3.gradsparabelen brukt og mange kurver ute i sporet er opprinnelig utfestet som 3.gradskurver. Praktiske oppgaver på sporet, som justering, etter klotoidebaserte data, kan dermed skape konflikter, ettersom klotoiden alltid krummer noe mer enn 3.gradsparabelen.

Traseringsparametre i overgangskurven

Rampestigning er den ene skinnens stigning i forhold til den andre skinnen og er gitt ved følgende uttrykk, som vanligvis oppgis i promille:

$p={\frac {\Delta h}{\Delta L}}{\text{ eller }}p={\frac {dh}{dl}},$

(24)

der Δh er forskjellen i overhøyde over lengden ΔL. Det første uttrykket (med delta) er tilstrekkelig for bruk i Norge, hvor rampene har lineær stigning. Hvis vi ser bort fra eventuelle sporfeil, så skal rampestigningen gjennom hele rampen være p = h/L (for overgangskurve mellom rettlinje og sirkelkurve). Diffrensialformen må brukes for ramper som ikke er lineære (ulik stigning avhengig av hvor i rampen man befinner seg).

I en overhøyderampe vil overhøyden variere fra punkt til punkt, den bygges opp fra ingen overhøyde der den er tilknyttet rettlinje og til full overhøyde der sirkelkurven begynner.

På grunn av de skjevheter en overhøyderampe innebærer, kalles rampestigningen også for vindskjevhet. Men dette begrepet er mer forbundet med sporfeil. Vi kan si at rampestigning er den tilsiktede endringen av overhøyde i lengderetningen, mens vindskjevhet er den faktiske situasjonen på sporet (tilsiktet skjevhet pluss eventuelle feil). Mer om dette i (??? Geometriske feil..).

BILDE

Hvis en helt stiv vogn uten fjærer hadde kjørt over en overhøyderampe, ville skjevheten i rampen ført til at vognen hadde kun to hjul på sporet, den ville stått og vippet. I virkeligheten er selvsagt vognene ikke helt stive og de har i tillegg fjæring, men overhøyderampene fører likevel til en avlastning av noen av hjulene: Vertikalkraften mellom hjul og skinne vil bli ulik for hvert av hjulene idet vogna kjører over overhøyderampen. Samtidig virker en føringskraft (horisontalkraft) på hjulene fordi man kjører i en kurve. Dersom føringskrafta blir tilstrekkelig stor og vertikalkrafta tilstrekkelig liten, sporer vogna av. Forholdet mellom føringskraft og vertikalkraft kalles Y/Q-forholdet og blir nærmere omtalt i Teknisk_linjeføring#Avsporingsfare

For en 2-akslet vogn som kjører med lav fart nedover en overhøyderampe fra sirkelkurve til rett spor, vil kreftene mellom skinner og hjul avhenge av overhøyden, rampestigningen og horisontalradius: Helningen gir belastning på indre hjul og avlastning på ytre. Ytre, førende hjul på første aksel avlastes, mens indre belastes. Føringskraften på indre, førende (???) hjul øker med avtagende radius. Eventuell skjevbelastning av vognen (dårlig fordeling av lasten) kommer i tillegg.

I Norge, som i de fleste europeiske land er maksimal rampestigning satt til 1:400, dvs 2,5 promille.

Rampestigningshastighet er overhøydens endring per tidsenhet og er gitt ved:

${\frac {\Delta h}{\Delta t}}{\text{ eller }}{\frac {dh}{dt}},$

(25)

med enhet mm/s.

For rette ramper, som er det som brukes i Norge, kan rampestigningshastigheten skrives som:

${\frac {dh}{dt}}={\frac {h}{L/v}}=v\cdot {\frac {h}{L}},$

(25)

der L er lengden av overhøyderampen (her antar vi dessuten av hastigheten er konstant gjennom hele rampen).

Rampestigningshastighet kan også oppgis som et stigningsforhold 1:n*V der n er et heltall og V er hastighet i km/h, men denne skrivemåten er ikke så vanlig nå lenger. For å finne rampestigningshastigheten i mm/s utfra stigningsforholdet: dh/dt = 1000/(n*3,6) [mm/s].

Størrelsen på rampestigningshastighet først og fremst viktig for passasjerenes komfort. Ved gjennomkjøring av en overhøyderampe vris vognkassen om sin lengdeakse. Særlig passasjerer som står eller går kan oppleve dette som ubehagelig, mens sittende passasjerer ikke merker så mye til enkeltkurver. På kurverike baner kan enkelte passasjerer (også de som sitter) bli kvalme (sjøsyke/"togsyke") på grunn av de gjentatte bølgelignende bevegelsene i toget. Særlig i krengetog har togsyke vært et problem, ettersom krengingen gjør at den opptredende rampestigningen i toget blir større samtidig som at krengetogene ofte kjører fortere enn andre passasjertog.

En beslektet størrelse er rullvinkelhastigheten eller vridningshastigheten som angir hvor mye tverrvinkelen endrer seg per tidsenhet, altså hvor fort vognkassen vrir seg. Sammenhengen mellom rullvinkelhastigheten β og rampestigningshastigheten dh/dt er (for små vinkler) gitt ved

$\beta ={\frac {dh/dt}{s}},$

(xx)

der s er sporvidden i mm og β er gitt i radianer per sekund. For å få resultatet i grader per sekund ganges det med 180/pi.

Rykk er endring av ukompensert sideakselerasjon per tidsenhet, det vil si den deriverte av j_u. Dette er som nevnt et uttrykk for hvor fort den ukompenserte sideakselerasjonen endres over tid:

$\psi ={\frac {\Delta j_{x}}{\Delta t}}{\text{ eller }}\psi ={\frac {dj_{x}}{dt}}$

(26)

der j_x er den ukompenserte sideakselerasjonen etter lengden x. Ukompensert sideakselerasjon blir vanligvis betegnet j_u, men da er det snakk om den maksimale som opptrer i kurvens endepunkt (OE). j_x er gitt ved $j_{x}={\frac {x}{L}}\cdot j_{u}$.

