Dimensjoneringsmetoder

__NUMBEREDHEADINGS__

OVERBYGNINGENS KOMPONENTER

Sporets overbygning består av flere komponenter med ulike oppgaver:

1. Skinner hvor skjøter inkluderes. Skinnene har 2 oppgaver:

• Fungere som kjørevei for det rullende materiell
• Fungere som bærebjelke for det rullende materiell

2. Befestigelsen som omfatter :

• Klemfjærer
• Mellomleggsplate
• Isolatorer

Befestigelsessystemet som enhet skal sikre et forsvarlig feste av skinnen til svillen og hindre forskyvning (skinnevandring) og velting av skinnen når det rullende materiell passerer.

Klemfjærene skal feste skinnen til svillen ved utøvelse av en nominell klemkraft. Det er av betydning at klemfjærene er konstruert slik at de har en lang oppspenningsveg. Dette er nødvendig for at klemkraften også blir tilstrekkelig stor nok ved f. eks. slitte isolatorer.

Mellomleggsplatene består av et elastisk materiale som har til oppgave å dempe spissbelastningene ved passering av det rullende materiell. Dette er spesielt nødvendig for betongsviller. Mellomleggsplatene skal også hindre skinnevandring

Isolatorene skal isolere signal- og kjørestrøm.

3. Sviller (betong- og tresviller), i svillene inngår :

• Innstøpte skuldre (ankere) i betongsviller
• Skrudde forbindelser i tresviller

Svillene må overføre krefter fra det rullende materiell til ballasten.

De innstøpte ankerne i betongsvillene og de skrudde forbindelsene i tresvillene utgjør forbindelsen mellom svillen og befestigelsen.

4. Ballast(pukk).

Ballasten skal overføre belastningene fra svillen til undergrunnen. Det må benyttes pukk og det stilles bestemte krav til dette materialet mht. fraksjonering og kornform. For å oppnå en jevn fordeling av belastningen og for å tilfredsstille kravet til ønsket sidemotstand i helsveist sporer det nødvendig at kornformen er mest mulig kubisk.

5. Sporveksler som er en spesiell overbygningskomponent med mange delkomponenter.

Sporveksler er en komponent som forbinder spor med hverandre slik at et rullende materiell uten avbrudd ved fremføring kan skifte fra et spor til et annet.

Hver av komponentene har iht. ovennevnte punkter spesielle oppgaver. Komponentene må være dimensjonert hver for seg og også i forhold til hverandre slik at sporet danner en pålitelig og sikker kjørevei for det rullende materiell. De må samlet kunne virke som en enhet.

I det etterfølgende skal de krefter som angriper sporet, belyses. Videre beskrives dimensjoneringen av de enkelte overbygningskomponentene hver for seg og samlet. Hensikten er å gi et bilde av de krav som må stilles til overbygningen for å oppnå tilstrekkelig sikkerhet og pålitelighet ved framføring av det rullende materiell.

KREFTER MOT SPORET

De krefter som virker mot sporet ved kjøring av det rullende materiell, er :

• De vertikale krefter på grunn av aksellaster.

• De laterale krefter(føringskrefter) som oppstår spesielt ved kjøring i kurver.

• Langsgående krefter som oppstår ved bremsing av det rullende materiell i

sporet.

• Langsgående krefter som forårsakes av temperaturendringer. Disse

kreftene kan i helsveist spor bli meget store.

I dette heftet behandles de vertikale og laterale krefter og hvordan disse påvirker overbygningen.

I figur 4.1nedenfor er vist hvordan de vertikale og laterale krefter normalt angriper skinnehodet på skinnen. Videre er antydet steder på skinneprofilet og på svillen som blir utsatt for store påkjenninger ved belastning.

Figur 4.1 Vertikale og laterale krefter som angriper skinnehodet. Steder på skinneprofilet samt sville som blir utsatt for store påkjenninger.

