Dimensjoneringsmetoder

__NUMBEREDHEADINGS__

OVERBYGNINGENS KOMPONENTER

Sporets overbygning består av flere komponenter med ulike oppgaver:

1. Skinner hvor skjøter inkluderes. Skinnene har 2 oppgaver:

• Fungere som kjørevei for det rullende materiell
• Fungere som bærebjelke for det rullende materiell

2. Befestigelsen som omfatter :

• Klemfjærer
• Mellomleggsplate
• Isolatorer

Befestigelsessystemet som enhet skal sikre et forsvarlig feste av skinnen til svillen og hindre forskyvning (skinnevandring) og velting av skinnen når det rullende materiell passerer.

Klemfjærene skal feste skinnen til svillen ved utøvelse av en nominell klemkraft. Det er av betydning at klemfjærene er konstruert slik at de har en lang oppspenningsveg. Dette er nødvendig for at klemkraften også blir tilstrekkelig stor nok ved f. eks. slitte isolatorer.

Mellomleggsplatene består av et elastisk materiale som har til oppgave å dempe spissbelastningene ved passering av det rullende materiell. Dette er spesielt nødvendig for betongsviller. Mellomleggsplatene skal også hindre skinnevandring

Isolatorene skal isolere signal- og kjørestrøm.

3. Sviller (betong- og tresviller), i svillene inngår :

• Innstøpte skuldre (ankere) i betongsviller
• Skrudde forbindelser i tresviller

Svillene må overføre krefter fra det rullende materiell til ballasten.

De innstøpte ankerne i betongsvillene og de skrudde forbindelsene i tresvillene utgjør forbindelsen mellom svillen og befestigelsen.

4. Ballast(pukk).

Ballasten skal overføre belastningene fra svillen til undergrunnen. Det må benyttes pukk og det stilles bestemte krav til dette materialet mht. fraksjonering og kornform. For å oppnå en jevn fordeling av belastningen og for å tilfredsstille kravet til ønsket sidemotstand i helsveist sporer det nødvendig at kornformen er mest mulig kubisk.

5. Sporveksler som er en spesiell overbygningskomponent med mange delkomponenter.

Sporveksler er en komponent som forbinder spor med hverandre slik at et rullende materiell uten avbrudd ved fremføring kan skifte fra et spor til et annet.

Hver av komponentene har iht. ovennevnte punkter spesielle oppgaver. Komponentene må være dimensjonert hver for seg og også i forhold til hverandre slik at sporet danner en pålitelig og sikker kjørevei for det rullende materiell. De må samlet kunne virke som en enhet.

I det etterfølgende skal de krefter som angriper sporet, belyses. Videre beskrives dimensjoneringen av de enkelte overbygningskomponentene hver for seg og samlet. Hensikten er å gi et bilde av de krav som må stilles til overbygningen for å oppnå tilstrekkelig sikkerhet og pålitelighet ved framføring av det rullende materiell.

KREFTER MOT SPORET

De krefter som virker mot sporet ved kjøring av det rullende materiell, er :

• De vertikale krefter på grunn av aksellaster.

• De laterale krefter(føringskrefter) som oppstår spesielt ved kjøring i kurver.

• Langsgående krefter som oppstår ved bremsing av det rullende materiell i

sporet.

• Langsgående krefter som forårsakes av temperaturendringer. Disse

kreftene kan i helsveist spor bli meget store.

I dette heftet behandles de vertikale og laterale krefter og hvordan disse påvirker overbygningen.

I figur 4.1nedenfor er vist hvordan de vertikale og laterale krefter normalt angriper skinnehodet på skinnen. Videre er antydet steder på skinneprofilet og på svillen som blir utsatt for store påkjenninger ved belastning.

Figur 4.1 Vertikale og laterale krefter som angriper skinnehodet. Steder på skinneprofilet samt sville som blir utsatt for store påkjenninger.

TYPER AV VERTIKALE OG HORISONTALE KREFTER

De vertikale krefter inndeles i :

• Statiske krefter på grunn av aksellaster. Disse kreftene kan betraktes som

konstant for en gitt stillestående vogn eller et stillestående lokomotiv.

• Kvasistatiske krefter som for en gitt vogn eller et lokomotiv normalt øker

med økede hastigheter, idet vesentligste på grunn av sentrifugalkraften. Dessuten er sporgeometrienav betydning.

• Dynamiske krefter som forårsakes av ujevnheter i sporet. Disse kreftene er

impuls- og vibrasjonskrefter som stiger raskt med økede hastigheter.

De horisontale krefter inndeles i :

• Kvasistatiske krefter som øker med økede hastigheter. Sporgeometrien

influerer også på størrelsen av de kvasistatiske krefter.

• Dynamiske krefter som også forårsakes av ujevnheter i sporet. Disse

kreftene stiger med økede hastigheter.

Av spesiell interesse er den såkalte styrekraft. Denne er en kvasistatisk friksjonskraft som normalt er konstant ved varierende hastigheter og er årsak til slitasje på skinnehodet.

De ulike kreftene er vist grafisk i figur 4.2.

Figur 4.2 De forskjellige krefter som funksjon av hastighet.

BEREGNING AV STATISKE KREFTER

Statisk hjulkraft

Med en gitt nominell aksellast P blir den vertikale statiske hjulkraftQ0under forutsetning av symmetri :

$Q_{0}={P \over 2}[kN]$

(4.1)

Kvasistatisk tilleggskraft

Normalt inntreffer forhold som bevirker tilleggskrefter ved framføring av det rullende materiell i sporet :

• Tilleggskrefter forårsaket av forandring av hjultrykket på grunn av

overhøyde. Disse kreftene oppstår på grunn av sentrifugalkraften og skyldes bare sporet. Ved kjøring med hastighet som er større enn den såkalte likevektshastighet, virker tilleggskreftene på ytterstreng. Ved framføring med hastighet lavere enn likevektshastigheten er det innerstreng som blir utsatt for tilleggsbelastningen.

• Tilleggskrefter forårsaket av eksentrisk belastning. Det rullende materieller

i hovedsak konstruert slik at hjulsatsen fordeler belastningen fra egenvekten likt på begge hjulene. Den eksentriske belastning skyldes derfor i det vesentligste usymmetrisk lagret godslast.

• Tilleggskrefter forårsaket av forandring av hjultrykk i vindskjevt spor. Disse

kreftene skyldes sporets geometri og vognens konstruktive utførelse. Dette betyr at vognens samlede torsjonsstivhet får betydning.

Disse tilleggskreftene benevnes samlet det kvasistatiske tillegget og uttrykkes gjerne i forhold til den statiske hjulkraft Q₀. Det kvasistatiske tillegget ÄQ antas å være i området 0,10 x Q₀< ?Q < 0,30 x Q₀ og bør vurderes for hver banestrekning. I spor med kurverike strekninger med små radier og stor overhøydeantar ?Q større verdier enn på øvrige spor. Det kvasistatiske tillegget er også en funksjon av hastigheten uttrykt gjennom sentrifugalkraften og øker med økede hastigheter.

Den kvasistatiske hjulkraft kan derved uttrykkes ved :

$Q_{KV.STAT.}=(Q_{0}+\Delta Q)[kN]$

(4.2)

I tillegg opptrer vindkrefter som på fjellstrekningene kan bli meget store. I det etterfølgende vises den statiske hjulkraft og de forskjellige kvasistatiske tilleggene.

Kraftbilde ved kjøring av det rullende materiell mot sporet

Statisk hjulkraft Q₀

Under forutsetning av fremføring av det rullende materiell med likevektshastighet blir kraftbildet som vist under. Det utledes at denne tilstanden opptrer når :

$m\cdot g\cdot \sin \alpha =m\cdot \cos \alpha \cdot {V^{2} \over R}\approx m\cdot {V^{2} \over R}$

(4.3)

hvor sin α= D/s

Da vinkelen α er meget liten, kan cos α settes lik 1,0.

Det legges merke til at komponentene m·g·sinα og m·V²/R er parallelle med sporplanet.

Figur 4.3 Kraftbilde ved beregning av statisk hjulkraft Q_o ved fremføring med likevektshastighet.

Sentrifugalkraftens innflytelse

Ved fremføring med hastighet større enn likevektshastigheten dvs. når

$\Delta Q_{(i)}=m\cdot a_{Q}\cdot {H \over s}$

(4.5)

hvor

$a_{Q}=\left({v^{2} \over R}\right)-g\cdot {D \over s}$

(4.6)

a_Q er ukompensert sideakselerasjon i sporplanet. Samtidig blir det en tilsvarende avlastning på innerstreng.

Figur 4.4 Kraftbilde ved beregning av den kvasistatiske tilleggskraft DQ på grunn av sentrifugalkraftens innflytelse. Kurve med konstant overhøyde.

Kjøring i lav hastighet

Ved fremføring med hastighet < likevektshastigheten dvs. når

$m\cdot g\cdot \sin \alpha >m\cdot {v^{2} \over R}$

(4.7)

blir innerstreng belastet med en kvasistatisk tilleggskraft som beregnes til:

$\Delta Q_{(i)}=m\cdot a_{Q}\cdot {H \over s}$

(4.8)

hvor

$a_{Q}=g\cdot {\Delta H \over s}-{v^{2} \over R}$

(4.9)

a_Q er ukompensert sideakselerasjon i sporplanet. Samtidig blir det en tilsvarende avlastning på ytterstreng.

Figur 4.5 Kraftbilde ved beregning av den kvasistatiske tilleggskraft ΔQ på grunn av lav hastighet. Kurve med konstant overhøyde.

Eksentrisk belastning

En skinnestreng kan bli belastet med en kvasistatisk tilleggskraft forårsaket av eksentrisk lagret godslast. Denne tilleggskraften beregnes til :

$\Delta Q_{(ii)}=G_{L}\cdot {e_{L} \over (2\cdot s)}$

(4.10)

hvor G_L er eksentrisk plassert godslast og e_L avstand fra vognmidt til lastens angrepspunkt.

Tilleggsbelastning på en skinne vil føre til tilsvarende avlastning på den andre skinnen.

Ved symmetrisk lagret godslast blir belastningen på begge hjulene like store og beregnes til G_L/2.

Figur 4.6 Kraftbilde ved beregning av den kvasistatiske tilleggskraft ΔQ ved eksentrisk plassert godslast.

Vindskjevt spor

I vindskjevt sporoppstår tilleggskrefter på grunn av selve vindskjevheten og vognens torsjonsstivhet. Denne tilleggskraften kan uttrykkes ved:

$\Delta Q_{(iii)}=stign\cdot C_{tA}$

(4.11)

hvor C_tA er vognens totale torsjonsstivhet uttrykt i kN/‰ . Denne faktoren kan i stor grad influeres av vognbyggeren. I formelen over betyr stign. vindskjevheten i ‰.

Det fremgår av nedenstående figur at ΔQ_(iii) forårsaker en avlastning av hjulkraften på ytre skinnestreng i det vindskjeve sporet av det hjulet som befinner seg på det laveste punktet på denne skinnestrengen. Det samme forholdet gjør seg gjeldende for hjul nr. 2.2. For øvrige hjul fører denne tilleggskraften til en økning av hjulkraften. Forholdet gjelder ved lav hastighet.

Figur 4.7 Kraftbilde ved beregning av den kvasistatiske tilleggskraft ΔQ i et vindskjevt spor. Vognens torsjonsstivhet har også betydning. Fortegnene for ΔQ angir avlastning( - ) og pålasting( + ) ved lav hastighet.