Dersom overgangskurven har lineær endring av radius (slik som klotoiden) og hastigheten er konstant gjennom kurven, kan rykket skrives slik:

$\psi ={\frac {dj_{u}}{dt}}=v\cdot {\frac {dj_{x}}{dx}}=v\cdot {\frac {j_{u}}{L}}$

(xx)

Siden ukompensert sideakselerasjon også kan uttrykkes som manglende overhøyde, er rykket også definert som endring av den manglende overhøyden:

${\frac {dI}{dt}}={\frac {s}{g}}\cdot \psi ={\frac {v\cdot s}{g}}\cdot {\frac {dj_{x}}{dx}}$

(27)

der det siste uttrykket fremkommer ved å sette inn xx for ψ og gjelder under samme betingelser som xx.

Overgangskurvens lengde og hastighet i overgangskurven

Overgangskurvens lengde bestemmes ut fra de tre traseringsparametrene rampestigning, rampestigningshastighet og rykk. Ved å løse de tre ligningene (24), (25x) og (26x) for L, får vi

$L_{1}={\frac {h}{p}},\,\,\,\,L_{2}=v\cdot {\frac {h}{({\tfrac {dh}{dt}})}},\,\,\,\,L_{3}=v\cdot {\frac {j_{u}}{\psi }},$

der v er hastighet i meter per sekund.

Setter inn maksimalverdier for traseringsparametrene:

$L_{1}\leq {\frac {h}{p_{\text{maks}}}}$

$L_{2}\leq v\cdot {\frac {h}{({\tfrac {dh}{dt}})_{\text{maks}}}}$

$L_{3}\leq v\cdot {\frac {j_{u}}{\psi _{\text{maks}}}}$

Minste lengde på overgangskurven med den gitte hastigheten er da L_min = max{L₁, L₂, L₃}.

Eksempel: I en kurve med radius R = 500 meter og overhøyde h = 120 mm er skiltet hastighet 90 km/h (= 25 m/s). Hvor lange må overgangskurvene da være dersom (dh/dt)_maks = 55 mm/s og ψ = 0,52 mm/s³?

$L_{1}\leq {\frac {h}{p_{\text{maks}}}}={\frac {120}{2,5}}=48$

$L_{2}\leq v\cdot {\frac {h}{({\tfrac {dh}{dt}})_{\text{maks}}}}=25\cdot {\frac {120}{55}}\approx 54,5$

$L_{3}\leq v\cdot {\frac {j_{u}}{\psi _{\text{maks}}}}=25\cdot {\frac {0,47}{0,52}}=22,6,$

der j_u er regnet ut slik (lign. 4):

$j_{u}={\frac {v^{2}}{R}}-g\cdot {\frac {h}{s}}={\frac {25^{2}}{500}}-9,81\cdot {\frac {120}{1500}}\approx 0,47$

Overgangskurven(e) må dermed være minst 55 meter (runder opp til nærmeste hele meter).

(Kan også i første omgang sette inn maksimalverdi istedenfor opptredende verdi av j_u i L₃, men dersom L₃ da blir utslagsgivende bør man regne ut j_u slik det er gjort ovenfor.)

Dersom målet er å finne maksimal hastighet over kurvekombinasjonen, er det vanlig å først regne ut maksimal hastighet i sirkelkurven for så å finne ut om overgangskurvelengdene tillater denne hastigheten.

Eksempel: Vi finner maksimal hastighet over sirkelkurven og overgangskurvene fra eksempelet ovenfor. Bruker j_u,maks = 0,85 m/s³.

For sirkelkurven blir maksimalhastighet

$v_{\text{maks}}={\sqrt {500\left({\frac {9,81\cdot 120}{1500}}+0,85\right)}}\approx 28,6\;{\text{m/s}}.$

Setter så denne hastigheten inn i beregningene for lengde av overgangskurven:

$L_{1}\leq {\frac {h}{p_{\text{maks}}}}={\frac {120}{2,5}}=48$

$L_{2}\leq v\cdot {\frac {h}{({\tfrac {dh}{dt}})_{\text{maks}}}}=28,6\cdot {\frac {120}{55}}\approx 62,4$

$L_{3}\leq v\cdot {\frac {j_{u}}{\psi _{\text{maks}}}}=28,6\cdot {\frac {0,85}{0,52}}=46,8,$

der j_u er regnet ut på samme måte som ovenfor (her havner j_u nødvendigvis på maksimalverdien siden hastigheten er den høyeste som er tillatt i sirkelkurven).

Dersom overgangskurvene er minst 63 meter lange kan hastigheten settes til 28,6 m/s (tilsvarer 103 km/h).

En annen mulighet er å beregne maksimalhastighet utfra formlene for rampestigningshastighet og rykk hver for seg. For førstnevnte er det enkelt idet vi løser ligning (25) med hensyn på hastighet der maksimalverdi for rampestigningshastiget er satt inn:

$v_{\text{maks}}={\frac {L}{h}}\cdot ({\dfrac {dh}{dt}})_{\text{maks}}$

For rykket gjøres akkurat det samme med ligning (xx):

$v_{\text{maks}}={\frac {L}{j_{u}}}\cdot \psi _{\text{maks}}$

Problemet er bare at j_u er avhengig av hastigheten. Ved å sette inn for j_u får vi følgende tredjegradsuttrykk

$v_{\text{maks}}={\frac {L}{{\frac {v_{\text{maks}}^{2}}{R}}-{\frac {g\cdot h}{s}}}}\cdot \psi _{\text{maks}}$

Hvis uttrykket omformuleres til

$v_{n+1}={\sqrt {R\cdot \left({\frac {L\cdot \psi _{\text{maks}}}{v_{n}}}+{\frac {g\cdot h}{s}}\right)}}$

kan man iterere seg fram til løsningen.

Kurvekombinasjoner

Figur 8 - Enkel kurvekombinasjon: rettlinje - sirkel - rettlinje via overgangskurver.

Dette avsnittet beskriver hvordan de tre traseringselementene rettlinje, sirkelkurve og overgangskurve kan kombineres ute i sporet. Det enkleste kurveforløpet vi har består av overgangen fra rettlinje til sirkelkurve og tilbake igjen via overgangskurver, se figur 8. Denne kalles en enkel kurvekombinasjon.

Kombinasjonskurver er flere tilstøtende, ensrettede sirkelkurver med ulik radius, se figur 9. Her gjelder de samme traseringskrav som for enkle kurver, men formlene blir litt mer kompliserte, se eksempel.

