Termisk dimensjonering av ledere

__NUMBEREDHEADINGS__

Hensikt og omfang

I dette dokumentet er det utarbeidet en grunnleggende teoretisk beskrivelse termisk dimensjonering av ledere.

Grunnleggende krav

Generelt

Det grunnleggende kravet for termisk dimensjonering av en leder, er hvor høy temperatur det er akseptabelt å utsette lederen for. Det varierer med bruksområde og materialtype.

• For ledere som er avspent under mekanisk strekk er det risiko for at høy temperatur varig svekker den mekaniske styrken. Dette begrenser maksimal temperatur som lederen får utsettes for.
• For fast avspente ledere vil høy temperatur føre til stor pilhøyde og dermed liten klaring mot omgivelsene.
• For loddavspente ledere, som kontakttråden og bærelina, vil høy temperatur kunne føre til at loddene beveger seg for langt ned mot bakken. Ved dimensjonerende temperatur begrenser dette hvor lange ledningsparter som kan benyttes.
• For kabler og isolerte ledere vil for høy temperatur skade isolasjonen.
• Uisolerte jord- og utjevningsledere er ofte ikke utsatt for mekanisk strekk, og for slike ledere er det akseptabelt med en høyere ledertemperatur. Praktisk begrenses temperaturen av faren for brann i materialer som lederen er i dirkte kontakt med. Dersom lederen er utsatt for direkte berøring kan det også være nødvendig å ta høyde for fare for forbrenning.
• For uisolerte ledere er det fare for at langvarig overtemperatur kan føre til akselerert korrosjon.

Krav til maksimal temperatur for ledere

<figtable id="tab:Temperaturgrenser">

Temperaturgrenser i henhold til standarder

Bruk	Standard	Materiale	Temperatur kontinuerlig [°C]	Temperatur inntil 30 minutter [°C]	Temperatur inntil 1 sekund (kortslutning) [°C]	Kommentar
Opphengt kontaktledning	EN 50119	Kobber med normal og høy styrke og med god ledningsevne	80	120	170	Høyeste tillatte temperatur for mekanisk styrke til kontaktledningsanlegget.
		Kobberlegering med sølv	100	150	200
		Kobberlegering med tinn	100	130	170
		Kobberlegering med magnesium/bronse (0,2)	100	130	170
		Kobberlegering med magnesium/bronse (0,5)	100	150	200
		Aluminiumslegeringer	80	-	130
		ACSR/AACSR (Stålforsterket aluminium, Feral)	80	-	160
Opphengte, fast avspente ledere	IEC 60865-1	Kobber, aluminium og aluminiumslegeringer	-	-	200	Standarden angir at temperaturene vil kunne føre til en neglisjerbar reduksjon i mekanisk styrke som erfaringsmessig ikke er stor nok til å påvirke anleggets drift.
		Stål	-	-	300
Uisolerte ledere som ikke er utsatt for mekanisk strekk	NEK 440 (EN 50522) NEK 445 (EN 50341-1)	alle materialer	-	-	300	Reell begrensning for uisolerte ledere for jording og utjevning er den temperaturen der materialer i kontakt med lederen kan selvantenne, det er typisk i området 300 - 500 °C for løv og annet biologisk materiale. 300 °C blir ofte brukt som dimensjoneringsgrunnlag, og det gir noe marginer. Begrensningen for selve ledermaterialet ligger ved smeltepunktet på 1084,6 °C for kobber, 660,3 °C for aluminium, og 1538 °C for jern (legeringer vil avvike fra de angitte verdiene).
Kabler og isolerte ledere	IEC 60205-1	Ledere med PVC-isolasjon	70	-	160	Isolasjonen begrenser maksimal ledertemperatur
		Ledere med isolasjon i XLPE (tverrbundet polyetylen) eller EPR/HEPR (polyetylenpropylen-gummi)	90	-	250
	IEC 60205-2	Kabler mellom 1 og 36 kV med XLPE isolasjon	90	-	250

</figtable>

For uisolerte ledere som ikke er utsatt for mekanisk strekk angir ikke standardene en maksimal temperatur for normal drift. I det videre er det antatt en tillatt maksimal kontinuerlig ledertemperatur på 100 °C for slike ledere. Konsekvensen ved overtemperatur er liten, slik at det her ikke er nødvendig å bruke gjennomgående konservative antakelser.

Varmebalanse

Ved beregning av temperatur i en leder må lederens varmebalanse legges til grunn. Varmebalansen angir at akkumulert varme i en leder er lik summen av all tilført varme minus summen av all avkjøling for lederen:

<equation id="eqn:Varmebalanse"> ${\frac {d\mathrm {E} }{d\mathrm {t} }}=P_{el}+Q_{sol}-Q_{str}-Q_{konv}-Q_{kond}$

Varmebalanse </equation>
Likningen er grunnlaget for termiske beregninger for:

• kontinuerlig strømføringsevne,
• dynamisk beregning av ledertemperatur ved varierende parametre - normalt varierende strømbelastning, og
• oppvarming ved kortslutning.