Vindkrefter

Vindkraftener en horisontal virkende kvasistatisk kraft som betyr pålasting for den ene skinnestrengen og tilsvarende avlastning for den andre skinnestrengen. Med betegnelsen H_W for vindkraft kan det for den kvasistatiske tilleggskraft mot den ene skinnestrengen utledes at:

$\Delta Q_{(V)}=H_{W}\cdot \cos \alpha \cdot {q \over s}\approx H_{W}\cdot {q \over s}$

(4.12)

da cosα kan settes lik 1,0. q er avstanden fra vognkassens tyngdepunkt til spormidt i sporplanet og s er sporvidden.

Samtidig vil den andre skinnestrengen få en tilsvarende avlastning.

Figur 4.8 Kraftbilde ved beregning av den kvasistatiske tilleggskraft Q_v på grunn av vindbelastning.

Samlet kraftbilde

I figur 4.9 gis en oversikt over en mulig lastkombinasjon av de vertikale kvasistatiske krefter samt vindkraft sammen med den statiske hjulkraftQ0i et vindskjevt spor ved lav fremføringshastighet. Fremføringshastigheten i eksemplet forutsettes å være mindre enn likevektshastigheten. Eksentrisk lagret gods bevirker for de nedenstående ligningene pålasting på indre skinnestreng:

• Hjulkraft på ytre skinnestreng av det hjulet som befinner seg lavest : Q_KV.STAT.,1.1 = Q₀ - ΔQ_{( i )} - ΔQ_{( ii )} - ΔQ_{( iii )} - ΔQ_{(V )}

• Hjulkraft på ytre skinnestreng av det hjul som befinner seg høyest : Q_{KV.STAT. ,2.1} = Q₀ - ΔQ _{( i )} - ΔQ_{( ii )} + ΔQ_{( iii )} - ΔQ_{( V )}

• Hjulkraft på indre skinnestreng av det hjulet som befinner seg forrest : Q_{KV.STAT. , 1.2} = Q₀+ ΔQ_{( i )} + ΔQ_{( ii )} + ΔQ_{( iii )} + ΔQ_{( V )}

• Hjulkraft på indre skinnestreng av det hjulet som befinner seg bakerst: Q_{KV.STAT. , 2.2} = Q₀+ ΔQ_{( i )} + ΔQ_{( ii )} + ΔQ_{( iii )} + ΔQ_{( V )}

Figur 4.9 Samlet kraftbilde av den statiske hjulkraft samt alle kvasistatiske tilleggskrefter av alle hjul og vindkraft for en to-akslet vogn i et vindskjevt spor ved lav hastighet. Lastkombinasjonen er kun en av mange mulige kombinasjoner.

ZIMMERMANNS METODE (KVASISTATISK TILSTAND)

Innledning

Mht. dimensjonering av overbygningen legges til grunn teorien for en bjelke som er kontinuerlig opplagret på et jevnt elastisk underlag og hvor bøyelinjen for denne bjelken beregnes under belastning. Bjelkens bøyelinje beskrives gjennom følgende differensialligning av 4. grad :

$E\cdot I_{X-X}\cdot \left({d^{4}w \over dx^{4}}\right)+p(x)=q(x)$

(4.13)

• E·I_{X - X} er stivheten til skinnen om den sterke akse

• w(x) er vertikal nedbøyning av skinnen ved stedet x

• q(x) er hjullasten betraktet som en jevnt fordelt last

• p(x) er det kontinuerlige kontakttrykket mellom sviller og ballastsengen

Det vises til figur 4.10.

Figur 4.10 Bjelkens bøyelinje

For selve ballastlaget kan ifølge Winkler - hypotesen følgende relasjon dannes:

$p'(x)=C\cdot w(x)$

(4.14)

hvor C er en proporsjonalitetskonstant og p’ er trykket pr. enhetsflate pr. halve sville.

Differensiallikningen beskriver forholdet pr. enhetslengde for den langsgående akse til skinnen. I en overbygning med sviller på tvers av sporets lengdeakse postulerte derfor Winkler følgende relasjon:

$p(x)=b\cdot p'(x,y)=b\cdot C\cdot w(x)$

(4.15)

b er bredden av en tenkt langsvilleoverbygning.

Den endelige differensiallikningen kan derfor uttrykkes slik:

$E\cdot I_{X-X}\cdot \left({d^{4}w \over dx^{4}}\right)b\cdot C\cdot w(x)=q(x)$

(4.16)

Anvendelse av denne teorien medfører at overbygningens tverrsvillesystem må omvandles til en langsvilleoverbygning. Dette skal belyses nærmere i etterfølgende kapitler.

Det er allerede i innledningen pekt på at skinnen skal fungere som bærebjelke og som kjøreveg.

Mht. skinnen som bærebjelke skal i det etterfølgende beskrives en metode med utgangspunkt i grunnligningen for bøyelinjen til en bjelke som er opplagret kontinuerlig på et jevnt elastisk underlag, for dimensjonering av overbygningen. Metoden kalles "Zimmermanns metode" og den ble undersøkt ved det tekniske universitetet i München i Tyskland ved "Institut für Eisenbahnbau und Strassenbau" på oppdrag fra de tyske forbundsbaner. I avhengighet av forskjellige parametre muliggjør metoden beregning av spenninger i skinnen og deformasjoner (nedsenking) av skinnen ved passering av det rullende materiell. Dimensjoneringsmetoden er et meget nyttig verktøy for bestemmelse av tillatte aksellaster som funksjon av sporets tilstand. I forbindelse med den teoretiske verifisering av "Zimmermanns metode" ble det gjennomført omfangsrike forsøk. Disse forsøkene bekrefter den anvendte teori ut fra tilgjengelige overbygningskonstruksjoner og rullende materiell på 1950 - tallet da modellen var gjenstand for stor oppmerksomhet ved tyske tekniske universitet.

Siden den gang har det vært en stor utvikling av overbygningskonstruksjoner og av det rullende materiell. Men modellen er fremdeles vel egnet til dimensjonering av overbygningen for hastigheter opp til 200 km/h og skulle derfor kunne finne anvendelse ved JBV.

Grunnleggende teori

Beregningsmetoden for fastsettelse av de totale krefter settes sammen av:

• Zimmermanns metode

• Eisenmanns metode

Zimmermannutviklet en metode for beregning av de ytre kvasistatiske belastninger forårsaket av det rullende materiell når det står stille i sporet eller framføres med lav hastighet. Omlagring av hjullastene på grunn av sentrifugalkraftensom dog er hastighetsavhengig, inngår i begrepet kvasistatisk belastning. Sporet betraktes som en kontinuerlig bjelke som hviler på et elastisk underlag.

Eisenmann bygget på metoden til Zimmermann og utviklet en modell for beregning av de dynamiske belastninger som oppstår ved framføring av det rullende materiell.

De kvasistatiske og dynamiske belastningene adderes og summen gir den totale belastning. Denne belastningen gir grunnlaget for beregning av bøyemomenter og spenninger i skinnene samt den såkalte støttepunktkraften S som betongsvillen må dimensjoneres for. Støttepunktkraftens angrepspunkt er i skinneleiene.

Utgangspunktet er som nevnt at sporet betraktes som en kontinuerlig bjelke som hviler på et elastisk underlag med gitt stivhet. Avhengig av elastisitetsforholdene i sporet vil hjulkreftene fordele seg over flere sviller. Betongsvillene plasseres på tvers i sporets lengderetning og svillene med skinner danner således et tverrsvillespor. I utviklingen av beregningsmetoden forutsetter Zimmermannat dette tverrsvillesporet gjøres om til et langsvillespor.

Metoden er dermed en tilnærmet modell av virkeligheten da skinnene har opplager i diskrete opplegg gjennom svillene. Men på grunn av krav til større aksellaster og høyere hastigheter stilles det strengere krav til overbygningen. Dette medfører bl.a. at svillene må legges med mindre svilleavstand. Med senteravstand lik 600 mm kan overbygningskonstruksjonen med god nøyaktighet betraktes som en langsvilleoverbygning.

Forutsetningene i den matematiske modell er:

• Sporet betraktes som en uendelig lang bjelke som er opplagret på et homogent og jevnt elastisk underlag

• Den uendelig lange bjelke er vektløs

• Den uendelige lange bjelke er fast forbundet med det elastiske underlaget

Det kreves 2 betingelser som settes lik hverandre (likevektsbetingelse):

• Deformasjon av det elastiske underlaget ved belastning med enkeltlast

• Nedbøyning av den uendelige lange bjelke som hviler på det elastiske underlaget

Det vises til figur 4.11.

Figur 4.11 Likevektsbetingelse i Zimmermanns metode tilsier at deformasjonen av det elastiske underlaget ved belastning med enkeltlast er i likevekt med nedbøyningen av den uendelige lange bjelke som hviler på det elastiske underlaget

Deformasjon av det elastiske underlaget ved enkeltlast Q

Utgangspunktet er Winklers hypotese om at trykket i det elastiske underlaget fra belastningen er proporsjonal med deformasjonen:

$\sigma (x)=C\cdot y(x)$

(4.17)

C er proporsjonalitetskonstanten som uttrykker fjærstivheten i det elastiske underlaget.

y(x) er deformasjonen i det elastiske underlaget ved stedet x.

s(x) er trykket i det elastiske underlaget ved stedet x.

Det vises til figur 4.12.

Figur 4.12 Winklers hypotese om at trykket i det elastiske underlaget er proporsjonalt med deformasjonen

Det defineres en bredde b til den uendelige lange bjelke. Det forutsettes videre symmetrisk fordeling av belastningen på det elastiske underlaget for bøyelinje og momentforløp på grunn av enkeltlasten Q. Det vises til figur 4.13.

_{Figur 4.13 Symmetrisk deformasjonslinje til det elastiske underlaget om enkeltlast Q}

Det er dermed tilstrekkelig å betrakte den ene halvdelen av den uendelige lange bjelke mht. bøyelinje og momentlinje om enkeltlasten Q.

Dette medfører:

${Q \over 2}=\int _{0}^{\infty }\sigma (x)\cdot bdx=\int _{0}^{\infty }C\cdot y(x)\cdot bdx$

(4.18)

Det er ønskelig å betrakte stedet x for å kunne utlede en generell beskrivelse:

${Q \over 2}=\int _{0}^{X}C\cdot y(x)\cdot bdx+\int _{X}^{\infty }C\cdot y(x)\cdot bdx$

(4.19)

Skjærkraften ved stedet x kan dermed utledes:

$Q(x)=\int _{X}^{\infty }C\cdot y(x)\cdot bdx={Q \over 2}-\int _{0}^{X}C\cdot y(x)\cdot dx$

(4.20)

$Q(x)={Q \over 2}-C\cdot b\int _{0}^{X}y(x)dx$

(4.21)

Forandring av skjærkraften over en lengdeenhet dx kan beregnes ved derivasjon:

${dQ \over dx}=C\cdot b\cdot y(x)$

(4.22)

Deformasjon av den uendelige lange bjelke

Den uendelige lange bjelke som er opplagret på det elastiske underlagt, blir utsatt for bøyning. Under forutsetning av at nøytralaksen faller sammen med arealaksen i krummningsforløpet, gjelder iht. anerkjente teorier i fasthetslæren:

$y''=-{1 \over R}=-{M \over EI}$

(4.23)

Dette gir:

${d^{2}y \over dx^{2}}=-{M \over EI}$

(4.24)

y er deformasjonen av bjelken langs lengdeaksen x.