Figur 9 - Sammensatt kurve

Eksempel:

blabla bla

En annen vanlig kurvesammensetning er motsatt rettede kurver, eller kontrakurver, som betyr tilstøtende kurver med krumning med ulikt fortegn, se figur 12. Overgangskurvene får OB i samme punkt, som da kalles felles OB; FOB.

Figur 12 - Motsatt rettede kurver med overgangskurver

Ved nyprosjektering vil man helst unngå både kombinasjonskurver og kontrakurver der det er mulig. Dersom man kan legge en rettlinje imellom og få to enkle kurvekombinasjoner er det som regel en bedre løsning. Rettlinjen må imidlertid ha en viss lengde for at det ikke skal bli ukomfortabelt å kjøre over; generelt bør alle traseringselementene ikke være særlig kortere enn at det tar minst 0,9 sekunder å kjøre gjennom hvert av dem.

Kurver uten overgangskurver

Dersom kurveradius er stor eller hastigheten er liten, kan overgangskurver utelates. Dette gjøres av konstruktive årsaker, og særlig på stasjoner i kontrakurver og i sporveksler. Punkter der rettlinje går direkte over i sirkelkurve betegnes kurvepunkt KP, mens punkter med en momentan overgang fra en sirkelkradius til en annen betegnes felles kurvepunkt FKP.

Figur 10 - Sammensatt kurve uten overgangskurver

For sirkelkurver uten overhøyde er som regel også overgangskurver utelatt. Endring i krumning og dermed sideakselerasjon skjer i dette tilfellet momentant. Rykket blir her svært stort. Allikevel skjer det en utjevning i praksis, siden materiellet som trafikkerer linjen ikke er stivt, men utstyrt med fjæringsmekanismer. Fig. 11 illustrerer hvordan vognas faktiske akselerasjon arter seg ved inn- og utgang av en sirkelkurve med rettlinjer i endene.

Figur 11 - Sideakselerasjon ved kjøring fra rett spor til sirkelkurve uten overgangskurve.

De ulike forvaltningene har fastsatt grenser for i hvilken utstrekning kurver uten overgangskurver kan benyttes, men innfallsvinkelen varierer.Én måte er å angi at endring til en manglende overhøyde I ikke skal overstige en viss verdi, f.eks 100 mm. En annen metode er å operere med en såkalt fiktiv overgangskurve. Som overgangskurve brukes da avstanden mellom vognas boggiesentra. Denne kan så settes inn i de vanlige formlene sammen med en akseptabel verdi for den ukompenserte sideakselerasjonen for å finne et utrykk for hvilken hastighet en kan benytte til hvilken kurveradius.

Det er enklest å bruke den første metoden. Vi finner verdien av den ukompenserte sideaksellerasjonen i punktet FKP (eller KP),

$j_{u}={\frac {v^{2}}{R}}$ for enkel kurve (rettlinje-sirkelkurve),

$j_{u}={\frac {v^{2}}{R_{2}}}-{\frac {v^{2}}{R_{1}}}$ for kombinasjonskurver (ensrettede kurver) der R₁ > R₂

og

$j_{u}={\frac {v^{2}}{R_{1}}}+{\frac {v^{2}}{R_{2}}}$ for kontrakurver.

Ved å sette en maksimalverdi for brå endringer av j_u kan vi løse ligningene ovenfor og finne maksimal tillatt hastighet over hver FKP. Tillatt verdi for denne plutselige endringen av j_u er vanligvis lavere enn de andre grenseverdiene, f.eks kan den ligge på rundt 0,65 m/s³ (tilsvarer I = 100 mm).

Bufferoverdekning i kontrakurve

For å sikre ønsket bufferoverdekning (samt utjevne rykket) i kurver som krummer i forskjellig retning, må det enten velges tilstrekkelig store radier eller anlegges en rettlinje mellom kurvene. For ugunstigste vognkombinasjon gjelder følgende:

Hvis ${\frac {R_{1}\cdot R_{2}}{|R_{1}+R_{2}|}}\geq 120$ anlegges ingen rettlinje.

Hvis $100\leq {\frac {R_{1}\cdot R_{2}}{|R_{1}+R_{2}|}}<120$ anlegges en rettlinje = 7 m i spor som skal trafikkeres av personvogner og ingen rettlinje i spor som bare skal trafikkeres med godsvogner.

Hvis ${\frac {R_{1}\cdot R_{2}}{|R_{1}+R_{2}|}}<100$anlegges en rettlinje = 10 m i spor som skal trafikkeres av personvogner og 7m i spor som bare skal trafikkeres med godsvogner.

Begge radiene skal være ≥ 140 m.

VERTIKALKURVATUR

Kurver i vertikalplanet

Geometrien for vertikalkurvaturen er langt enklere enn den for horisontalkurvaturen. Isolert sett består den vertikale traséen av kun to traseringselementer: Stigninger (rettlinjer) og stigningskurver (sirkelkurver) i vertikalplanet. Tilsammen utgjør disse kurvene vertikalkurvaturen.

Linjens vertikalføring fremgår av lengdeprofilet for en gitt banestrekning, som angir størrelsen på stigning og fall på de forskjellige stedene på linjen. Stigning og fall angis i promille.