I vedlegg A er hvert av leddende i varmebalansen beskrevet detaljert for en rund leder. <figtable id="tab:Symbolforklaring Varmebalanse">

Symbolforklaring, varmebalanse per løpende meter for lederen

Symbol	Enhet	Forklaring
E	J/m	Netto termisk energi i ledermaterialet
t	s	Tid
Pel	W/m	Tilført elektrisk varme
Qsol	W/m	Tilført solvarme (for leder i luft)
Qstr	W/m	Avgitt strålingsvarme til omgivelsene (for leder i luft)
Qkonv	W/m	Avgitt konvektiv varme til omgivelsene (for leder i luft)
Qkond	W/m	Avgitt konduktiv varme til omgivelsene (for leder i jord)

</figtable>

Kontinuerlig strøm

For beregning av kontinuerlig strømføringsevne tas det utgangspunkt i varmebalansen i <xr id="eqn:Varmebalanse" />, der man setter det tidsderiverte leddet dE/dT lik 0, og utvide den elektriske varmen P_el = r_T·I². Da finner man følgende uttrykk for den kontinuerlige strømmen som gir en gitt temperatur:

<equation id="eqn:Kontstrom"> $I={\sqrt {{\frac {1}{r_{T}}}\cdot \left(Q_{str}+Q_{konv}+Q_{kond}-Q_{sol}\right)}}$

Kontinuerlig strøm </equation>
I dette uttrykket må resistansen r_T og alle varmestrømmene evalueres ved tillatt maksimal ledertemperatur T_leder. Dette er gjort for utvalgte uisolerte ledere i vedlegg A, og resultatet er vist i <xr id="tab:Varmestrom" />. Det ligger flere forutsetninger til grunn. De benyttede forutsetningene er rimelige for jordledere og utjevningsforbindelser.

• Maksimal kontinuerlig ledertemperatur er satt til 100 °C for alle ledere.
• For leder i luft er vindhastigheten satt til 0,3 m/s og dimensjonerende omgivelsestemperatur er satt til 25 °C.
  • Standarden IEC 60287-3-1 angir 25 °C som dimensjonerende omgivelsestemperatur i luft for termisk dimensjonering av kabler i Norge. Faktisk omgivelsestemperatur vil sannsynligvis overstige dette noen dager i året. Konsekvensen av en kortvarig overtemperatur i lederen som følge av dette vurderes vanligvis som akseptabel.
  • 0,3 m/s antas å være rimelig for ledere som er forlagt nær eller på bakken; antas rimelig for utjevningsforbindelser.
• For leder i jord er dimensjonerende omgivelsestemperatur og 17 °C, jordsmonnets termiske ledeevne er satt til 0,5 W/(m·K), og dybden er satt til 0,5 m (dypt er konservativt for stasjonære forhold).
  • Standarden IEC 60287-3-1 angir 17°C som dimensjonerende omgivelsestemperatur i jord for termisk dimensjonering av kabler i Norge.

<figtable id="tab:Varmestrom">

Varmeflyt og lederresistans for uisolert leder i luft og i jord ved 100 °C ledertemperatur

	Varmestrøm Beregnet i Lenke: Vedlegg A [W/m]				Lederresistans [10 -4 Ω/m]
Ledertverrsnitt [mm2]	Qkonv leder i luft	Qkond leder i jord	Qstr leder i luft	Qsol leder utsatt for sol	Cu	Al	Stål
50	41,7680	47,2027	2,4487	5,0267	4,6979	7,4606	50,688
70	45,4945	48,6855	2,8973	5,9476	3,3556	5,3290	36,206
95	49,21916	50,1143	3,3753	6,9288	2,4726	3,9267	26,678
120	52,3119	50,2652	3,7935	7,7873	1,9575	3,1086	21,120

</figtable>

Med utgangspunkt i de beregnede varmestrømmene og lederresistansen ved høyeste tillatte kontinuerlige temperatur, er kontinuerlig strømføringsevne for de aktuelle lederne beregnet i <xr id="tab:Kont_stromforingsevne" />

<figtable id="tab:Kont_stromforingsevne">

Beregnet kontinuerlig strømføringsevne for uisolerte ledere som ikke er utsatt for mekanisk stress.