EIer stivheten til bjelken uttrykt som produktet av elastisitetsmodulen E (N/mm²) og treghetsmomentet I(mm⁴). Det vises til figur 4.14.

Figur 4.14 Krummningsforløpet til en bjelke med stivhet lik EI

Ovenstående likning kan omskrives og løses mht. momentet:

$M=-E\cdot I\cdot {d^{2}y \over dx^{2}}$

(4.25)

Skjærkraften framkommer ved derivasjon:

$Q={dM \over dx}=-E\cdot I\cdot {d^{2}y \over dx^{2}}$

(4.26)

Ved å derivere skjærkraften framkommer deformasjonen av bjelken:

${dQ \over dx}=-E\cdot I\cdot {d^{4}y \over dx^{4}}$

(4.27)

Etablering av likevektsbetingelse

I dette avsnittet blir bøyelinjen og momentlinjen for den uendelig lange bjelke på det elastiske underlaget utledet.

De 2 uttrykkene for variasjon av skjærkraften over en lengdeenhet dx settes lik hverandre på grunn av betingelse for likevekt:

${dQ \over dx}=C\cdot b\cdot y(x)=-E\cdot I\cdot {d^{4}y \over dx^{4}}$

(4.28)

Uttrykket til venstre for likhetstegnet er deformasjonen av det elastiske underlaget. Uttrykket til høyre beskriver nedbøyningen av den uendelige lange bjelke på det elastiske underlaget.

Det ble gjort den antakelse om at den uendelige lange bjelke hele tiden er fast forbundet med det elastiske underlaget.

Likevektsbetingelsen gir følgende differensiallikning av 4. grad:

$C\cdot b\cdot y(x)=-E\cdot I\cdot {d^{4}y \over dx^{4}}$

(4.29)

$C\cdot b\cdot y(x)\cdot {1 \over E\cdot I}+{d^{4}y \over dx^{4}}=0$

(4.31)

Denne likningen er utgangspunktet for Zimmermanns metode. Den uttrykker hvordan den uendelige lange bjelke deformerer seg når den hviler på et elastisk underlag med jevn og homogen elastisitet. Det ideelle spor arbeider etter denne differensiallikningen.

Differensiallikningen har følgende randbetingelser:

$y(\infty )=0$

(4.32)

$y(0)=0$

(4.33)

$y'''(0)={Q \over 2\cdot E\cdot I}$

(4.34)

Med omskrivning gjelder:

$-C\cdot b\cdot y=EI\cdot {d^{4}y \over dx^{4}}$

(4.35)

$-y={EI \over Cb}\cdot {d^{4}y \over dx^{4}}$

(4.36)

$-4y={4EI \over Cb}\cdot {d^{4}y \over dx^{4}}$

(4.37)

For den videre utledning er det hensiktsmessig å innføre nye begreper:

$L={\sqrt[{4}]{4EI \over Cb}}$

(4.38)

dvs.

$L^{4}={4EI \over Cb}$

(4.39)

og

${x \over L}=\xi \ \ \ og\ \ \ {dx \over L}=d\xi \ \ \ \Rightarrow \ \ \ {d^{4}x \over L^{4}}=d\xi ^{4}$

(4.40)

Dette medfører:

$-4y=L^{4}\cdot {d^{4}y \over dx^{4}}=L^{4}\cdot {d^{4}y \over L^{4}\cdot d\xi ^{4}}$

(4.41)

Dette gir:

$-4y={d^{4}y \over d\xi ^{4}}$

(4.42)

Det skal vises at denne differensiallikningen har løsningen:

$y=K\cdot {\sin \xi +\cos \xi \over e^{\xi }}$

(4.43)

hvor

$\eta ={\sin \xi +\cos \xi \over e^{\xi }}$

(4.44)

dvs.

$y=K\cdot \eta$

(4.45)

Koeffisienten K må bestemmes.

Ovennevnte uttrykk kan beskrives generelt:

$f(x) \over g(x)$

(4.46)

Den deriverte av en funksjonsbrøk er gitt ved uttrykket:

${d \over dx}\left({f(x) \over g(x)}\right)={f'(x)\cdot g(x)-g'(x)\cdot f(x) \over g(x)^{2}}$

(4.47)

Det er også kjent fra matematikken at den deriverte av en sum av 2 funksjoner er gitt ved:

${d \over dx}(f(x)\pm g(x))={d \over dx}f(x)\pm {d \over dx}g(x]$

(4.48)

hvor funksjonen er definert ved:

$f(x)\pm g(x)$

(4.49)

Den 1. deriverte blir:

$y'=K\cdot \left({(cos\xi -sin\xi )\cdot e^{\xi }-(sin\xi +cos\xi )\cdot e^{\xi } \over e^{2\xi }}\right)$

(4.50)

$y'=-2K\cdot {sin\ \xi \over e^{\xi }}$

(4.51)

Av denne funksjonen utledes den 2. deriverte:

$y''=-2K\cdot {cos\xi \cdot e^{\xi }-sin\xi \cdot e^{\xi } \over e^{2\xi }}$

(4.52)

$y''=2K\cdot {cos\xi -sin\xi \over e^{\xi }}$

(4.53)

Den 3. deriverte kan også utledes:

$y'''=2K\cdot {(cos\xi +sin\xi )\cdot e^{\xi }-(sin\xi -cos\xi )\cdot e^{\xi } \over e^{2\xi }}$

(4.54)

$y'''=4K\cdot {cos\xi \over e^{\xi }}$

(4.55)

Endelig blir den 4. deriverte:

$y''\ ''=4K\cdot {-sin\xi \cdot e^{\xi }-cos\xi \cdot e^{\xi } \over e^{2\xi }}$

(4.56)

$y''\ ''=-4K\cdot {sin\xi +cos\xi \over e^{\xi }}$

(4.57)

Vi ser at antakelsen er bevist:

${d^{4}y \over dx^{4}}=y''\ ''=-4\cdot y$

(4.58)

Det er allerede innført hjelpefunksjonen:

$dx=L\cdot d\xi$

(4.59)

På grunn av symmetri om enkeltlasten Q₀ gjelder som allerede nevnt følgende likevektsbetingelse:

${Q_{0} \over 2}=b\cdot C\cdot \int _{0}^{\infty }ydx$

(4.60)

${Q_{0} \over 2}=b\cdot C\cdot L\cdot \int _{0}^{\infty }yd\xi$

(4.61)

Det er allerede definert:

$y=K\cdot \eta$

(4.62)

hvor

Dette gir:

${Q_{0} \over 2\cdot b\cdot C\cdot L}=\int _{0}^{\infty }K\cdot \eta d\xi =K\cdot \int _{0}^{\infty }\eta d\xi$

(4.63)

Integralet skal løses ved delvis integrasjon:

$K\cdot \int _{0}^{\infty }\eta d\xi =K\int _{0}^{\infty }e^{-X}\cdot (sin(x)+cos(x))dx$

(4.64)

I matematikken er gitt regler for derivasjon av et produkt:

${d \over dx}(f(x)\cdot g(x))=g(x)\cdot {d \over dx}f(x)+f(x)\cdot {d \over dx}g(x)$

(4.65)

Hvert ledd integreres:

$\int {d \over dx}(f(x)\cdot g(x))=\int g(x)\cdot {d \over dx}f(x)+\int f(x)\cdot {d \over dx}g(x)$

(4.66)

Regelen for delvis integrasjon benyttes:

$\int g(x)\cdot {d \over dx}f(x)=f(x)\cdot g(x)-\int f(x)\cdot {d \over dx}g(x)$

(4.67)

Ved hjelp av denne regelen kan integralet løses:

$I=\int _{0}^{\infty }e^{-X}\cdot (cos(x)+sin(x))dx$

(4.68)

$I=\left[-e^{-X}\cdot (cos(x)+sin(x))\right]_{0}^{\infty }-\int _{0}^{\infty }-e^{-X}\cdot (-sin(x)+cos(x))dx$

(4.69)

$I=1+\int _{0}^{\infty }e^{-X}\cdot (cos(x)-sin(x))=1+J$

(4.70)

$J=\left[-e^{-X}\cdot (cos(x)-sin(x))\right]_{0}^{\infty }-\int _{0}^{\infty }-e^{-X}\cdot (-sin(x)-cos(x))dx$

(4.71)

$J=1-I$

(4.72)

$I=1+1-I$

(4.73)

$I=1$

(4.74)

Det er utledet:

$\int _{0}^{\infty }{sin(x)+cos(x) \over e^{X}}dx=1$

(4.75)

Altså gjelder også:

$\int _{0}^{\infty }\eta d\xi =1$

(4.76)

Følgende matematiske relasjon må gjelde:

${Q_{0} \over 2\cdot b\cdot C\cdot L}=K\cdot \int _{0}^{\infty }\eta d\xi =K\cdot 1=K$

(4.77)

$y=K\cdot \eta$

(4.78)

Likningen for bøyelinjen blir:

$y={Q_{0} \over 2bCL}\cdot \eta$

(4.79)

hvor

$\eta ={sin\xi +cos\xi \over e^{\xi }}$

(4.80)

Med relasjonen

$\xi ={x \over L}$

(4.81)

blir likningen for bøyelinjen:

$y={Q_{0} \over 2bCL}\cdot e^{-{\left\vert X\right\vert \over L}}\cdot (cos\left({\left\vert X\right\vert \over L}\right)+sin\left({\left\vert X\right\vert \over L}\right))$

(4.82)

Bøyemomentets linje skal defineres:

$M=f(x)=EI\cdot \left(-{d^{2}y \over dx^{2}}\right)$

(4.83)

${d^{2}y \over dx^{2}}=2K\cdot {sin\xi -cos\xi \over e^{\xi }}=2K\cdot (-\mu )$

(4.84)

${d^{2}y \over dx^{2}}={d^{2}y \over d\xi ^{2}}\cdot {1 \over L^{2}}={2K \over L^{2}}\cdot (-\mu )$

(4.85)

Det er allerede blitt definert:

$K={Q_{0} \over 2bCL}$

(4.86)

$L^{4}={4EI \over bC}$

(4.87)

Dette gir:

$M={Q_{0}\cdot L \over 4}\cdot \mu$

(4.88)

$\mu ={sin\xi -cos\xi \over e^{\xi }}$

(4.89)

Dermed er utledet likningen for bøyelinjen:

$y(x)={Q \over 2\cdot b\cdot C\cdot L}\cdot e^{-{\left\vert X\right\vert \over L}}\cdot (cos\left({\left\vert X\right\vert \over L}\right)+sin\left({\left\vert X\right\vert \over L}\right))$

(4.90)

og tilsvarende likningen for bøyemomentet:

$M(x)={Q\cdot L \over 4}\cdot e^{-{\left\vert X\right\vert \over L}}\cdot (sin\left({\left\vert X\right\vert \over L}\right)-cos\left({\left\vert X\right\vert \over L}\right))$

(4.91)

Dimensjonerende forutsetninger

Med utgangspunkt i den nominelle aksellast P er det mulig med "Zimmermanns metode" å beregne :

• Bøyemoment i skinnen (skinnen fungerer som bærebjelke)
• Bøyespenningen i u.k. av skinne midt på skinnefoten
• Deformasjon (nedsenking) av skinnen
• Støttepunktkraftensom er den kraft som betongsvillendimensjoneres for

Ved behov kan naturligvis bøyespenninger på andre steder på skinneprofilet beregnes dersom tilsvarende treghetsmoment, evt. motstandsmoment er kjent.