Tabell 5 angir fordelingen av stigning/fall i vertikalplanet for ulike eksisterende baner i Norge, der stigningene gjelder for alle rettlinjene i vertikalkurvaturen:

Tabell 5 - Stigningsfordeling for ulike eksisterende baner i Norge

	> 25 ‰	20,1-25 ‰	15,1-20 ‰	10,1-15 ‰	5,1-10 ‰	0,1-5 ‰	horisontalt	Største stigning
Østfoldbanen, vestre linje	0 %	2 %	0 %	25 %	35 %	27 %	11 %	25 ‰
Østfoldbanen, østre linje	0 %	0 %	0 %	41 %	33 %	18 %	8 %	13 ‰
Dovrebanen	0 %	0 %	16 %	18 %	16 %	31 %	19 %	18 ‰
Kongsvingerbanen	0 %	0 %	0 %	0 %	5 %	75 %	19 %	5 ‰
Rørosbanen	0 %	0 %	0 %	14 %	30 %	37 %	19 %	15 ‰
Nordlandsbanen	0 %	0 %	13 %	14 %	24 %	25 %	25 %	19 ‰
Gjøvikbanen	1 %	4 %	40 %	32 %	10 %	7 %	7 %	22 ‰
Bergensbanen	0 %	9 %	18 %	14 %	18 %	33 %	8 %	21 ‰
Sørlandsbanen	0 %	7 %	17 %	18 %	20 %	20 %	17 %	25 ‰
Vestfoldbanen	0 %	0 %	7 %	27 %	33 %	21 %	11 %	14 ‰
Solørbanen	0 %	0 %	0 %	0 %	20 %	53 %	28 %	8 ‰
Roa - Hønefoss	0 %	5 %	69 %	18 %	2 %	3 %	3 %	20 ‰
Raumabanen	0 %	1 %	23 %	10 %	16 %	27 %	24 %	20 ‰
Hell - Storlien	0 %	0 %	32 %	8 %	16 %	26 %	18 %	19 ‰
Grong - Namsos	0 %	0 %	0 %	8 %	33 %	16 %	43 %	11 ‰
Randsfjordbanen	0 %	0 %	0 %	13 %	42 %	32 %	13 %	11 ‰
Flåmsbanen	83 %	0 %	0 %	0 %	4 %	9 %	3 %	55 ‰
Asker - Spikkestad	0 %	0 %	0 %	10 %	31 %	37 %	23 %	11 ‰
Arendalslinjen	0 %	0 %	4 %	24 %	9 %	23 %	39 %	22 ‰
Ofotbanen	0 %	1 %	26 %	58 %	3 %	6 %	6 %	17 ‰
Øvrige baner	0 %	1 %	17 %	22 %	36 %	18 %	5 %	-
Totalt	1 %	2 %	13 %	17 %	22 %	28 %	18 %	55 ‰

Stigninger

Med stigning menes her en rettlinje i vertikalplanet som avviker i retning fra en horisontal referanseflate. Kjøreretningen bestemmer om stigningen har positivt (reell stigning) eller negativt (fall) fortegn.

Stigning og motstand

De viktigste avveiningene for å optimalisere stigning og fall er anleggsomkostningene, som kan begrenses ved større stigninger (kortere kjørevei), og driftskostnadene, som raskt vokser ettersom behovet for kraftigere trekkraft gjør seg gjeldende. Likeledes kreves bremsekraft i forhold til fall.

For alt rullende materiell gjelder en felles kjøremotstand under fremføringen. Denne består hovedsaklig av tre ledd: Grunnmotstanden, som utgjøres av friksjon etc., kurvemotstanden i horisontalkurver, og stigningsmotstanden. I vertikalgeometrien fokuserer vi på sistnevnte og dens samspill med den totale kjøremotstanden. Fenomenet består av tyngdekraftens komponent parallelt sporets lengderetning og er helt analogt med tyngdens komponent på tvers av kjøreretningen i kurver med overhøyde.

Figur 13 - Stigningsmotstand

Som regel er ikke stigningen større enn at vi kan tilnærme stigningen (lik tangens til v) med vinkelen v selv.

En uskadelig stigning er en stigning som innebærer mindre motstand enn grunnmotstanden og som derfor ikke gir større trafikkostnader enn på en flat strekning. I motsatt fall har vi en skadelig stigning.

På en del av våre eldre eksisterende baner, vil vertikalkurvaturen vise tegn på tidligere begrensninger hos det rullende materiell. Materiellet hadde ofte ikke kraft nok til å forsere en ideell stigning, dvs. helt jevn stigning fra et punkt til et annet, men måtte ha gjentatte intervaller av varierende stigning, og til og med fall, når den totale kjøremotstanden ble for høy. Disse intervallene fremkom ved å redusere stigningen med kurvemotstanden, slik at lengdeprofilet ble brukket i de horisontale kurvepunktene. Uskadelig stigning er/var sjelden mulig å få til, men en hovedutfordring bestod i å unngå såkalt tapt stigning, dvs. at avvikene fra jevn stigning medførte økt energiforbruk.

Bestemmende fall og stigning

Bestemmende fall/stigning er det fall i promille som beregnes ved å forbinde to punkter i strekningens lengdeprofil med innbyrdes avstand lik 1000 m med en rett linje. For en lengre strekning er det bestemmende fall/stigning den største verdien som fremkommer på en vilkårlig kilometer langs strekningen med denne beregningen.

Linjens stigning og fall angis med fall- og stigningsvisere. Disse settes opp ved begynnelsen av fall- eller stigningsstrekningen, og på steder der det bestemmende fall endres med mer enn 5 ‰. Ved bestemmende fall/stigning under 5 ‰ anvendes ikke visere.

Figur 14 - Eksempel på beregning av bestemmende fall/stigning med anvisere.

I fig. .14 er det bestemmende fall fra km 0 til km 2.1 mindre enn 5 ‰ og anvises derfor ikke. Fra km 2.1 til km 4.1 er det bestemmende fall lik 14.6 ‰ og anvises derfor avrundet til 15. Største fall er 17.2 ‰.

Bestemmende fall/stigning vil naturlig nok stille ulike krav til ulik trafikk og materiell. Derfor er det satt krav om største bestemmende fall/stigning:

Tabell 6 - Største bestemmende fall/stigning på fri linje

	Største bestemmende stigning/fall (‰)
	Baner med blandet trafikk	Persontrafikkbaner	Sidespor
Normale krav	12,5	20	12,5
Minste krav	20	25	30

I enkelte tilfeller kan sporets absolutte fall/stigning angis i stedet for det bestemmende. Dette gjelder når det forekommer store fall/stigninger over en kort strekning på stasjoner eller sidespor, hvor det f.eks. foregår skifting.