Ledertverrsnitt [mm2]	Forlagt i jord [A]			Forlagt i luft* [A]
	Cu	Al	Fe	Cu	Al	Fe
50	317	**	97	312	248	95
70	381	**	116	387	307	118
95	450	**	137	470	373	143
120	512	**	156	547	434	166
* Verdiene er beregnet ved eksponering for sol. For ledere som forlegges beskyttet mot sol, økes strømføringsevnen med ca 7 %. ** Uisolert aluminium kan ikke forlegges direkte i jord på grunn av fare for korrosjon.

</figtable>

Kortslutningsstrøm

Generelt

En kortslutning har kort varighet. Oppvarming av en leder under så raske forhold kan antas som adiabatisk, det vil si at andre varmestrømmer (oppvarming og avkjøling) enn den elektriske under kortslutningsforløpet neglisjeres. All tilført energi under kortslutningsforløpet går da til å varme opp ledermaterialet.

For å beregne temperaturøkningen i en leder under en kortslutning tar man igjen utgangspunkt i varmebalansen for lederen i <xr id="eqn:Varmebalanse" />, og setter alle andre varmestrømmer enn P_el lik 0. Da får man:

<equation id="eqn:kortslutning_varmebalanse">

${\frac {dE}{dt}}=P_{el}$ </equation> Som vist i vedlegg A kan uttrykket utvides til: <equation id="eqn:kortslutning_varmebalanse2"> $m\cdot c_{p}\cdot {\frac {dT}{dt}}=r_{ref}\cdot \left[1+\alpha \cdot \left(T-T_{ref}\right)\right]\cdot I^{2}$ </equation> Fordi temperaturen, og dermed resistansen, ikke er konstant under kortslutningsforløpet, men øker jevnt, blir dette en differensiallikning. Differensiallikningen kan separeres med hensyn på temperaturen T og tiden t, og så integreres over kortslutningsforløpet: <equation id="eqn:kortslutning_varmebalanse3"> $\int _{\theta _{i}}^{\theta _{f}}{\frac {1}{1+\alpha \cdot \left(T-T_{ref}\right)}}dT=\int _{t_{0}}^{t_{0}+t_{f}}{\frac {r_{ref}\cdot I^{2}}{m\cdot c_{p}}}dt$ </equation> Her er

• θ_i ledertemperaturen før kortslutning,
• θ_f er ledertemperaturen etter kortslutning, og
• t_k er varigheten av kortslutningen.

I denne utledningen antar vi at strømmen I og alle parametrene er konstante under kortslutningsforløpet. Løsningen for integralene er: <equation id="eqn:kortslutning_varmebalanse3"> ${\frac {1}{\alpha }}\cdot \ln {\left({\frac {\theta _{f}+{\frac {1}{\alpha }}-T_{ref}}{\theta _{i}+{\frac {1}{\alpha }}-T_{ref}}}\right)}={\frac {r_{ref}}{m\cdot c_{p}}}\cdot t_{f}\cdot I^{2}$ </equation> Dette resulatet kan ordnes slik at man finner ledertemperaturen etter kortslutning som funksjon av ledertemperatur før kortlsutning og kortslutningsstrøm: θ_f = f(θ_i,I): <equation id="eqn:kortslutning_varmebalanse5"> $\theta _{f}=T_{ref}-{\frac {1}{\alpha }}+\left(\theta _{i}+{\frac {1}{\alpha }}-T_{ref}\right)\cdot e^{{\frac {\alpha \cdot r_{ref}}{m\cdot c_{p}}}\cdot t_{f}\cdot I^{2}}$ </equation> I mange tilfeller vil man heller ordne resultatet slik at man finner tillatt maksimal kortslutningsstrøm som funksjon av tillatt maksimal ledertemperatur etter kortslutning, og ledertemperatur før kortslutning: I = f(θ_i,θ_f): <equation id="eqn:kortslutning_varmebalanse4"> $I={\sqrt {{\frac {m\cdot c_{p}}{\alpha \cdot r_{ref}\cdot t_{f}}}\cdot \ln {\left({\frac {\theta _{f}+{\frac {1}{\alpha }}-T_{ref}}{\theta _{i}+{\frac {1}{\alpha }}-T_{ref}}}\right)}}}$ </equation> Den angitte formelen i NEK 440 og i NEK 445 for oppvarming av en leder under kortslutning er en forenkling av dette uttrykket, der T_ref er satt til 0 °C, og lederens masse og resistans er erstattet med lederens tetthet, resistivitet og tverrsnittsareal. Angivelsen av kortslutningsstrømmer i Teknisk regelverk er gjort i henhold til den forenklede formelen i NEK 440 og i NEK 445. <equation id="eqn:kortslutning_NEK440"> $I=A\cdot K\cdot {\sqrt {\frac {\ln {\left({\frac {\theta _{f}+\beta }{\theta _{i}+\beta }}\right)}}{t_{f}}}}$ </equation> <figtable id="tab:Symbolforklaring kortslutning NEK 440">