Det gjøres følgende forutsetninger:

• Utgangspunktet er den kvasistatiske hjulkraft Q_{KV. STAT.} Dette betyr at dimensjoneringen foregår i kvasistatisk tilstand. Med kvasistatisk tilstand menes at det rullende materiellet er stillestående
• Det forutsettes at Q_{KV. STAT.} angriper sentrisk i skinnehodet
• Det tas ikke hensyn til langsgående krefter
• Normalt tas det ikke hensyn til laterale (horisontale) krefter
• Det forutsettes en ballasttykkelse på 300 mm under u.k. sville
• Det forutsettes belastningstrykk mot svillen som for nyjustert spor

Dimensjonerende parametre

Viktige parametre for dimensjoneringen av overbygningen er:

• Skinnens dvs. stålets elastisitetsmodul

• Skinneprofilets treghetsmoment

• Svillens (dvs. betongsville) flate

• Avstand mellom svillene

• Undergrunnens beskaffenhet (fjell, morene, leire etc.)

Beskrivelse av modellen

Iht. grunnligningen for bøyelinjen til en kontinuerlig opplagret bjelke på jevnt elastisk underlag tenkes skinnen opplagret på et fjærsystem som vist i figur 4.15. Denne modellen er utgangspunktet for dimensjoneringsmetoden til Zimmermann. Metoden muliggjør beregning av middelverdier av spenninger og nedsenking av skinnen i kvasistatisk tilstand. De beregnede middelverdier stemmer godt overens med måleverdi er som er fremkommet ved omfangsrike forsøk i sporet. Det forutsettes kjennskap til skinnens stivhet uttrykt ved elastisitetsmodulen E og treghetsmomentet I_XX og til fjærbetingelsene for skinnens opplagring. Videre representerer modellen en ideell tilstand med konstant kontinuerlig og elastisk opplagring av skinnen. Men med grunnlag i denne modellen kan det ikke gjøres noen utsagn over spredningen av måleverdiene.

Figur 4.15 Teoretisk modell for dimensjonering av overbygningen. Modellen muliggjør beregning av middelverdier av spenninger i skinnen og nedsenking av skinnen i kvasistatisk tilstand.

I figur 4.16er vist en modell som tar hensyn til den virkelige tilstanden i sporet. Det fremgår at skinnen er opplagret uregelmessig og at sporets elastisitet derved er variabel. Dette har sammenheng med at fjærbetingelsene for opplagringen av skinnen forandrer seg og at denne opplagringen på det faste underlaget dvs. undergrunnen varierer. Som funksjon av hastigheten og uregelmessigheter på skinnehodet samt på hjulene til det rullende materieller det mulig å beregne spredningene dvs. de maksimale og minimale verdier av skinnespenninger og nedsenking av skinnen i dynamisk tilstand. Utgangspunktet er Zimmermanns metode.

Det forutsettes dermed en kontinuerlig elastisk opplagring av skinnen hvor elastisiteten er variabel. Varierende elastisitet skyldes at det i ballasten er hulrom som opptrer i forskjellige størrelser i det vesentligste under svillen. Dette har sin årsak i pukkens geometriske form. Skinnens stivhet er konstant.

Figur 4.16 Modell som viser den virkelige tilstand i sporet. Modellen tar utgangspunkt i variabel elastisitet i sporet og uregelmessigheter i o.k. skinne og i hjul. Skinnens stivhet forutsettes konstant. Ved anvendelse av Zimmermanns metode muliggjør modellen beregning av minste og største verdier av spenninger i skinnen og nedsenking av skinnen.

Ballastsifferet

Vesentlig for den anvendte teori er introduksjonen av ballastsifferet C (N/mm³) som beskriver undergrunnens beskaffenhet og hvordan ballastlaget gir etter for undergrunnens egenskaper ved belastning fra det rullende materiell. Ballastsifferet kan derfor variere mht. til hvilket materiale undergrunnen består av og også mht. årstiden.

I figur 4.17 er anskueliggjort måleresultatene av nedsenkingen under et tysk lokomotiv (E 144) ved forskjellige undergrunnsarter som:

• myr
• leire
• grus
• fjell

Det er i forsøksserien forutsatt en ballasttykkelse på 30 cm under u.k. av svillen.

Figur 4.17 Bildet viser målinger avnedsenkingen av skinnen under det tyske lokomotivet E 144 ved forskjellige typer undergrunn. Tykkelsen av ballasten under u.k. av sville er i alle tilfellene 300 mm.

Det er meget interessant å legge merke til at nedsenkingen av skinnen i ballastlaget under lokomotivet er tilnærmet den samme for alle typer undergrunn.

Nedsenkingen av ballastlaget i undergrunnen varierer derimot meget. Ved bløt undergrunner nedsenkingen vesentlig større enn ved f.eks. undergrunn av fjell. Undergrunnen får også en nedsenking på grunn av ovenforliggende masser. Dette gjør seg spesielt gjeldende ved bløte masser. I det omtalte forsøket ovenfor ble det registrert nedsenking av myrete undergrunn i en dybde av 3 m under o.k. skinnehode.

Ballastsifferet kan også få varierende verdier avhengig av årstiden og ved økende belastning. Denne forandringen forårsakes av værforhold som frost og regn samt at de enkelte korn omlagres og knuses over tid på grunn av belastningen. Om vinteren kan både ballastlaget og enkelte typer jordarter i undergrunnen bli utsatt for frost. Dette fører til forandring av ballastsifferet. I Tabell 4.1er angitt den typiske forandring av ballastsifferet gjennom året. Figuren viser at under forutsetning av ballastrenset spor i oktober antar ballastsifferet en høyere verdi i november etter at 0,5 x 10⁶ tonn har passert over sporet. I desember inntreffer frost som medfører enda en økning av ballastsifferet etter at 1,0 x 10⁶ tonn har passert. I mars etterfølgende år har frosten forsvunnet og ballastlaget med undergrunnen er blitt bløtere. Dette fører til en lavere verdi for ballastsifferet. Utover sommeren synker ballastsifferet og i november antar C sin laveste verdi på grunn av mye nedbør. årsaken til den lave verdien er sannsynligvis manglende drenering.

Tabell 4.1 Tabellen angir variasjonen av ballastsifferet(Bettungszahl) gjennom årstiden. F.eks. antar ballastsifferet en høyere verdi ved frost enn i en periode med rikelig nedbør. Videre er angitt nedsenkingen av sporet. Tallene i parentes er innerstreng i en kurve.

	Nedsenking			Ballastmodul
Målinger etter a x 106 tonn ved passering (måned)	Middelverdi med mer	Standardavvik med mer	Skjevhet mm	Middelverdi N/mm3	Standardavvik N/mm3	Skjevhet N/mm3
Justering av sporet i oktober	0.08 (0.10)	0.11 (0.12)	1.46 (1.67)	0.132	0.026	0.010
a = 0,5 november	0.09 (0.07)	0.13 (0.12)	2.55 (1.97)	0.184	0.050	0.014
a = 1,0 desember (frost)	0.12 (0.15)	0.14 (0.19)	2.31 (2.23)	0.202	0.054	0.020
a = 3,3 mars (frost forsvinner)	0.09 (0.15)	0.19 (0.23)	3.30 (1.85)	0.140	0.046	0.060
a = 5,5 juli	0.16 (0.17)	0.20 (0.27)	3.27 (2.35)	0.145	0.043	0.060
a = 8,3 november	0.11 (0.13)	0.22 (0.21)	3.84 (2.58)	0.117	0.027	0.015

Ballastsifferet antar altså forskjellige verdier. Det kan variere i området fra 0,01 - 0,4 N/mm³ . I ekstreme tilfeller kan C bli enda høyere, helt opp til 0,5 N/mm³. Lav C betyr bløt undergrunnog høy C betyr hard undergrunn. Nedenfor er listet opp noen eksempler :

* C < 0,05 N/mm3	meget bløt undergrunnf. eks. myrete
* 0,05 < C < 0,15 N/mm3	fra bløt til fast leire
* 0,15 < C < 0,30 N/mm3	fast leiretil grus
* C > 0,30 N/mm3	fjell(også fjellskjæring)

Ballastsifferet er en meget viktig parameter som utøver betydelig innflytelse på de faktiske forhold i sporet og også på resultatet av dimensjoneringen ved belastning. Det er derfor meget viktig å fastsette riktig verdi av C ved å studere undergrunnen. Ballastsifferet lar seg selvfølgelig også bestemme ved eksperimentelle forsøk.

Ballastsifferet beskrives på følgende måte :

$C=tg\beta ={p \over y}[N/mm^{3}]$

(4.92)

hvor

• p = ballasttrykketved belastning fra det rullende materiell [N/mm²]
• y = nedsenking av skinnen [mm]

I figur 4.18er C vist som vinkelkoeffisienten i et p/y - aksesystem. Det er verdt å legge merke til at ballasttrykket i sin helhet først blir virksom etter litt nedsenking av svillen, vesentlig på grunn av hulrom under sville.

Figur 4.18 Bildet angir sammenhengen mellom ballasttrykket ved belastning av et vognmateriell og nedsenking av skinnen.

Ballastsifferet er vinkelkoeffisienten i koordinatsystemet. Med utgangspunkt i figur 4.18kan den statiske stivheten eller ballastsifferet i det lineære området til fjærlinjen beregnes etter følgende formel:

$C_{STAT.}={P \over y\cdot A}[N/mm^{3}]$

(4.93)

Her betyr:

• P er trykkraften [N]
• A er den medvirkende lastflate [mm²]
• y er nedsenkingen [mm]

I det ikke lineære området må det benyttes en differensiell betraktningsmåte:

$C_{STAT.}={\Delta P \over \Delta y\cdot A}$

(4.94)

Beregning av det resulterende ballastsifferet

I nyere overbygningskonstruksjoner har mellomleggsplaten mellom skinne og sville gjennomgått forbedringer mht. evnen til å redusere spissbelastningene ved passering av det rullende materiell. For eksempel har mellomleggsplaten i 10 mm gummi i knottet utførelse en sterkt forbedret evne til å ta opp støtbelastningene enn den eldre mellomleggsplaten 5 mm EVA. Begge mellomleggsplater er i bruk ved Jernbaneverket i dag.

Det er av betydning å kunne bestemme den dynamisk virksomme stivhet til den elastiske mellomleggsplaten. Iht. studier gjort i regi av ERRIi ” Study of chatacteristics of rail fastening systems – final recommendations for test methodes, ERRI D 170/RP 5 mars 1994” er vibrasjonene i lavfrekvente områder bestemmende. I rapporten anbefales å multiplisere den statiske stivhet med en faktor lik 1,5. Dette betyr at den dynamisk virksomme stivhet til Pandrol10 mm mellomleggsplate i gummi i knottet utførelse for det rullende materiell kan settes lik:

$c_{PANDROL\ GUMMI\ 10MM}=1,5\cdot 45=70kN/mm$

(4.95)

Til sammenligning er den tilsvarende dynamisk virksomme stivheten til PANDROL EVA5 mm plast lik:

$c_{PANDROL\ EVA\ PLAST}=700kN/mm$

(4.96)

Til sammenligning har den nye mellomleggsplaten til Vosslohsom benyttes på høyhastighetsbanene på konvensjonelt spor i Tyskland, en dynamisk fjærstivhetlik:

$c_{VOSSLOH}=100kN/mm$

(4.97)

Denne mellomleggsplaten er altså noe stivere enn mellomleggsplaten til Pandrol.