Prosjektering av vertikalkurvaturen er i stor grad avhengig av hastigheten til det materiellet som skal trafikkere den aktuelle strekningen. Største tillatte kjørehastighet for tog på strekninger med fall er ikke bare avhengig av den oppsatte hastigheten i sporavsnittet, men også av togets bremseutstyr og det bestemmende fall på strekningen. Tabell .7 gir en normal sammenstilling av bestemmende fall og hastigheter:

Tabell 7 - Forholdet mellom bestemmende fall og tillatt hastighet

Bestemmende fall (‰)	Tillatt hastighet (km/h)
12,5	200
15	180
17,5	160
20	140
22,5	120
25	100

Høyere hastighet enn angitt i tabell 7 kan tillempes hvis signalsystem og rullende materiell tilsier det. Eksempelvis er kravet på Gardermobanen satt til 27 ‰.

Når en ny linje driftsmessig er å betrakte som en forlengelse av en eksisterende bane, eller når det gjelder linjeomlegging, skal det bestemmende fall ikke være større enn for den eksisterende banen. I motsatt fall bør det bestemmende fall velges slik at de forutsatte togslag kan kjøre i stigning og fall i overensstemmelse med hastighetsbetraktningene fra forrige avsnitt.

For rettlinjer i vertikalplanet gjelder at linjer med konstant eller uten stigning mellom sirkelkurver skal ha en lengde på minst 20 m.

Stasjonsområder

På stasjoner og ved hensetting av tog gjelder egne bestemmelser. I første omgang skal det bestemmende fall/stigning ikke overstige 20 ‰ mellom innkjørs- og utkjørshovedsignal.

For hovedspor såvel som sidespor og oppstillingsspor gjelder at sporet bør anlegges horisontalt. Største stigning/fall er 2 ‰/5 ‰ (normal-/minstekrav). Sidespor må i tillegg sikres med avledende sporveksel eller sporsperre. Utfra erfaring med ulike typer materiell må stigning/fall i tillegg avpasses i forhold til igangsetting fra stopp.

Spor mot plattformer har samme krav som ved hensetting.

Stigningskurven

I forrige avsnitt ble det vist et lengdeprofil fra vertikalkurvaturen, der stigning og fall endres i brukne rettlinjer. Men for å få jevn vertikalkurvatur, må hvert slikt brytningspunkt, eller brekkpunkt, rundes av med en sirkelkurve i vertikalplanet, en såkalt stigningskurve.

Stigningskurven fungerer som overgang mellom de ulike stigninger. I teoretisk prosjekteringssammenheng benyttes imidlertid ikke stigningskurver der stigningsforskjellen ikke overstiger 1 ‰.

Figur .15 viser utgangspunktet for innlegging av en stigningskurve. Brytningspunktet (BP) angir hvor kurven skal ligge - enten over eller under knekken i det eksisterende terrenget. Nødvendig utstrekning angis ved stigningskurvens ender (SE). Ved overgang til større stigning, eller til lavere fall, har vi såkalt lavbrekk. I motsatt fall har vi høybrekk.

Figur 15 - Vertikalkurver.

Radius

Vertikalkurvens radius fastsettes normalt ved å ta hensyn til reduksjon av aksellasten i vertikalkurver i høybrekk, eller konvekse kurver, som vist i fig. .15. Videre må det tas hensyn til klaringen mellom spor og rullende materiell, som blir dimensjonerende størrelse for spor som trafikkeres med lave hastigheter. Komfort er sjelden dimensjonerende faktor for å bestemme vertikalradius.

Tidligere ble vertikalkurvens radius regnet ut som kvadratet av hastigheten i km/h. Med dagens hastigheter gir det altfor store radier som er vanskelige å tilpasse horisontalgeometrien. Følgende to formler gir henholdsvis normalkravet og minstekravet til radius i vertikalkurver. Hastigheten V inngår i km/h:

$R_{V}={\frac {V^{2}}{2,6}}m{\text{ og }}R_{V}\geq 4000m$

(47)

$R_{V}={\frac {V^{2}}{3,9}}m{\text{ og }}R_{V}\geq 2500m$

(48)

Men der det er plass til å benytte større radius enn det som kreves etter .48, bør dette gjøres. Dersom vertikalkurver faller sammen med kurver i horisontalplanet, vil sporets geometri bli komplisert, og overhøyde- og vindskjevhetsfeil kan oppstå. Derfor bør stigningskurvene så langt det er mulig ligge i horisontale rettlinjer.

Vertikalkurven skal ikke falle sammen med overgangskurver eller sporveksler. Opptil nylig var dette tillatt så lenge radius var så stor som 10 000 m, så en rekke slike tilfeller finnes ute på sporet i dag. Et konkret eksempel på dette er hele den østre delen av Oslo Sentralstasjon, som inneholder et stort antall sporveksler og derfor har vertikalkurvatur med nettopp denne radien. I sin alminnelighet skal vertikalkurver aldri ha radius mindre enn 2000 m.

Stigningskurver i horisontal rettlinje skal videre avsluttes minst 15 m foran nærmeste OB og i horisontalkurve minst 15 m foran nærmeste OE.

På sidespor er kravene til minste radius hhv. 1500 m (normalt) og 500 m (minste), og det kan dispenseres for radier helt ned til 250 m under helt bestemte betingelser.

Lengde på kurven

Ser vi igjen på fig. .15 fra avsnitt 3.3, kan vi finne et uttrykk for lengdene t. Vi forutsetter i første omgang at sirkelkurven legges inn slik at disse kan betraktes som tangenter til kurven. Figur .16 illustrerer situasjonen for to vilkårlige kryssende tangenter til en sirkelkurve:

Figur 16 - Beregning av lengde, heving og senking i vertikalkurve.

De to tangentene har samme lengde og som uttrykkes ved:

$A,BP=B,BP=R\cdot \tan {\frac {\alpha }{2}}$

(49)

Siden stigning og fall utgjør svært små vinkler, kan en tilnærme størrelsene, som egentlig er forholdstall og dermed tangens til vinklene, med vinklene selv. Dermed kan vi skrive:

$A,BP=B,BP\approx R\cdot {\frac {\alpha }{2}}$

(50)

Ved å betrakte figur 16 i forhold til horisontalplanet, kan det gjennom en del vinkelbetraktninger vises at vinkelen α/2 er halve forskjellen mellom stigningene. Dermed ender vi opp med et uttrykk for t som funksjon av stigning og kurveradius:

$t={\frac {s_{2}-s_{1}}{2}}\cdot R$

(51)

der t er lengden til “tangentene” til de to halvpartene av kurven som utgjør henholdsvis de ulike stigningene s₁ og s₂, gitt som forholdstall. Her er det viktig å bruke riktig fortegn, slik at fall inngår som “negativ stigning”.