Symbolforklaring for beregning av kortslutningsstrøm etter NEK 440/NEK 445

Symbol	Enhet	Forklaring
I	A	Kortslutningsstrøm, effektivverdi
A	mm2	Lederens tverrsnittsareal
tf	s	Varighet for kortslutning
θi	°C	Ledertemperatur før kortslutning
θf	°C	Ledertemperatur etter kortslutning
β	°C	Materialkonstant, angitt i NEK 440 til: 234,5 for kopper, 228 for aluminium, 202 for stål
K	${\frac {A\cdot {\sqrt {s}}}{mm^{2}}}$	Materialkonstant, angitt i NEK 440 til 226 for kopper, 148 for aluminium, 78 for stål

</figtable>

Beregningsforutsetninger

Kortslutningsstrømmens varighet

Kortslutningsstrømmens varighet er gitt av vern. I kontaktledningsanlegg benyttes hurtige vern som kopler ut kortslutningsstrøm fort. Generelt kan det legges til grunn en frakoplingstid for store kortslutningsstrømmer på 0,1 s. I noen tilfeller kan det gjenstå en kortslutningsstrøm i inntil 0,2 s etter dette, og for eldre anlegg enda noe lengre. Slike strømmer fører til svært liten oppvarming sammenliknet med strømmen som går de første 0,1 s. Ved utarbeidelse av kravene i Lenke: Teknisk regelverk, Felles Elektro, Generelle tekniske krav er det lagt til grunn at strømmen de siste 0,2 sekunder av et kortslutningsforløp er 1/3 av strømmen de første 0,1 sekunder. Dette er benyttet videre her.

Ledertemperatur før kortslutning

Beregningene gjøres med en ledertemperatur før kortslutning på 25 °C for ledere som normalt er ubelastet, og 70-100 °C for ledere som normalt er belastet (høyeste tillatte ledertemperatur ved normal drift).

Resultater

I Lenke: Teknisk regelverk, Felles Elektro, Generelle tekniske krav er det angitt dimensjonerende kortslutningsstrømmer for hele landet for termisk dimensjonering av ledere for jording og utjevning:

<figtable id="tab:Dimensjonerende_kortslutningsstrommer">

Dimensjonerende kortslutningsstrøm for termisk dimensjonering

Område	Subtransient kortslutningsstrøm [A]	Dimensjonerende kortslutningsstrøm 0,1 sekund [A,eff]	Dimensjonerende kortslutningsstrøm 0,3 sekunder Ith0,3 [A,eff]
Koblingshuset Oslo S	31 500	37 800	23 400
Oslo-området	25 000	30 000	18 600
Ofotbanen	20 000	24 000	14 900
Resten av landet	12 500	15 000	9 300

</figtable>

Følgende maksimale termiske kortslutningsstrøm er beregnet for ulike ledere:

<figtable id="tab:Kortsl_stromforingsevne">

Maksimal kortslutningsstrøm for ledere som ikke fører driftsstrøm.

	Maksimal kortslutningsstrøm $I_{th0,3}$ [kA]
Ledertverrsnitt mm2	Uisolert leder tillatt sluttemperatur $\theta _{f}$ = 300 °C			Isolert leder (XLPE eller EPR/HEPR) tillatt sluttemperatur $\theta _{f}$ = 250 °C			Isolert leder (PVC) tillatt sluttemperatur $\theta _{f}$ = 160 °C
	Cu	Al	Stål	Cu	Al	Stål	Cu	Al	Stål
50	17,54	11,59	6,34	16,30	10,78	5,91	13,35	8,84	4,86
70	24,55	16,22	8,88	22,82	15,09	8,27	18,69	12,37	6,81
95	33,32	22,02	12,05	30,97	20,48	11,23	25,37	16,79	9,24
120	-	-	15,22	-	-	14,18	-	-	11,67
I tabellen er det forutsatt en omgivelsestemperatur på 25 °C uten soloppvarming. For ledere som belastes med driftsstrøm, forutsettes det en ledertemperatur før kortslutning på 100 °C for uisolerte ledere, 90 °C for ledere med XLPE eller EPR/HEPR isolasjon, og 70 °C ledere med PVC isolasjon. For ledere som belastes med driftsstrøm, reduseres maksimal kortslutningsstrøm $I_{th0,3}$ med omtrent: * 20 % for uisolerte ledere, * 25 % for ledere isolert med XLPE (tverrbundet polyetylen) / EPR/HEPR (polyetylenpropylen-gummi), og * 40 % for ledere isolert med PVC.