Det skal beregnes den resulterende stivhet og det resulterende ballastsiffer til overbygningskonstruksjonen under medvirkning av en høyelastisk mellomleggsplate i skinnebefestigelsen.

Med utgangspunkt i ballastsifferet C_BALLAST til overbygningen kan ballastlagets fjærstivhet beregnes uten å ta hensyn til mellomleggsplatens stivhet:

$c_{BALLAST}=C_{BALLAST}\cdot {F \over 2}\ (kN/mm)$

(4.98)

F er svillens belastede flate i mm². Denne flaten blir beregnet i neste avsnitt.

Overbygningskonstruksjonens resulterende stivhet c_RES. (kN/mm) under medvirkning av en høyelastisk mellomleggsplate kan beregnes. De 2 elastiske lagene – mellomleggsplaten og ballasten– kan tenkes koblet etter hverandre i en kjede. Det vises til figur 4.19.

Figur 4.19 Prinsipp for seriekobling av fjærer

Under forutsetning av udempede og frie vibrasjoneran gir litteraturen den resulterende stivhet for overbygningskonstruksjonen til å være:

${1 \over c_{RES.}}={1 \over C_{BALLAST}}+{1 \over C_{MELLOMLEGGSPLATE}}$

(4.99)

Vibrasjonene ved passering av et rullende hjul er ikke udempede iht. den strenge teori på grunn av mellomleggsplatens materiale som er gummi. Gummi demper vibrasjonene. Imidlertid bekrefter forsøk for ICE-tog i Tyskland at ovenstående formel kan benyttes med stor grad av nøyaktighet.

Den resulterende stivhet til overbygningskonstruksjonen kan omskrives til:

$c_{RES.}={c_{MELLOMLEGGSPLATE}\cdot c_{BALLAST} \over c_{MELLOMLEGGSPLATE}+c_{BALLAST}}$

(4.100)

I ovenstående formel må den dynamiske stivheten til mellomleggsplaten benyttes. For ballasten gjelder den statiske verdi.

Overbygningskonstruksjonens resulterende ballastsiffer kan dermed beregnes:

$c_{RES.}={c_{RES.} \over {F \over 2}}=2\cdot {c_{RES.} \over F}[N/mm^{3}]$

(4.101)

Mellomleggsplatens karakteristiske egenskaper får dermed betydning. Spesielt ved hard undergrunn med C_BALLAST> 0,30 -–0,40 N/mm³ blir overbygningskonstruksjonen mykere med et resulterende ballastsiffer som er betydelig mindre enn ballastens ballastsiffer ved bruk av 10 mm mellomleggsplate i gummi i knottet utførelse.

EVA Pandrol plast 5 mm med dynamisk virkende stivhet lik 700 kN/mm har nesten ingen betydning for det resulterende ballastsiffer til overbygningskonstruksjonen. Ved bruk av denne mellomleggsplaten blir i praksis:

$C_{RES.}=C_{BALLAST}$

(4.102)

Eksempel på beregning av resulterende ballastsiffer

Det skal vises ved et eksempel hvordan det resulterende ballastsiffer beregnes for en overbygningskonstruksjon med høyelastisk mellomleggsplate av type Pandrol10 mm i gummi i knottet utførelse og med ballast med tykkelse 300 mm under u.k. sville lagt på hardt underlag.

Det tas utgangspunkt i kjent teori i litteraturen med seriekobling av fjærstivheter. Kjente parametre er:

• c_{MELLOMLEGGSPLATE} = 70 kN/mm
• C_BALLAST = 0,40 N/mm³
• F = 570.000 mm²

Ballastens stivhet over belastet flate beregnes:

$c_{BALLAST}={C_{BALLAST} \over {F \over 2}}={0.40 \over {570000 \over 2}}\cdot 10^{-3}=114kN/mm$

(4.103)

Overbygningskonstruksjonens resulterende stivhet beregnes:

$c_{RES.}={c_{MELLOMLEGGSPLATE}\cdot c_{BALLAST} \over c_{MELLOMLEGGSPLATE}+c_{BALLAST}}$

(4.104)

$c_{RES.}={70\cdot 114 \over 70+114}=43.4kN/mm$

(4.105)

Dette gir følgende resulterende ballastsiffer:

$C_{RES.}={c_{RES.} \over {F \over 2}}={43.4 \over {570000 \over 2}}\cdot 10^{-3}=0.15kN/mm^{3}$

(4.106)

Overbygningskonstruksjonen er blitt vesentlig mykere. Derav følger også at nedsenkingen av skinnen og bøyepåkjenningen på skinnen er blitt større. Men med et ballastsiffer på 0.15 N/mm³ er det ingen fare for at grenseverdier mht. disse parametrene blir overskredet. Grenseverdiene er påkrevet for å sikre god kjøredynamikk og tilfredsstillende sporstabilitet samt at skinnespenningeneikke skal komme opp på et nivå som tilsvarer spenningene i utmattingstilstanden.

Langsvilleoverbygning

Dimensjoneringsmetoden forutsetter at tverrsvilleoverbygningen (svillene er lagt på tvers av skinnestrengen) gjøres om til en langsvilleoverbygning med tenkt bredde b. Med dette menes et tenkt system hvor svillene er lagt langs med skinnestrengen og at dette systemet har samme lastflate som svillenes lastflate i en tverrsvilleoverbygning. Videre forutsettes at skinnen da blir kontinuerlig opplagret på det tenkte systemet. Det vises til figur 15. Det antas at midtre del av betongsvillener opplagerfri. Forholdet tilsvarer et nyjustert spor.

Følgende betegnelser innføres :

• F = Belastet opplagerflate til svillen (mm²)
• l = Svillens lengde (mm)
• m = Lengde av ubelastet midtdel av svillen (mm)
• a = Svilleavstand (mm)
• b₁= Svillens bredde (mm)
• b = Bredde av tenkt langsvilleoverbygning (mm)

Med ovennevnte betegnelser blir den belastede opplagerflate til betongsvillen:

$F=(l-m)\cdot b_{1}[mm^{2}]$

(4.107)

Den tenkte bredde av langsvillen blir da :

$b={F \over (2\cdot a)}[mm]$

(4.108)

Figur 4.20 Beregning av belastet flate i en tenkt langsvilleoverbygning.

Beregning av grunnverdi L

For den videre dimensjonering er det nødvendig å innføre følgende parametre:

• I_X-X = Skinneprofilets treghetsmomentom den sterke akse (mm⁴)
• E = Elastisitetsmodulen til skinnestålet (N/mm²)
• C_RES. = Resulterende ballastsiffer (N/mm³)
• b = Bredde i langsvilleoverbygning (mm)

Med disse parametrene kan den såkalte grunnverdi L i langsvilleoverbygningen beregnes:

$L=\left({4\cdot E\cdot I_{X-X} \over b\cdot C_{RES.}}\right)^{1 \over 4}$

(4.109)

Figur 4.21 Bøyelinje og momentlinje for enkeltlast Q_KV.STAT .

Beregning av spenning, moment og deformasjon

Nedsenkingen av skinnen i avstand x fra lastens angrepspunkt kan uttrykkes ved følgende ligning:

$y(x)={Q_{KV.STAT.} \over 2\cdot b\cdot C_{RES.}\cdot L}\cdot \eta$

(4.110)

hvor

$\eta ={sin\xi +cos\xi \over e^{\xi }}$

(4.111)

Likeledes kan momentet i skinnen i avstand x fra angrepspunktet uttrykkes ved:

$M(x)=Q_{KV.STAT.}\cdot {L \over 4}\cdot \mu$

(4.112)

hvor

$\mu ={-sin\xi +cos\xi \over e^{\xi }}$

(4.113)

I tillegg kan spenningen i u.k. midt på skinnefoten i avstand x beregnes under forutsetning av kjent motstandsmoment for skinnen

$\sigma (x)_{U.K.MIDT\ PA\ FOT}={M(x) \over W_{U.K.FOT}}$

(4.114)

Det kan synes noe komplisert å bruke disse formlene. Det er imidlertid utarbeidet ferdige tabeller for verdiene η og μ som funksjon av ? = x/L. Med hjelp av verdiene for disse faktorene kan bøyelinjen i 4.110 og momentlinjen i 4.112 dermed relativt lett beregnes. Tabellen er vist i avsnitt 5.11.

Støttepunktkraftensom belaster betongsvillen, kan beregnes til :

$S(x)=b\cdot sv\cdot p(x)=b\cdot sv\cdot C_{RES.}\cdot y(x)$

(4.115)

Dette under forutsetning av at lasten angriper overbygningen i en avstand x fra svillen.

Direkte under enkeltlast antar hog m verdien 1. Dette gir følgende enkle formler for:

• Nedsenkning av skinnen under enkeltlast :

$y_{0}={Q_{KV.STAT.} \over 2\cdot b\cdot C_{RES.}\cdot L}$

(4.116)

• Bøyemoment i skinnen under enkeltlast :

$M_{0}=Q_{KV.STAT.}\cdot {L \over 4}$

(4.117)

• Spenning i u.k. midt på foten til skinneprofilet under enkellast :

$\sigma _{0O.K.MIDTPAFOT}={M_{0} \over W_{U.K.FOT}}$

(4.118)

Endelig kan den såkalte støttepunktkraften S beregnes som er den kraft som forårsaker belastningen på svillene :

$S_{0}=b\cdot sv\cdot p_{0}=b\cdot sv\cdot C_{RES.}\cdot y_{0}$

(4.119)

Den beregnede grunnverdi som uttrykkes ved

$L=\left({4\cdot E\cdot I_{X-X} \over b\cdot C_{RES.}}\right)^{1 \over 4}$

(4.120)

er en funksjon av ballastsifferet C_RES. , treghetsmomentet I _X-X til skinnen, skinnestålets elastisitetsmodul E og bredden b i den tenkte langsvilleoverbygning. E og I _X-X er konstanter for et bestemt skinneprofil. Videre er b en funksjon av den belastede flate til svillen samt svilleavstanden og kan dermed enkelt beregnes. Ballastsifferet beskriver undergrunnens beskaffenhet og hvordan ballastlagetreagerer på undergrunnens egenskaper. Denne faktoren er derfor den eneste parameter som må vurderes visuelt evt. fastsettes ved undersøkelser i undergrunnen. Da ballastsifferet har meget stor innflytelse på resultatet av dimensjoneringen, er det absolutt helt avgjørende at C_RES. (egentlig C _BALLAST) blir vurdert riktig. Dette krever geotekniske kunnskaper om undergrunnen.

Foruten C_RES. utøver også skinnens treghetsmoment I _{X -X} stor innflytelse.

Med hensyn til den beregnede grunnverdi L kan følgende interessante observasjoner gjøres :

• L er identisk med spennvidden for en frittbærende bjelke
• eller 2 x L er identisk med lengden av en stiv bjelke

Figur 4.22 Bildene viser hva grunnverdi L uttrykker.

Parametrene C_RES. og I_X-X påvirker deformasjonen av skinnen på følgende måte :

• Ballastsifferet C_RES.:

Liten verdi av ballastsifferet som indikerer myk undergrunn, betyr lang bøyelinje. Skinnen blir dermed hardt belastet.

Høy verdi av ballastsifferet som indikerer hard undergrunn, betyr kort bøyelinje. Dette medfører at svillen blir utsatt for store påkjenninger.

• Treghetsmomentet I_X-X

om den stive akse til skinneprofilet :

Skinne med stor bærekapasitet forårsaker lengre bøyelinje enn skinne med lavere treghetsmoment .