Som for stigninger gjelder det at stigningskurvens lengde ikke skal være kortere enn 20 m.

Heving og senking

I høybrekk foretar vi en senking av brytningspunktet BP ned til punktet P, mens i lavbrekk foretar vi en såkalt heving, jf. figur 15. Betrakter vi figur 16, ønsker vi å finne heving/senking som lengden BP,P. Utfra de påtegnede vinkler fås følgende sammenheng:

$BP,P=P_{1},P\cdot \tan {\frac {\alpha }{2}}=R\cdot \tan {\frac {\alpha }{2}}\cdot \tan {\frac {\alpha }{4}}$

(52)

Igjen kan vi tilnærme tangens til vinkelen med vinkelen selv, som dermed gir:

$m_{v}=BP,P\approx R\cdot {\frac {\alpha }{2}}\cdot {\frac {\alpha }{4}}=R\cdot {\frac {\alpha ^{2}}{8}}=R\cdot {\frac {(s_{2}-s_{1})^{2}}{8}}={\frac {t^{2}}{2R}}$

(53)

Uttrykket helt til høyre i 53 er det vanlige uttrykket for heving og senking, som funksjon av tangentlenden t og kurveradius.

Geometriske feil - vedlikehold

Til nå i dette kapitlet har vi først og fremst konsentrert oss om en rekke teoretiske aspekter ved sporgeometrien, dvs. geometrisk utforming etter ideelle ønsker. Sporet er imidlertid gjenstand for stadige justeringer, og i det følgende skal vi belyse en del geometriske feil som oppstår. Feil i sporet er forøvrig grundigere beskrevet i kapitlene L534 – Sporjustering og L535 – Tilstandskontroll.

For geometriens, eller kurvaturens del, er det særlig fire geometriske feil vi ønsker å minimalisere: Vindskjevheter, avvik i side og høyde og uriktig overhøyde. En skulle umiddelbart regne med at de ulike geometriske feilene hadde samme karakter og utbedring for nær identiske spor- og trafikkforhold, men grundige undersøkelser over tid har ikke kunnet bekrefte dette. Hverken trafikkmengde/-type eller sporkonstruksjon kan på statistisk grunnlag vise til noe entydig forringelse av geometrien eller vedlikeholdsbehov.

Derimot kan det vises at høyde- og sidefeil øker lineært både med aksellast og tiden mellom vedlikehold, utenom den initielle justeringen av sporet.

Vindskjevhet

Definisjon og årsak

Fenomenet forekommer i to former: tilsiktet og utilsiktet vindskjevhet. Den tilsiktede vindskjevheten finnes i overhøyderamper og kalles rampestigning. Utilsiktet vindskjevhet er som regel langt større, og den kan oppstå som en geometrisk feil i spor med telefarlige masser, ustabiliserte spor og etter eller under gravearbeider. Den vanligste definisjonen av vindskjevhet er forskjell i overhøyde, målt over en gitt basis. Dette innebærer at skinnestrengene ikke er parallelle i vertikalplanet, men har ulik stigning. En annen definisjon av vindskjevhet er hvis vi tenker oss en helt stiv vogn med fire hjul: Ved vindskjevt spor vil kun tre av hjulene berøre sporet. Avstanden fra det fjerde og ned på skinnestrengen blir dermed sporets vindskjevhet.

Figur 39 - Vindskjevhet som forskjell i overhøyde h₂-h₁ over en basis B.

Konsekvens

For å se på følgene av vindskjevt spor, er den stive vogna uten fjæring et godt utgangspunkt. Når denne går inn i en overgangskurve og opp en overhøyderampe fra en rettlinje, vil det fremre, ytre hjulet påvirkes av en økt kraft, mens det bakre, ytre hjulet vil avlastes - i det svært teoretiske tilfellet totalt. Ut av sirkelkurven igjen og ned en overhøyderampe skjer det motsatte - det fremre, ytre hjulet avlastes.

For eksisterende rullende materiell er situasjonen den samme, bare mer komplisert på grunn av materiellets dynamiske egenskaper og avhengig av hvor bratt den aktuelle rampa er. Som oftest finnes lokale, utilsiktede vindskjevheter innenfor rampa, som dermed må legges til den tilsiktede vindskjevheten. Hvis denne summen blir stor nok får det ytre hjulet avlasting nok til å klatre over skinnekanten og vi får avsporing. Det er altså i ramper med minkende overhøyde faren for avsporing er aller størst.

Side- og høydefeil

Definisjon og årsak

Side- og høydefeil er kort og godt avvik fra horisontal- og vertikalkurvatur og måles i stor grad ved de samme prinsipper. Ved justering av sidebeliggenheten, eller baksing, justeres alltid høydebeliggenheten samtidig.

Vi skiller mellom tre nivåer av feil: farlige, skadelige og uskadelige feil. Førstnevnte er en fare for sikkerheten og må rettes omgående når de oppdages. Skadelige feil rettes så snart som mulig, etter at alle farlige feil for et strekke er rettet. De uskadelige feilene må holdes under observasjon slik at vedlikeholdet er tilstrekkelig til at de ikke utvikler seg til skadelige feil.

Konsekvens

Slike feil forårsaker en slingrende toggang, som igjen vil forårsake ujevn slitasje på skinnene og befestigelsen. Dessuten kan feil i sidebeliggenheten forårsake solslyng på skinnene.

Overhøydefeil

Årsak

Hvis den tilsiktede overhøyden i en kurve ikke er oppnådd ved en justering, vil belastning av sporet lett kunne påføre kurven ytterligere avvik fra ideell overhøyde. Dermed går vi inn i en ond sirkel hvor feilen bare vokser.

Konsekvens

Dersom følgen av dårlig justering er for stor overhøyde, får vi et større overhøyde overskudd enn vi har regnet med for godstogene. Følgelig kan disse forskyve sporet så hardt innover i kurven at det ødelegger sporet. I motsatt fall blir den manglende overhøyden I så stor for det raskeste materiellet at vi får avsporing.

Brå feil i overhøyden kan også gi feil i baksen. Når disse blir store, oppstår ofte også en sporutvidelse samme sted.