</figtable>

Varierende strømbelastning

Strømbelastning av ledere i kontaktledningsanlegg og tilknyttede anlegg karakteriseres av stor belastningsvariasjon, med kortvarig høye belastningstopper og lange perioder med lav belastning. Under slike forhold kan strømbelastningen være større enn den beregnete kontinuerlige strømføringsevnen under slike belastningstopper, uten at grenseverdien for ledertemperatur overskrides. Ved dimensjonering av elektriske jernbaneanlegg blir det, ofte på bakgrunn av trafikksimuleringer, utarbeidet en dimensjonerende strømkurve for de mest kritiske lederne. Denne strømkurven kan brukes til å beregne maksimal ledertemperatur.

Vi tar igjen utangspunkt i varmebalansen i <xr id="eqn:Varmebalanse" />, og skriver om uttrykket slik at dT/dt blir isolert på venstre side av likhetstegnet:

<equation id="eqn:transientmodell"> ${\frac {d\mathrm {T} }{d\mathrm {t} }}={\frac {1}{m\cdot c_{p}}}\cdot \left(P_{el}+Q_{sol}-Q_{str}-Q_{konv}-Q_{kond}\right)$ </equation>

En numerisk beregning av ledertemperaturen innebærer at det gjennomføres en beregning av alle varmestrømmene ved en gitt tid og ledertemperatur, og ubalansen i varmestrømmene i det aktuelle tidsskrittet brukes til å beregne ledertemperaturen ved neste tidsskritt. Det finnes flere metoder for å gjøre slike beregninger:

<figtable id="tab:Integrasjonsmetoder">

Integrasjonsmetoder

Metode	Vurdering	Lenke
Eulers metode RK1	Den enkleste metoden Kan enkelt implementeres i regneark Må bruke korte tidsskritt for å begrense avrundingsfeil	Wikipedia: [Euler's method]
Heuns metode, modifisert Eulers metode RK2	Mer kompleks metode Mer omfattende implementering i regneark; script er mer hensiktsmessig Avrundingsfeilene blir mindre og metoden kan derfor brukes med større tidsskritt	Wikipedia: [Heun's method]
Runge-Kutta-metoder, RK4	Tilgjengelig i avanserte regneverktøy, som Matlab, Scilab og Octave. Mye mindre avrundingsfeil enn Heuns metode Store tidsskritt kan benyttes slik at total regnetid reduseres. Brukes der regnetiden blir stor. Vanlig brukt i profesjonelle regneverktøy Runge-Kutta-metoden av orden 4 (RK4) er mest vanlig	Wikipedia: [Runge-Kutta methods]

</figtable>

Vedlegg A: Mekanismer for oppvarming og avkjøling av ledere

Akkumulert varme

Akkumulert varme for en leder kan uttrykkes som:

<equation id="eqn:Varmeenergi"> ${\frac {d\mathrm {E} }{d\mathrm {t} }}=m\cdot c_{p}\cdot {\frac {d\mathrm {T_{leder}} }{d\mathrm {t} }}$

</equation>
<figtable id="tab:Symbolforklaring Varmeenergi">

Symbolforklaring

Symbol	Enhet	Forklaring
m	kg/m	Ledermaterialets masse
cp	J/(kg·K)	Varmekapasitet for ledermaterialet
Tleder	°C	Ledertemperatur

</figtable>

Dette leddet blir 0 ved beregning av kontinuerlig strømføringsevne fordi temperaturen og varmeenergien i lederen er konstant. Leddet er viktig ved angivelse av overbelastningsevne, fordi det angir hvor fort temperaturen i lederen øker.

Elektrisk varme

Elektrisk tilført varme P_el er gitt av:

<equation id="eqn:Elvarme"> $P_{el}=r_{T}\cdot I^{2}$

Elektrisk varme </equation>
<figtable id="tab:Symbolforklaring_Elvarme">

Symbolforklaring, elektrisk oppvarming av leder

Symbol	Enhet	Forklaring
Pel	W/m	Tilført elektrisk varme
rT	Ω/m	Resistans ved ledertemperatur
I	A	Strøm i lederen

</figtable>

Resistansen r_T endres med med ledertemperaturen. Temperaturavhengigheten for resistiviteten til et materiale er vanligvis angitt ved temperaturfaktoren for resistivitet α. Denne angivelsen er en linearisering som er gyldig for moderate temperaturvariasjoner rundt en referansetemperatur T_ref. Vanlig referansetemperatur er 20 °C, og EN 50149 angir at resistansen for de metaller som standarden dekker kan antas lineær for temperaturer mellom -50 °C og +100°C. Formelen kan med en noe større unøyaktighet i resultatet anvendes også utenfor det angitte temperaturintervallet.