En kombinasjon av myk undergrunn og skinne med stor bærekapasitet gir en lang bøyelinje. Dette er illustrert i figur 4.23 under. Tilsvarende vil en kombinasjon av hard undergrunn og skinne med liten bærekapasitet bevirke liten bøyelinje. I det første tilfelle blir skinnen hardt belastet og i det andre tilfellet blir svillen utsatt for den største belastningen.

Ved å sette nedbøyningen lik 0 i ligning 4.110 blir ? lik 0. Ved å løse ligning 4.111 med Z= 0 kan det utledes at η antar verdien 2,36. Dette betyr at for η= X/L blir:

• X = 2,36 x L

som er stedet hvor bøyelinjen er lik 0.

Figur 4.23 Illustrasjon av hvordan ballastsifferet og skinneprofilets treghetsmoment influerer på bøyelinjen under belastning. Bøyelinjens nullpunkt er også vist.

Ved bløt undergrunn og stort skinneprofil kan hjullastf ra nabohjulet bidra til økt belastning og deformasjon for stedet rett under det hjulet som blir betraktet. Dette vil skje når 2,36 x L som er avstanden fra stedet for den betraktede hjullast til nullpunktet for hjullastens bøyelinje, er større enn avstanden til nabohjulet i f.eks. en boggikonstruksjon. De samlede deformasjoner og belastninger ved et slikt lastbilde må beregnes ved superposisjon, dvs. ved addisjon av lasttilfellene. Lastbilde er vist i figur 4.24.

Figur 4.24 Situasjon hvor last 2 innvirker på deformasjonen av skinnen på stedet for last 1. Tilfellet fører til økt belastning på skinnen for dette stedet.

Bøyelinjen eller nedsenkingen av skinnen for 2 laster kan da uttrykkes ved :

$y_{(X)KV.STAT.}={Q_{KV.STAT.1} \over 2\cdot b\cdot C_{RES.}\cdot L}\cdot \eta _{1}+{Q_{KV.STAT.2} \over 2\cdot b\cdot C_{RES.}\cdot L}\cdot \eta _{2}$

(4.121)

Dersom deformasjonen under enkeltlast Q_{KV.STAT. 1} skal beregnes, blir ?₁ lik 1.

Tilsvarende blir momentet eller momentlinjen:

$M_{(X)KV.STAT.}=Q_{KV.STAT.1}\cdot L\cdot {\mu _{1} \over 4}+Q_{KV.STAT.2}\cdot L\cdot {\mu _{2} \over 4}$

(4.122)

Dersom deformasjonen under enkeltlast Q _{KV.STAT. 1} skal beregnes, blir μ₁ lik 1.

Spenningen i u.k. midt på skinnefoten blir:

$\sigma _{(X)}={M_{(X)KV.STAT.} \over W_{U.K.FOT}}$

(4.123)

Støttepunktkraften S kan beregnes til:

$S_{(X)}=b\cdot sv\cdot C_{RES.}\cdot y_{(X)KV.STAT.}$

(4.124)

Det er denne kraften som benyttes til dimensjonering av betongsvillen og som forårsaker bøyemomentene i svillen.

Generelt gjelder for flere laster:

Nedbøyning:

$y_{(X)KV.STAT.}={1 \over 2\cdot b\cdot C_{RES.}\cdot L}\cdot \sum _{i=1}^{n}Q_{KV.STAT.(i)}\cdot \eta _{i}$

(4.125)

hvor

$\eta _{i}=f(\xi _{i})=f\left({X_{i} \over L}\right)$

(4.126)

Momentet:

$M_{(X)KV.STAT.}={L \over 4}\cdot \sum _{i=1}^{n}Q_{KV.STAT.(i)}\cdot \mu _{i}$

(4.127)

hvor

$\mu _{i}=f(\xi _{i})=f\left({X_{i} \over L}\right)$

(4.128)

Spenningen midt på skinnefot i u.k. :

$\sigma _{(X)KV.STAT.}={M_{(X)KV.STAT.} \over W_{U.K.FOT}}$

(4.129)

Støttepunktkraften blir:

$S_{(X)KV.STAT.}=b\cdot sv\cdot C_{RES.}\cdot y_{(X)KV.STAT.}$

(4.130)

Av formlene ovenfor fremgår at faktoren (2 x b x C_RES. x L) kan betraktes som en konstant ved samling av flere krefter over en strekning. Det er i uttrykkene ovenfor også forutsett at den kvasistatiske kraft og dermed også hjullasten varierer. Som regel vil hjullastene i en boggikonstruksjonvære like store og det kan derfor synes unødvendig å innføre Q_KV.STAT. som variabel.

Det er meget sjeldent at det må tas hensyn til flere hjullaster enn 2 i et definert lastbilde for å bestemme de maksimale belastninger. En 3-akslet boggikonstruksjon eksisterer på noen typer av lokomotiv (El14, El15, Di3, Di4) som er i bruk ved NSB i dag. Ved konstruksjon av nye lokomotiv er imidlertid trenden å lage boggikonstruksjoner med 2 aksler.

Videre forekommer det ytterst sjelden at nærmeste aksel fra nabovognen influerer på belastningene i lastbildet til boggikonstruksjonen for den vogn som blir betraktet.

Med den undergrunnen som eksisterer på banenettet til Jernbaneverket og med den avstand som finnes mellom hjulsatsenes senterlinjer i en boggikonstruksjon, vil avstanden fra hjulkraftens angrepspunkt til bøyelinjens nullpunkt (2,36 x L) som regel være mindre enn avstanden mellom hjulsatsenes senterlinjer i en boggikonstruksjon. I de overveiende fleste situasjoner er det altså tilstrekkelig å beregne deformasjoner og spenninger ved å betrakte bare enkeltlasten (ikke ta med nabolaster).

Figur 4.25 Normaltilfelle ved Jernbaneverket hvor det bare er nødvendig å betrakte en last ved deformasjonsberegninger da avstanden mellom hjulsatsene er > 2,36 L.

Sammendrag og forutsetninger

Ved utvikling av Zimmermanns metode er følgende forutsetninger lagt til grunn:

• Utgangspunktet er den nominelle aksellast P

• Den statiske hjulkraft Q₀ beregnes etter 4.1

• Den kvasistatiske hjulkraft Q_KV.STAT. beregnes etter 4.2

• Dimensjoneringen foregår i kvasistatisk tilstand. Med kvasistatisk tilstand menes at det rullende materieller stillestående, dvs. ikke i bevegelse

• Det er lagt til grunn en ballasttykkelse lik 300 mm mellom u.k. sville og formasjonsplanet

• Det forutsettes ensartet ballastlag

• Det forutsettes at den kvasistatiske hjulkraft Q_{KV. STAT.} angriper sentrisk i skinnehodet

• Det tas ikke hensyn til langsgående krefter

• Det tas ikke hensyn til laterale krefter

• Det forutsettes belastning på svillens underside som for nyjustert spor

Ved dimensjonering betraktes skinnen som en bærebjelke og følgende snittstørrelser beregnes:

• Nedsenking av skinnen

• Momentet i skinnen

• Spenningen i u. k. midt på skinnefoten

• Trykket mot ballasten

• Støttepunktkraftensom er den dimensjonerende kraft for dimensjonering av svillen

Ballastmatter i ballasten

Ballastmatter i gummi til bruk i overbygningen i den hensikt å dempe strukturstøy fra jernbane er en metode som vinner stadig mer anvendelse. Mattene legges i formasjonsplanet og produseres med forskjellige hardheter.

Grunnleggende prinsipper

Teorien mht. bruk av ballastmatter er meget enkel. Strukturstøy skyldes vibrasjoner som forplanter seg ned gjennom overbygningen og videre ned i undergrunnen ved at det rullende materiell påfører overbygningen dynamiske laster. Disse vibrasjonene må kunne isoleres.

Ved innføring av en tilleggskomponent av elastisk materiale i gummi i formasjonsplanet oppstår det et masse-fjær system som er svingningsdyktig. Gummilaget i formasjonsplanet forårsaker demping av vibrasjonene ved å introdusere bevegelse av selve massen i ballastlaget. Prinsippet er at demping skal kunne skje i et masse – fjær system ved vertikal bevegelse av ballastlaget da dette laget har relativt stor vekt. Det svingningsdyktige masse – fjær systemet tenkes lagt i et betongtrau eller på fjel

Det svingningsdyktige systemet består av vognens boggikonstruksjon (uavfjæret masse), skinner, mellomleggsplater, sviller og ballast av pukk. Det blir antatt at disse komponentene danner et felles svingende system hvor den svingende masse er summen av hjulmasse (uavfjæret masse) og ekvivalent medsvingende spormasse. Denne svingende masse betraktes som et system som blir understøttet av en fjærkraft og en dempekraft som tilsvarer ballastmattens karakteristikker.

Det er påvist at en og samme komponent i sporet blir utsatt for ulik påkjenning fra samme dynamiske kraft mot skinnens kjøreflate. Denne påførte kraften kan beskrives gjennom funksjonen:

$F_{PAFORT}=F_{0}\cdot sin(\omega t)$

(4.131)

hvor F₀ er amplituden i et kraftforløp. På grunn av bevegelse av det rullende materiell beskrives den påførte kraften som en funksjon av F0uttrykt ved en sinusfunksjon over tid.

Fjærkraften som går gjennom overbygningen og ned til ballastmattene er den kraften som skal isoleres.

Denne kan betegnes ved:

$F_{T}$

(4.132)

Figur 4.26 viser en modell av overbygningen hvor vognmateriellets hjulsats er inkludert. Modellen beskriver et svingningsdyktig system som består av hjulmasse og ekvivalent spormasse. Systemet betraktes som en enhet hvor alle komponentene er samlet.

Figur 4.26 Svingningsdyktig system som består av hjulsettets uavfjærede masse og ekvivalent spormasse

Den totale påførte kraft kan beskrives ved:

$F_{0}={\sqrt {(k-m\cdot \omega ^{2})^{2}+(c\cdot \omega )^{2}}}\cdot x$

(4.133)

Den overførte kraften settes sammen av fjærkraft og dempekraft:

$F_{T}={\sqrt {k^{2}+(c\cdot \omega )^{2}}}\cdot x$

(4.134)

Her betyr:

• k er ballastmattens fjærstivhet
• m er ekvivalent medsvingende spormasse inkludert uavfjæret masse til boggiens hjulsett
• ? settes lik 2p f
• f er påført frekvens til systemets ekvivalente masse
• c er dempekonstant til ballastmatten
• x er den vertikale bevegelse til det svingningsdyktige systemet

Det blir nå viktig å sammenligne den overførte kraften F_T med den totale påførte kraften F₀:

$Q={F_{T} \over F_{0}}={{\sqrt {k^{2}+(c\cdot \omega )^{2}}} \over {\sqrt {(k-m\cdot \omega ^{2})^{2}+(c\cdot \omega )^{2}}}}$

(4.135)

Det innføres dempingsforholdet D mellom dempingen c i gummimatten og kritisk demping c_KR:

$D={c \over (2\cdot {\sqrt {m\cdot k}})}$

(4.136)

Videre innføres forholdet ß mellom påført frekvens f i overbygningen ved belastning og overbygningens egenfrekvens f₀:

$\beta ={\omega \over \omega _{0}}={f \over f_{0}}$

(4.137)

hvor

$\omega =2\cdot \pi \cdot f$

(4.138)

og

$\omega _{0}=2\cdot \pi \cdot f_{0}$

(4.139)

Med innføring av D og ß kan forholdet mellom den overførte kraften F_T og den påførte kraften F₀ skrives som:

$Q={F_{T} \over F_{0}}={{\sqrt {1+(2\cdot D\cdot \beta )^{2}}} \over {\sqrt {(1-\beta ^{2})^{2}+(2\cdot D\cdot \beta )^{2}}}}$

(4.140)

D er som nevnt dempingsforholdet og ß er forholdet mellom påført frekvens og overbygningens egenfrekvens. Dempingsforholdet D representerer forholdet mellom dempingen c i ballastmatten og den kritiske demping. Figur 4.27 viser hvordan Q varierer som funksjon av ß og D.