Registrering av kurvatur - løfteskjema

I avsnitt 2.6 om horisontalkurvatur ble de mest anvendte kurvekombinasjonene vist i figurer. Figurene 8 og 12 viser henholdsvis den alminnelige overgangen mellom rettlinje og sirkelkurve, ved hjelp av overgangskurve, og bruk av tilstøtende overgangskurver for kontrakurver (FOB). Begge typer forekommer både med og uten mellomliggende rettlinje. Disse kurvekombinasjonene kan vi betegne som lovlige kombinasjoner. Direkte overgang fra rettlinje til sirkelkurve skal derimot ikke forekomme på hovedspor. Da har vi i så fall en ulovlig kombinasjon. Det som derimot forekommer en del er såkalte felles kurvepunkt (FKP). Disse utgjør gjerne en liten endring i krumning fra en sirkelkurve til en annen.

Alle punkt som innebærer endret situasjon på sporet, har blitt registrert i den såkalte Banedatabanken (BDB), sammen med en rekke andre data som berører tekniske anlegg utover traséen, som VUL-punkt, kontaktledning og signaler. På grunnlag av spordataene fra BDB, kan vi fremstille såkalte løfteskjema. Dette skjemaet inneholder de nødvendige data for justering av sporet med maskin. I tillegg til talldata fra BDB, inneholder det også en grafisk fremstilling av horisontalkurvaturen ved å illustrere krumningen som negativ og positiv i henholdsvis venstre- og høyrekurver i kilometerretningen. På grunn av fortløpende informasjon om punkter uten direkte sammenheng, rangert etter kilometer, er den grafiske fremstillingen til stor hjelp for å tolke sporets horisontale gang.

Vertikalkurvaturen er også fremstilt med tall i løfteskjemaet, men er ikke presentert grafisk. Dette ville ikke gitt merkbare utslag med den målestokken kilometreringen innebærer i hht. til horisontalkurvaturen.

Figur 40 viser et eksempel på en side fra et løfteskjema fra en delstrekning på Sørlandsbanen, etterfulgt av en forklaring på de ulike elementene som er listet.

Figur 40 - Eksempel på løfteskjema: delstrekningen fra banenr. 2000; Nordagutu – Nelaug på Sørlandsbanen

1. kolonne	traseringspunkt, evt. skilt, mast
2. kolonne	km, 3 desimaler (m-nivå)
3-4. kolonne	evt. VUL-koordinater
5-7. kolonne	horisontalkurvatur: radius (sirkelkurven), overhøyde og lengde på overgangskurve
8. kolonne	grafisk krumningsdiagram
9-11. kolonne	vertikalkurvatur: h.o.h., radius eller stigning og tangentlengde
12-13.kolonne	hastighetsskilter

Vedlegg

Andre typer overgangskurver

To ikke-lineære overgangskurver:

En 4.gradsparabel har krumningsforløp tilsvarende to 2.gradsparabler. Derfor gjelder ulike matematiske uttrykk for henholdsvis første og siste halvdel og kurvens utstrekning:

$x<{\frac {l}{2}}:y={\frac {x^{4}}{6Rl^{2}}}$
$x>{\frac {l}{2}}:y={\frac {x^{4}}{6Rl^{2}}}+{\frac {x^{2}}{2R}}-{\frac {lx}{2R}}+{\frac {7l^{2}}{48R}}$	(19)
$m={\frac {l^{2}}{48R}}$

der l = lengden langs tangenten, og m det såkalte innrykket, eller innflyttingen, som beskrives nærmere i avsnitt 2.5.4.

En annen kurve med s-formet krumning er sinuskurven, gitt som:

$y={\frac {xl}{4R}}-{\frac {l^{2}}{2\pi ^{2}R}}\left(1-\cos {\frac {\pi x}{l}}\right)$
	(20)
$m={\frac {l^{2}}{42,23R}}$

Utledning av rettvinklede koordinater på klotoiden

I ligning 23, viste vi en rekkeutvikling av klotoiden til et uttrykk der ordinaten y var en funksjon av buelengden l, etterhvert tilnærmet med x. En mer direkte utledning vil være å rekkeutvikle rettvinklede koordinater x og y hver for seg. Dermed kan vi få uttrykk for koordinatene som funksjoner av enten overgangskurvens lengde eller retning for et vilkårlig punkt.

Vi kan starte med å betrakte enhetsklotoiden: rl = 1

Følgende differensialer gjelder:

$dl=r\,d\tau$

Integrasjon gir:

$\tau ={\frac {l^{2}}{2}}$

der τ er den tangentielle retningen i et punkt

For rettvinklede koordinater til punkt på enhetsklotoiden har vi:

$dx=\cos \tau dl\quad dy=\sin \tau dl$

Med dette utgangspunktet får vi følgende kjerner:

$l={\sqrt {2}}{\sqrt {\tau }}\quad {\frac {dl}{d\tau }}={\frac {1}{{\sqrt {2}}{\sqrt {\tau }}}}\quad dl={\frac {d\tau }{{\sqrt {2}}{\sqrt {\tau }}}}$

Dermed får vi følgende differensialer:

$dx=\cos {\frac {l^{2}}{2}}dl={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\frac {\cos \tau }{\sqrt {\tau }}}d\tau \quad dy=\sin {\frac {l^{2}}{2}}dl={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\frac {\sin \tau }{\sqrt {\tau }}}d\tau$

- som gir disse integralene:

$x=\int _{0}^{l}\cos {\frac {l^{2}}{2}}dl={\frac {1}{\sqrt {2}}}\int _{0}^{\tau }{\frac {\cos \tau }{\sqrt {\tau }}}d\tau \quad y=\int _{0}^{l}\sin {\frac {l^{2}}{2}}dl={\frac {1}{\sqrt {2}}}\int _{0}^{\tau }{\frac {\sin \tau }{\sqrt {\tau }}}d\tau$

For en vilkårlig klotoide gitt med parameter A, får vi:

$>x=\int _{0}^{l}\cos {\frac {l^{2}}{2A^{2}}}dl={\frac {A}{\sqrt {2}}}\int _{0}^{\tau }{\frac {\cos \tau }{\sqrt {\tau }}}d\tau \quad y=\int _{0}^{l}\sin {\frac {l^{2}}{2A^{2}}}dl={\frac {A}{\sqrt {2}}}\int _{0}^{\tau }{\frac {\sin \tau }{\sqrt {\tau }}}d\tau$

Men disse integralene lar seg ikke løse direkte, og må derfor løses gjennom rekkeutvikling.