<equation id="eqn:temp_resistans"> $r_{T}=r_{ref}\cdot \left[1+\alpha _{ref}\cdot \left(T_{leder}-T_{ref}\right)\right]$

</equation>
<figtable id="tab:Temperaturfaktor for resistivitet">

Symbolforklaring, temperaturfaktor for resistivitet

Symbol	Enhet	Forklaring
rref	Ω/m	Resistans målt ved angitt referansetemperatur Tref
αref	1/K	Temperaturfaktor for resistivitet ved angitt referansetemperatur Tref
Tref	K	Referansetemperatur som rref og α er angitt ved for et ledermateriale.
Tleder	K	Ledertemperatur

</figtable>

<xr id="tab:Temperaturparametre"/> angir resistivitet og temperaturfaktor for ulike ledermaterialer.

<figtable id="tab:Temperaturparametre">

Resistivitet og temperaturavhengighet for ledermaterialer, som angitt i [2]

Material	Resistivitet ρE [Ω·mm2/m]	Temperaturkoeffisient α [1/K·10-3]	Referansetemperatur Tref [°C]
Kopper Cu	0,01777	3,80	20
Aluminium AL1	0,02826	4,00	20
Stål St1	0,192	4,00	20
Bronse BZII	0,02778	3,78	20
Kopper CuAg0,1	0,01777	3,80	20

</figtable>

Solinnstråling

Ledere som forlegges i sol tilføres strålingsvarme. Ulike materialer har ulik absorpsjonsevne for solstråling, dette hensyntas med absorpsjonskoeffisienten α_s.

<equation id="eqn:Sol"> $Q_{Sol}=S_{sol}\cdot D_{leder}\cdot \alpha _{s}$

</equation> <figtable id="tab:Symbolforklaring Sol">

Symbolforklaring

Symbol	Enhet	Forklaring
Ssol	W/m2	Dimensjonerende solvarme
αs	1	Absorpsjonskoeffisient for den aktuelle overflaten
Dleder	m	Ytre lederdiameter

</figtable>

Strålingsvarme fra solinnstråling er angitt i Lenke: Teknisk regelverk, Felles Elektro til å være:

$S_{sol}=1050{\frac {W}{m^{2}}}$

Typiske absorpsjonskoeffisienter for vanlige overflater er hentet fra referanse [2]:

<figtable id="tab:Absorpsjonskoeffisient">

Absorpsjonskoeffisient for vanlige overflater

Overflate	Cu	Aluminium	Jern, stål
halvpolert	0,15	0,08	-
matt - blank	0,24	0,23	0,45 (støpejern)
oksidert, lett forurenset	0,6	0,5	-
sterkt oksidert	0,75	0,7	0,96 (støpejern)
sterkt oksidert, forurenset	0,85-0,95	0,88-0,93	-
valset	-	-	0,65
rustet	-	-	0,61-0,81

</figtable>

Ved S_sol = 1050 W/m² og α_s=0,6 finner man følgende verdier for varme som følge av solinnstråling.

<figtable id="tab:Sol_varme">

Solinnstråling

Lederverrsnitt [mm2]	Solinnstråling Qsol [W/m]
50	5,0267
70	5,9476
95	6,9288

</figtable>

Avkjøling ved stråling

Avgitt strålingsvarme fra lederen til omgivelsene beregnes ved hjelp av Stefan-Bolzmanns lov, der det antas at

<equation id="eqn:Str"> $Q_{str}=\pi \cdot D_{leder}\cdot \sigma \cdot (\epsilon _{s}\cdot T_{leder}^{4}-\alpha _{s}\cdot T_{omg}^{4})$

</equation> <figtable id="tab:Symbolforklaring Stråling">

Symbolforklaring

Symbol	Enhet	Forklaring
Dleder	m	Ytre diameter for lederen
σ	W/(m2 · K4)	Bolzmanns konstant, σ = 5,67 · 10-8 W/(m2 · K4)
αs	1	Absorpsjonskoeffisienten til overflaten.
εs	1	Emissiviteten til overflaten. Antas å være lik absorpsjonskoeffisienten. Dette er en vanlig antakelse for ledere utendørs i luft.
Tleder	K	Ledertemperaturen i K
Tomg	K	Omgivelsestemperaturen i K

</figtable>

Ved dimensjonerende ledertemperatur på 100 °C, omgivelsestemperatur på 25 °C og ε_s = α_s = 0,6, finner man:

<figtable id="tab:Str_varme">

Varmeavgivelse ved stråling>

Lederverrsnitt [mm2]	Varmeavgivelse ved stråling Qstr [W/m]
50	2,4487
70	2,8973
95	3,3753
120	3,7935

</figtable>

Leder i jord: Konduktiv avkjøling

For en uisolert leder forlagt i jordsmonn med uniform termisk konduktivitet, angir [1] følgende likning for stasjonær konduktiv avkjøling:

<equation id="eqn:Konduktiv_kjoling"> $Q_{kond}={\frac {2\cdot \pi \cdot k_{jord}\cdot (T_{leder}-T_{omg})}{\cosh ^{-1}{(H_{leder}/R_{leder})}}}$

</equation> <figtable id="tab:Symbolforklaring kond">

Symbolforklaring

Symbol	Enhet	Forklaring
kjord	W/(m·K)	Termisk konduktivitet for jordsmonnet
Tleder	K	Ledertemperatur
Tomg	K	Omgivelsestemperatur
Hleder	m	Lederens dybde under overflaten
Rleder	m	Lederens ytre radius

</figtable>

Termisk konduktivitet for jordsmonn varierer ifølge [1] mellom 0,27 W/(m·K) for sand og over 2 W/(m·K) for ulike steinsorter. Det antas her at konduktiviteten for jernbanens underbygning vil ligge i nedre del av dette intervallet. 0,5 W/(m·K) legges til grunn.

Fordi jordsmonnet har stor varmekapasitet vil oppvarming av jordsmonnet som følge av temperaturendringer på overflaten ta lang tid, i mange tilfeller flere dager. Det kan derfor legges til grunn en gjennomsnittstemperatur over lengre tid for overflaten. IEC 60287-3-1 angir at temperatur som skal brukes i Sør-Norge er 17 °C.

<figtable id="tab:Konduktiv_kjoling">

Konduktiv kjøling for ulike ledertverrsnitt ved termisk konduktivitet på 0,5 W/(m·K) og dybde på 0,5 m

Ledertverrsnitt [mm2]	Kjøleeffekt [W/m]
50	47,2027
70	48,6855
95	50,1143
120	51,2652

</figtable>

Leder i luft: Konvektiv avkjøling

For en leder i luft er konveksjon den viktigste mekanismen for avkjøling, og også den som er mest utfordrende å behandle. Metodikken er beskrevet i referanse [1] og [2]. Framgangsmåten er at man for den aktuelle fysiske geometrien og fysiske egenskaper for luften rundt lederen ved aktuelt trykk, vindhastighet og temperatur, finner Nusselts tall, Nu. Nusselts tall er en eksperimentelt bestemt funksjon av materialegenskaper og tilstand for den aktuelle geometrien. Nusselts tall har en fast sammenheng med varmeavgivelsen.

<equation id="eqn:Konveksjon"> $Q_{konv}=\pi \cdot k_{luft}\cdot Nu\cdot (T_{leder}-T_{omg})$

</equation> <figtable id="tab:Symbolforklaring konv">

Symbolforklaring

Symbol	Enhet	Forklaring
Qkonv	W/m	Konvektiv varmeavgivelse fra lederen
kluft	W/(m·K)	Termisk konduktivitet for luft
Nu	1	Nusselts tall - eksperimentelt bestemt dimensjonsløs størrelse
Tleder	K	Ledertemperatur
Tomg	K	Omgivelsestemperatur

</figtable>

Med beregningene av Nusselts tall som er gjennomført i neste avsnitt er det funnet følgende tallverdier for konvektiv kjøling:

<figtable id="tab:Konv_Varme">

Konvektiv varmeavgivelse - vind 0,3 m/s

Ledertverrsnitt [mm2]	Nusselts tall [1]	Konvektiv kjøling Qkonv [W/m]
50	6,1258	41,7707
70	6,6723	45,4976
95	7,2186	49,2223
120	7,6722	52,3119

</figtable>

Beregning av Nusselts tall

I dette avsnittet er Nusselts tall beregnet med fri konveksjon (oppdriftseffekt) og med tvungen konveksjon (vind på tvers av lederen).

<figtable id="tab:Nu forutsetninger">

Nu - beregningsforutsetninger

Symbol	Enhet	Verdi	Tekst	Kommentar
v	m/s	0,3	Vindstyrke	Brukes ved tvungen konveksjon
Tomg	°C	25	Omgivelsestemperatur	Valgt på bakgrunn av angivelse i IEC 60287-3-1 for dimensjonering av kabler i luft i Norge
Tleder	°C	100	Ledertemperatur	Høyeste tillatte kontinuerlige ledertemperatur