Figur 4.27 Forholdet mellom den overførte kraft og den totale påførte kraft som funksjon av forholdet mellom påført frekvens og egenfrekvens til overbygningen samt dempingsegenskapene til ballastmatten uttrykt i forhold til kritisk demping

Figur 4.27 viser at amplitudefunksjonen som er gitt ved forholdet mellom den overførte kraften F_T og den påførte kraften F₀, øker inntil

${\sqrt {2}}\cdot f_{0}$

(4.141)

hvor f₀ er systemets egenfrekvens. Dette betyr at den overførte kraften øker opp til overbygningens egenfrekvens. Den maksimale verdien oppnås ved forholdet ß = f/f₀ = 1. For større verdier enn

${\sqrt {2}}\cdot f_{0}$

(4.142)

blir F_T mindre enn den påførte kraft F₀. Dermed blir det en forbedring mht. strukturstøyen. Derimot ved lave frekvenser blir det en forsterkning av strukturstøyen. Det framgår også at dempingsforholdet D til ballastmattene er av betydning for evnen til å redusere strukturstøyen. En stor verdi av D vil være ønskelig, dvs. en økning av dempeleddet c. Systemets egenfrekvens blir også påvirket av fjærstivheten til mattene og til ballastmassen.

Det er ønskelig å få egenfrekvensen til overbygningen så lav som mulig. Dermed oppnås det en forbedring i strukturstøyen også ved lave frekvenser. Dette gjøres ved å lage ballastmattene så myke som mulig. Av den grunn er en systemfrekvens i området 15 – 20 Hz ønskelig.

For å begrense belastningen på skinnene (spenninger) og for å ivareta tilstrekkelig sikkerhet mht. sporstabilitet bør den totale nedsenkingen i overbygningskonstruksjonen begrenses til 3 – 4 mm i kjøredynamisk tilstand. Det settes derfor krav til ballastmattenes stivhet. Bestemmende parametre er aksellast og hastighet ved framføring av det rullende materiell.

Figur 4.28 viser teoretisk innskuddsdemping for forskjellige konstruksjoner av overbygningen, dvs. støyreduksjoner.

Figur 4.28 Teoretisk innskuddsdemping ved ulike sporkonstruksjoner

I figur 4.28 viser linjen f₀ 1 at et tradisjonelt spor med tilstrekkelig ballast også har mykhet og dermed gir vibrasjonsisolering, dog ved høye frekvenser.

Linjen f₀₂ viser at et vanlig spor med ballast, men med tillegg av høyelastisk skinnebefestigelse gir en vesentlig bedre innskuddsdemping ved de samme frekvenser.

Linjen f₀₃ viser at konvensjonelt ballastspor med ballastmatte i formasjonsplanetgir vesentlige forbedringer mht. vibrasjonsisolering. Det framgår tydelig at innskuddsdempingen selv ved lave frekvenser er betydelig.

Ballastmattenes innvirkning på ballastsifferet

Ballastmattene legges i overbygningens formasjonsplan på et utjevnende underlag i betong i tunneler. Mattene kan også anvendes på brukonstruksjoner med betongtrau og legges da på et plant underlag av betongdekke. Det forutsettes et ballastlag i pukk mellom mattene og underkant sville på minimum 300 mm.

Ballastmattene har karakteristikker som gjør at overbygningens resulterende ballastsifferendres. Dette har sammenheng med at mattene gjøres så myke som mulig.

Det skal redegjøres for hvordan det resulterende ballastsifferet i overbygningen kan beregnes. Framgangsmåten blir tilsvarende som for beregning av det resulterende ballastsiffer i en overbygning med mellomleggsplate mellom skinne og sville og vanlig ballast i pukklagt direkte på undergrunn. Med innføring av ballastmatten vil det bli et nytt element i overbygningen. Det vises til figur 4.29.

Figur 4.29 Ballastmatte lagt i formasjonsplanet

Under forutsetning av hard undergrunn dvs. avrettet betonglag på fjelli tunneler eller brukonstruksjon med bærende betongplate, antar overbygnings ballastsiffer en høy verdi:

$C_{UNDERGRUNN}>0.40-0.50N/mm^{3}$

(4.143)

Ballastmattens statiske siffer må angis:

$C_{STAT.MATTE}(N/mm^{3})$

(4.144)

Den bestemmes ut fra parametrene aksellast og hastighet til det rullende materiell. For aksellast større enn 160 kN og hastighet større enn 200 km/h settes:

$C_{STAT.MATTE}\geq 0.10N/mm^{3}$

(4.145)

Ballasten dvs. pukken lagt på ballastmatten antar også et ballastsiffer:

$C_{BALLAST}(N/mm^{3})$

(4.146)

Endelig kan mellomleggsplaten angis med et siffer:

$C_{MELLOML.}(N/mm^{3})$

(4.147)

For å kunne beregne overbygningskonstruksjonens resulterende ballastsiffer er det nødvendig å ha kunnskap om stivhetene til de forskjellige elastiske lagene.

Først betraktes ballastkonstruksjonen, dvs. ballast og ballastmatte lagt på hardt underlag. De 2 lagenes stivheter kan tenkes koblet etter hverandre i en kjede. Det vises til figur 4.30.

Figur 4.30 Seriekobling av stivhetene til ballast og ballastmatte

Under forutsetning av udempede og frie vibrasjoner angir litteraturen den resulterende stivhet til å være:

${1 \over c_{RES.}}={1 \over c_{STAT.MATTE}}+{1 \over c_{BALLAST}}$

(4.148)

Nedsenkingen til de enkelte fjærene (ballast og ballastmatte i modellen) påvirkes imidlertid av hardheten til lagene under uttrykt gjennom elastisitetssifferet C. Jo høyere dette sifferet er, jo mindre blir nedsenkingen. Det antas at svillenes belastningsflate er F₁. På grunn av lastfordelingen i ballasten under sville antas ballastmattens belastningsflate å være:

$F_{2}=4F_{1}$

(4.149)

De enkelte stivheter kan beregnes:

$c_{STAT.MATTE}=C_{UNDERG.}\cdot {F_{2} \over 2}\ (kN/mm)$

(4.150)

$c_{BALLAST}=C_{STAT.MATTE}\cdot {F_{1} \over 2}\ (kN/mm)$

(4.151)

Den resulterende fjærstivhet i ballastkonstruksjonen beregnes:

$c_{RES.}={(c_{STAT.MATTE}\cdot c_{BALLAST}) \over (c_{STAT.MATTE}+c_{BALLAST})}\ (kN/mm)$

(4.152)

Dette gir følgende resulterende ballastsiffer i konstruksjonen:

$C_{RES.}={c_{RES.} \over {F_{1} \over 2}}\ (kN/mm^{3})$

(4.153)

Mellomleggsplaten mellom skinne og sville har gitt dynamisk fjærstivhet:

$c_{MELLOML.}\ (kN/mm)$

(4.154)

For Pandrol 10 mm gummi mellomlegg i knottet utførelse er denne verdien lik 70 kN/mm.

Dette gir overbygningens totale resulterende stivhet:

${1 \over c_{TOTAL\ STIVHET}}={1 \over c_{RES.}}+{1 \over c_{MELLOML.}}$

(4.155)

Dette kan omskrives til:

$c_{TOTAL\ STIVHET}={c_{RES.}\cdot c_{MELLOML.} \over c_{RES.}+c_{MELLOML.}}\ (kN/mm)$

(4.156)

Overbygningens resulterende ballastsiffer blir:

$C_{TOTAL\ STIVHET}={c_{TOTAL\ STIVHET} \over {F_{1} \over 2}}$

(4.157)

Nødvendige stivheter i ballastmattene

Det stilles krav til den statiske og dynamiske stivhet til ballastmattene. På den ene siden må mattenes statiske stivhet gjøres så lav som mulig da en myk matte demper strukturstøyen effektivt. På den annen side må det settes nedre grenser for den statiske stivhet da en for myk matte fører til større spenninger i skinnene i utmattingstilstanden. Dessuten vil krav til sporstabiliteten og kjøredynamikken kreve en hardere matte. Det er allment akseptert at den samlede nedsenking (summen av statisk og dynamisk nedsenking) fra det rullende materiell ved framføring ikke skal overstige 3 mm.

Det er overbygningens totale ballastsiffer C_{TOTAL STIVHET} som må benyttes for beregning av den opptredende nedsenking. Dette betyr at det er summen av nedsenkingen av hver elastisk komponent (mellomleggsplate, pukk, ballastmatte) i sporet uttrykt ved deres stivheter som blir bestemmende. Aksellasten og hastigheten gir det dimensjonerende grunnlaget for den nødvendige stivhet i overbygningskonstruksjonen. Det er ikke hensiktsmessig å forandre på stivheten til mellomleggsplaten i befestigelsessystemet da denne stivheten må passe inn i befestigelsessystemet. Dette for å unngå bl.a. utmatting av fjærer. Stivheten i ballastlaget kan heller ikke forandres. Dermed må ballastmatten tilpasses den opptredende belastning. Kompromisset består i ikke å gjøre den dynamiske stivhet mykere enn tillatt.

De avgjørende parametre for bestemmelse av den statiske stivhet(det statiske ballastsiffer) er altså aksellasten og hastigheten. Det settes opp følgende tabell :

• Aksellast = 160 kN og hastighet = 120 km/h:

C_STAT.MATTE = 0,02 N/mm³

• Aksellast > 160 kN og hastighet = 120 km/h:

C_STAT.MATTE = 0,03 N/mm³

• Aksellast > 160 kN og 120 < hastighet < 200 km/h:

C_{STAT. MATTE.} = 0,06 N/mm³

• Aksellast > 160 kN og hastighet = 200 km/h:

C_STAT.MATTE = 0,10 N/mm³

Ballastmattene har ved disse egenskaper som ved maksimale belastninger sikrer at summen av nedbøyningen dvs. summen den statiske og dynamiske nedbøyning ikke blir større 3 mm. 3 mm anses å være grenseverdi mht. sikker togfremføring.

Ballastmattene legges på hardt underlag dvs. avrettingslag i betong eller magerbetong i formasjonsplanet . Ballasthøydenfra u.k. sville ned til formasjonsplanet er som normalt 300 mm. Konstruksjonen kan da dimensjoneres etter metoden til Zimmermann med de ballastsiffer som er angitt over.

I figur 4.31 er tegnet 3 mulige kurver for den for den karakteristiske fjærlinje.

Figur 4.31 Sammenligning av fjærkarakteristikken for forskjellige typer av ballastmatter. Ballastmatte av type 3 utøver de beste egenskaper.

Kurve 1 fører til progressiv nedsenking for ballastmatte av type 1. Forholdet medfører en massiv sammentrykking. Ballastmatte av type 2 har en s – formet karakteristisk fjærlinje som i vendepunktet for kurven får en økende nedsenking ved konstant trykk. Ut fra kjøredynamisk synspunkt er kurvenes forløp for ballastmattene av type 1 og type 2 meget ugunstige da sporstabiliteten blir forstyrret. Kurve 3 for ballastmatte av type 3 har et homogent deformasjonsforløp og er derfor gunstig for kjøredynamikken til det rullende materiell.