Cosinus- og sinusfunksjonen er gitt ved:

$\cos {\frac {l^{2}}{2A^{2}}}=1-{\frac {l^{4}}{2^{2}\cdot A^{4}\cdot 2!}}+{\frac {l^{8}}{2^{4}\cdot A^{8}\cdot 4!}}-{\frac {l^{12}}{2^{6}\cdot A^{12}\cdot 6!}}+\dots$

$\sin {\frac {l^{2}}{2A^{2}}}={\frac {l^{2}}{2A^{2}}}-{\frac {l^{6}}{2^{3}\cdot A^{6}\cdot 3!}}+{\frac {l^{10}}{2^{5}\cdot A^{10}\cdot 5!}}-{\frac {l^{14}}{2^{7}\cdot A^{14}\cdot 7!}}+\dots$

Dermed kan integralene over løses:

$x=l-{\frac {l^{5}}{5\cdot 2^{2}\cdot A^{4}\cdot 2!}}+{\frac {l^{9}}{9\cdot 2^{4}\cdot A^{8}\cdot 4!}}-{\frac {l^{13}}{13\cdot 2^{6}\cdot A^{12}\cdot 6!}}+\dots$

$y={\frac {l^{3}}{3\cdot 2A^{2}}}-{\frac {l^{7}}{7\cdot 2^{3}\cdot A^{6}\cdot 3!}}+{\frac {l^{11}}{11\cdot 2^{5}\cdot A^{10}\cdot 5!}}-{\frac {l^{15}}{15\cdot 2^{7}\cdot A^{14}\cdot 7!}}+\dots$

Ønskes stigningsvinkelen τ i stedet for buelengden l som parameter i ligningene, kan vi sette inn for $l={\sqrt {2\tau }}$:

$x=(2\tau )^{1/2}-{\frac {(2\tau )^{5/2}}{5\cdot 2^{2}\cdot A^{4}\cdot 2!}}+{\frac {(2\tau )^{9/2}}{9\cdot 2^{4}\cdot A^{8}\cdot 4!}}-{\frac {(2\tau )^{13/2}}{13\cdot 2^{6}\cdot A^{12}\cdot 6!}}+\dots$

$x={\sqrt {2\tau }}(1-{\frac {\tau ^{2}}{10A^{4}}}+{\frac {\tau ^{4}}{216A^{8}}}-{\frac {\tau ^{6}}{9360A^{12}}}+\dots )$

$y={\frac {(2\tau )^{3/2}}{3\cdot 2A^{2}}}-{\frac {(2\tau )^{7/2}}{7\cdot 2^{3}\cdot A^{6}\cdot 3!}}+{\frac {(2\tau )^{11/2}}{11\cdot 2^{5}\cdot A^{10}\cdot 5!}}-{\frac {(2\tau )^{15/2}}{15\cdot 2^{7}\cdot A^{14}\cdot 7!}}+\dots$

$y={\sqrt {2\tau }}({\frac {\tau }{3}}-{\frac {\tau ^{3}}{42A^{6}}}+{\frac {\tau ^{5}}{1320A^{10}}}-{\frac {\tau ^{7}}{75600A^{14}}}+\dots )$

Ønskes summenotasjon, kan formlene over skrives som:

$x=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}\cdot {\frac {l^{4n-3}}{(4n-3)\cdot (2n-2)!2^{2n-2}\cdot A^{4n-4}}}$

$x={\sqrt {2\tau }}\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}\cdot {\frac {\tau ^{2n-2}}{(4n-3)\cdot (2n-2)!\cdot A^{4n-4}}}$

$y=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}\cdot {\frac {l^{4n-1}}{(4n-1)\cdot (2n-1)!2^{2n-2}\cdot A^{4n-2}}}$

$y={\sqrt {2\tau }}\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}\cdot {\frac {\tau ^{2n-1}}{(4n-1)\cdot (2n-1)!\cdot A^{4n-2}}}$

LITTERATURHENVISNINGER

1. Esveld, Coenraad, Dr. Modern Railway Track, (1989)
2. Haacke, W. et al. Matematik für Bauingeniuere (1968)
3. Heje, Kolbjørn Vei og jernbanebygging, Håndbok for undervisning og praksis, H. Aschehaug & CO, 837s. (1941)
4. Holme, Jan Sporveksler, Fag 34045 Jernbaneteknikk VK, NTNU, notat nr. 856 (1993)
5. Holom, Finn Kurs i baneteknikk; Sporets geometri, NSB Bane, Region Øst (1992)
6. Skoglund, Kjell Arne & Våge, John Traseringsparametre og kjørekomfort, Fag 34045 Jernbaneteknikk VK, NTNU, notat nr. 1027 (jan. 1997)
7. Skoglund, Kjell Arne Sporgeometri og kjøredynamikk, Fag 34045 Jernbaneteknikk VK, NTNU, notat nr. 955 (mars 1996)
8. Jernbaneverket Overbygning-Prosjektering, Teknisk regelverk JD 530 (01.01.98)
9. Jernbaneverket Overbygning-Bygging, Teknisk regelverk JD 531 (01.01.98)
10. Jernbaneverket Overbygning-Vedlikehold, Teknisk regelverk JD 532 (01.01.98)
11. Mathisen, Olav Kurvestikking, ILM-Ås (1987)
12. NSB Lærebok for linjepersonalet, Trykk 383, Tjenesteskrifter NSB Hovedadministrasjonen, NSB Jernbaneskolen (1987)
13. NSB Overbygningsnormaler, Trykk 380
14. NSB Banetekniske forutsetninger for togfremføringen, Trykk 302.1 (01.09.85)
15. Banverket Spårgeometrihandboken, BVH 586.40 (01.12.96)
16. Banverket Växelprojekteringshandboken, BVH 586.45 (01.04.95)
17. DSB Sporregler, tillæg 2A-2F (1987)