</figtable>

<figtable id="tab:Nu luft">

Nu - Data for beregning av luftstrøm

Symbol	Enhet	Verdi	Tekst	Kommentar
g	m/s2	9,81	Tyngdens akselerasjon	-
Tf	K	335,65	Filmtemperatur	Gjennomsnittstemperaturen i luftfilmen tett inntil lederen. Tf = 0,5·(Tleder+Tomg)
βomg(Tf)	K-1	0,002979	Termisk ekspansjonskoeffisient ved filmtemperatur	Ved antakelse av ideell gass er dette den inverse filmtemperaturen.
k(Tf)	W/(m·K)	0,02894	Termisk konduktivitet ved filmtemperatur	Interpolert verdi fra tabell for materialegenskaper for luft i [1]
ν(Tf)	m2/s	19,47·10-6	Kinematisk viskositet ved filmtemperatur	Interpolert verdi fra tabell for materialegenskaper for luft i [1]
α (Tf)	m2/s	27,78·10-6	Termisk diffusivitet ved filmtemperatur	Interpolert verdi fra tabell for materialegenskaper for luft i [1]
Pr (Tf)	1	0,7020	Prandtls tall ved filmtemperatur	Interpolert verdi fra tabell for materialegenskaper for luft i [1]

</figtable>

<figtable id="tab:Nu leder">

Nu beregninger for leder i luft

Symbol	Enhet	Verdi 50 mm2	Verdi 70 mm2	Verdi 95 mm2	Tekst	Kommentar
A	mm2	50	70	95	Tverrsnittsareal for leder	-
D	m	7,9788·10-3	9,4407·10-3	10,998·10-3	Ytre diameter for leder	-
RaD	1	2058,18	3409,37	5390,30	Rayleighs tall (fri konveksjon)	Beregnet etter formel angitt i [1]
NuD,fri konveksjon	1	3,0445	3,4052	3,7795	Nusselts tall (fri konveksjon)	Beregnet etter formel angitt i [1]
ReD	1	122,900	145,418	169,406	Reynolds tall	Beregnet etter formel i [1] for vindhastighet på 0,3 m/s og aktuell lederdiameter.
NuD,tvungen konveksjon	1	6,0301	6,5562	7,0790	Nusselts tall (tvungen konveksjon)	Beregnet etter <xr id="eqn:Nusselts tall strømning-2" />
NuD,komb	1	6,1258	6,6724	7,2186	Nusselts tall (kombinert tvungen og fri konveksjon)	-
Qkonv	W/m	41,7680	45,4945	49,2191	Konvektiv varmeavgivelse	-

</figtable>

Formler benyttet i tabellen:
<equation id="eqn:Rayleighs tall fri konveksjon [1]"> $Ra_{D}={\frac {g\cdot \beta \cdot (T_{leder}-T_{omg})\cdot D^{3}}{\nu \cdot \alpha }}$

Rayleighs tall for rund leder i fri konveksjon [1] </equation>
<equation id="eqn:Nusselts tall fri konveksjon[1]"> $Nu_{D,\;fri\;konveksjon}=\left[0,60+{\frac {0,387\cdot Ra_{D}^{\frac {1}{6}}}{\left[1+(0,559/Pr)^{\frac {9}{16}}\right]^{\frac {8}{27}}}}\right]$ Nusselts tall for rund leder i fri konveksjon. Gyldig for Ra_D < 10¹² [1] </equation>
<equation id="eqn:Reynolds tall [1]"> $Re_{D}={\frac {v\cdot D}{\nu }}$ Reynolds tall for rund leder i luft [1] </equation>
<equation id="eqn:Nusselts tall strømning-2"> $Nu_{D,\;tvungen\;konveksjon}=0,65\cdot Re^{0,2}+0,23\cdot Re^{0,61}$ Nusselts tall i ekstern strømning som angitt i referanse [2], med henvisning til IEC 61597 </equation>
Ulike kilder gir ulike formler for Nusselts tall for tvungen konveksjon. For eksempel gir referanse [1] og [2] ulike formler. Det er her valgt å bruke formelen i referanse [2] fordi denne er spesifikt rettet mot metalliske liner med kordeller opphengt i luft. Både fri og tvungen konveksjon påvirker kjølingen. Referanse [1] beskriver at det skal beregnes et Nusselts tall for hver av disse effektene, og at de to tallene som en tilnærming kan kombineres til et felles Nusselts tall.
<equation id="eqn:Nusselts tall - kombinasjon"> $Nu_{D,\;kombinert}={\sqrt[{4}]{Nu_{D,\;fri\;konveksjon}^{4}+Nu_{D,\;tvungen\;konveksjon}^{4}}}$ Nusselts tall for kombinert kjøling fra fri og tvungen konveksjon </equation>

Referanser

[1] - Incorpera og DeWitt: Fundamentals of Heat and Mass Transfer, Fifth edition, Wiley, 2002. ISBN 0-471-38650-2
[2] - Kießling, Puschmann, Schmieder: Fahrleitungen elektrischer Bahnen - Planung, Berechnung, Ausführung, Betrieb, 3. Auflage, Publicis Publishing, 2014. ISBN 978-3-89578-407-1