Eksempel på beregning av resulterende ballastsiffer

Det skal vises hvordan det resulterende ballastsiffer for en overbygningskonstruksjon som består av en høyelastisk mellomleggsplate av type Pandrol 10 mm i knottet utførelse og ballast med pukk og tykkelse lik 300mm under u.k. sville samt ballastmatte lagt i formasjonsplanet kan beregnes. Det skal tas utgangspunkt i fjærstivhetene i til de forskjellige elastiske lagene og det forutsettes at fjærene er koblet i serie.

Parametrene er:

• c_MELLOML. = 70 kN/mm

• Aksellast > 160 km/h og hastighet > 200 km/h som medfører at nødvendig stivhet til ballastmatten må være >= 0,10 N/mm³

• Ballastmatten forutsettes lagt på et utjevnende lag av betong på hard undergrunntilsvarende statisk ballastsiffer lik 0,40 N/mm³

• Virksom belastningsflate til betongsville er 570.000 mm²

I figur 4.32 konstruksjonsprinsippet vist.

Figur 4.32 Konstruksjon av overbygningen med ballastmatte

Den statiske fjærstivhet til ballastmatten:

$c_{STAT.MATTE}=C_{UNDERGR.}\cdot {4F \over 2}\cdot 10^{-3}$

(4.158)

$c_{STAT.MATTE}=0,40\cdot {4\cdot 570000 \over 2}\cdot 10^{-3}=456\ kN/mm$

(4.159)

Den statiske fjærstivheten til pukklaget uttrykt som funksjon av stivhetsegenskapene til ballastmatten:

$c_{BALLAST}=C_{STAT.MATTE}\cdot {F \over 2}$

(4.160)

$c_{BALLAST}=0,10\cdot {570000 \over 2}\cdot 10^{-3}=28,5\ kN/mm$

(4.161)

Den resulterende fjærstivhet kan beregnes:

$c_{RES.}={c_{STAT.MATTE}\cdot c_{BALLAST} \over c_{STAT.MATTE}+c_{BALLAST}}\$

(4.162)

$c_{RES.}={456\cdot 28,5 \over 456+28,5}=26,8\ kN/mm$

(4.163)

Dette gir følgende resulterende ballastsiffer i ballastkonstruksjonen:

$C_{RES.}={c_{RES.} \over {F \over 2}}={26,8 \over {570000 \over 2}}\cdot 10^{+3}=0.094kN/mm^{3}$

(4.164)

Resultatet viser virkningen av ballastmattens innvirkning på ballastsifferet ved bruk av gummimatte. Konstruksjonens totale fjærstivhet blir under forutsetning av seriekobling av fjærene:

$c_{TOTAL\ STIVHET}={c_{RES.}\cdot c_{MELLOML.} \over c_{RES.}+c_{MELLOML.}}\$

(4.165)

$c_{TOTAL\ STIVHET}={26,8\cdot 70 \over 26,8+70}=19,4\ kN/mm$

(4.166)

Dermed kan systemets totale ballastsiffer beregnes:

$c_{TOTAL\ STIVHET}={C_{TOTAL\ STIVHET} \over {F \over 2}}$

(4.167)

$c_{TOTAL\ STIVHET}={19,4 \over {570000 \over 2}}\cdot 10^{3}=0,067\ N/mm^{3}$

(4.168)

Resultatet viser at den totale overbygningskonstruksjonen er blitt meget myk og systemet er vel egnet til å dempe strukturstøy ved lave frekvenser.

Tabell for η og μ verdier

For å forenkle beregningsmetoden er det utarbeidet tabeller over variablene µ og ? som funksjon av ? . Variabelen µ benyttes i beregningsformelen for bøyemomentet for skinnen og variabelen ? settes inn i formelen for nedsenkingen av skinnen. Variabelen ? er en funksjon av uttrykket x/L, dvs. avstand fra lastens angrepspunkt til det stedet som skal betraktes.

Figur 4.33 Utregnede verdier for variabler i Zimmermanns metode

Eksempel på momentlinje og bøyelinje under enkeltlast

Figur 4.34viser et eksempel på momentlinje for moment og bøyelinje for deformasjon under enkeltlast. Eksemplet er hentet fra boken "Die Eisenbahnschiene" av Fritz Fastenrath.

Nedsenking:

$y={Q \over 2\cdot b\cdot C\cdot L}\cdot \eta$

(4.169)

Bøyemoment:

$M={Q\cdot L \over 4}\cdot \mu$

(4.170)

Grunnverdi:

$L={\sqrt[{4}]{4\cdot E\cdot I_{X-X} \over b\cdot C}}$

(4.171)

$\xi ={X \over L}$

(4.172)

Figur 4.34 Moment- og deformasjonslinje under enkeltlast.

Figur 4.35 Eksempel på deformasjonslinjen til skinne UIC 60 belastet av en tysk intercity - vogn med aksellast lik 120 kN. Ballastsifferet har verdien C = 0,10 N/mm³.

DYNAMISKE LASTER

Innledning

I de foregående avsnitt er beskrevet hvordan deformasjoner av skinnen samt momenter og spenninger i skinnen kan beregnes med utgangspunkt i den vertikale kvasistatiske hjulkraft Q_KV.STAT. forårsaket av det stillestående materiell i sporet. Det ble forutsatt at kraften angriper sentrisk i skinnehodet.

På grunnlag av omfangsrike målinger i trafikkert spor med pukkballast og drevne aksler er det utviklet en belastnings- og deformasjonsmodell i dynamisk tilstand. Dette betyr at denne modellen tar utgangspunkt i hastigheten til det rullende materiell samt ujevnheter i sporet og på hjulene til det rullende materiell. Modellen bygger på det prinsipp at belastningsverdiene fordeler seg iht. normalfordelingen. Normalfordelingen anvendes som beregningsmodell for å fange opp de maksimale spenninger og deformasjoner som opptrer i kjøredynamisk tilstand. Det forutsettes en statistisk sikkerhet på 99,85 %, dvs. at bare i 0,15 % av lasttilfellene skal beregnede grenseverdier overskrides. Modellen er verifisert ved forsøk i sporet med hastigheter opp til 200 km/h til det rullende materiell.

I figur 4.36 er vist resultatet av spenningsmålinger i u.k. midt på skinnefoten ved belastning av 1. aksel til et tysk elektrisk lokomotiv. Det fremgår at det er gjort målinger med hastigheter opp til 200 km/h. Middelverdien samt spredningen av spenningene er beregnet og inntegnet.

Figur 4.36 Resultatet av spenningsmålinger i u.k. midt på skinnefot til skinne S49 under 1. aksel til et elektrisk hurtiglokomotiv til DB AG. Middelverdi til 7 målepunkter samt spredningsområdet er inntegnet. Skinnene er lagt på tresviller.

Figur 4.37 Viser normalfordelingen med statistisk sikkerhet P = 68,3 % og P = 99,7 %. Det fremgår av formlene beregningen av middelverdien x og standardavviket s.

Figur 4.38 Viser anvendelse av normalfordelingen for beregning av de største og minste verdier mht. spenninger og deformasjoner som funksjon av hastighet.

Omfangsrike målinger viser at modellen har gyldighet for hastigheter på sporet opp til 200 km/h. Modellen er derfor godt egnet til å dimensjonere overbygningen for norske forhold. Dette gjelder for eksisterende baner og for de nye høyhastighetsbanene (Dobbeltsporet Ski-Moss, Gardermobanen).

Figuren gir følgende opplysninger :

• For hastigheter opp til 200 km/h er middelverdien av spenninger og deformasjoner tilnærmet konstant
• Spredningen av verdiene som uttrykkes ved standardavviket øker med økede hastigheter

Spredningen og dermed størrelsen av de dynamiske krefter skyldes flere forhold:

• Ballastens variable elastisitet på grunn av ulike hulrom under svillen
• Ujevnheter i sporets overflate (bølger, rifler)
• Ujevn overflate i hjulet dvs. ikke helt sirkelformet (hjulslag)
• Ved lasket spor også ujevnheter i laskeskjøten
• De elastiske egenskaper til mellomleggsplaten mellom skinne og sville

Fremgangsmåte for beregning av de dynamiske krefter

Fremgangsmåten for dimensjonering av de dynamiske krefter blir :

1. Velge dimensjonerende hastighet : V (km/h)

2. Beregne en hastighetsavhengig faktor:

For godstog benyttes formelen:

$\nu =1,0+{V-60 \over 140}\geq 1,0$

(4.173)

• for hastigheter i intervallet 60 < V < 200 km/h
• for V ≤ 60 km/h fastsettes L = 1,0

For passasjertog benyttes formelen:

$\nu =1,0+{V-60 \over 380}\geq 1,0$

(4.174)

Grunnen til forskjellen i de to formlene er at boggiene i passasjervogner er mye bedre enn i godsvogner.

3. Velge faktor for sporstandard:

k = 0,10 for meget god sporstandard

k = 0,20 for middels god sporstandard

k = 0,30 for dårlig sporstandard

4. Beregne standardavviket:

$s=k\cdot \nu$

(4.175)

5. Velge statistisk sikkerhet :

t = 3 som betyr en statistisk sikkerhet lik (99,70 + 0,15) % = 99,85 %

t = 2 som betyr en statistisk sikkerhet lik (95,00 + 2,50) % = 97,50 %

t = 1 som betyr en statistisk sikkerhet lik (68,30 + 15,85) % = 84,15 %

6. Beregne ekstremfaktor:

$d=(1,0+t\cdot s)$

(4.176)

Med ekstremfaktor d kan følgende snittstørrelser beregnes i dynamisk tilstand, dvs. summen av kvasistatisk og dynamisk tilstand:

• Den vertikale dynamiske hjulkraft:

$Q_{EKSTREM}=Q_{KV.STAT.}\cdot d$

(4.177)

• Moment i skinnen:

$M_{EKSTREM}=M_{KV.STAT.}\cdot d$

(4.178)

• Spenning i u.k. midt på skinnefoten:

$\sigma _{U.K.MIDTPAFOT,EKSTREMT}=\sigma _{U.K.MIDTPAFOT,KV.STAT.}\cdot d={M_{EKSTREM} \over W_{U.K.FOT}}$

(4.179)

Evt. kan med kjent motstandsmoment også spenninger på andre steder på skinnetverrsnittet beregnes, f.eks. i o.k. skinnehode.

• Ballasttrykket:

$p_{EKSTREM}=p_{KV.STAT.}\cdot d=C_{RES.}\cdot y_{KV.STAT.}\cdot d$

(4.180)

• Støttepunktkraftenfor dimensjonering av svillen:

$S_{EKSTREM}=S_{KV.STAT.}\cdot d=b\cdot sv\cdot p_{KV.STAT.}\cdot d=b\cdot sv\cdot C_{RES.}\cdot y_{KV.STAT.}\cdot d$

(4.181)

Tilleggsspenninger

I tillegg til ovennevnte spenninger grunnet fremføring av det rullende materiell på sporet vil det alltid opptre egenspenninger i skinnetverrsnittet. Disse spenningene fremkommer under produksjonsprosessen av skinnene. I u.k. midt på skinnefoten vil disse egenspenningene være strekkspenninger og de kan fastsettes til:

$\sigma _{EGENSPENNING}=100-200\ [N/mm^{2}]$

(4.182)