TYPER AV VERTIKALE OG HORISONTALE KREFTER

De vertikale krefter inndeles i :

• Statiske krefter på grunn av aksellaster. Disse kreftene kan betraktes som

konstant for en gitt stillestående vogn eller et stillestående lokomotiv.

• Kvasistatiske krefter som for en gitt vogn eller et lokomotiv normalt øker

med økede hastigheter, idet vesentligste på grunn av sentrifugalkraften. Dessuten er sporgeometrienav betydning.

• Dynamiske krefter som forårsakes av ujevnheter i sporet. Disse kreftene er

impuls- og vibrasjonskrefter som stiger raskt med økede hastigheter.

De horisontale krefter inndeles i :

• Kvasistatiske krefter som øker med økede hastigheter. Sporgeometrien

influerer også på størrelsen av de kvasistatiske krefter.

• Dynamiske krefter som også forårsakes av ujevnheter i sporet. Disse

kreftene stiger med økede hastigheter.

Av spesiell interesse er den såkalte styrekraft. Denne er en kvasistatisk friksjonskraft som normalt er konstant ved varierende hastigheter og er årsak til slitasje på skinnehodet.

De ulike kreftene er vist grafisk i figur 4.2.

Figur 4.2 De forskjellige krefter som funksjon av hastighet.

BEREGNING AV STATISKE KREFTER

Statisk hjulkraft

Med en gitt nominell aksellast P blir den vertikale statiske hjulkraftQ0under forutsetning av symmetri :

$Q_{0}={P \over 2}[kN]$

(4.1)

Kvasistatisk tilleggskraft

Normalt inntreffer forhold som bevirker tilleggskrefter ved framføring av det rullende materiell i sporet :

• Tilleggskrefter forårsaket av forandring av hjultrykket på grunn av

overhøyde. Disse kreftene oppstår på grunn av sentrifugalkraften og skyldes bare sporet. Ved kjøring med hastighet som er større enn den såkalte likevektshastighet, virker tilleggskreftene på ytterstreng. Ved framføring med hastighet lavere enn likevektshastigheten er det innerstreng som blir utsatt for tilleggsbelastningen.

• Tilleggskrefter forårsaket av eksentrisk belastning. Det rullende materieller

i hovedsak konstruert slik at hjulsatsen fordeler belastningen fra egenvekten likt på begge hjulene. Den eksentriske belastning skyldes derfor i det vesentligste usymmetrisk lagret godslast.

• Tilleggskrefter forårsaket av forandring av hjultrykk i vindskjevt spor. Disse

kreftene skyldes sporets geometri og vognens konstruktive utførelse. Dette betyr at vognens samlede torsjonsstivhet får betydning.

Disse tilleggskreftene benevnes samlet det kvasistatiske tillegget og uttrykkes gjerne i forhold til den statiske hjulkraft Q₀. Det kvasistatiske tillegget ÄQ antas å være i området 0,10 x Q₀< ?Q < 0,30 x Q₀ og bør vurderes for hver banestrekning. I spor med kurverike strekninger med små radier og stor overhøydeantar ?Q større verdier enn på øvrige spor. Det kvasistatiske tillegget er også en funksjon av hastigheten uttrykt gjennom sentrifugalkraften og øker med økede hastigheter.

Den kvasistatiske hjulkraft kan derved uttrykkes ved :

$Q_{KV.STAT.}=(Q_{0}+\Delta Q)[kN]$

(4.2)

I tillegg opptrer vindkrefter som på fjellstrekningene kan bli meget store. I det etterfølgende vises den statiske hjulkraft og de forskjellige kvasistatiske tilleggene.

Kraftbilde ved kjøring av det rullende materiell mot sporet

Statisk hjulkraft Q₀

Under forutsetning av fremføring av det rullende materiell med likevektshastighet blir kraftbildet som vist under. Det utledes at denne tilstanden opptrer når :

$m\cdot g\cdot \sin \alpha =m\cdot \cos \alpha \cdot {V^{2} \over R}\approx m\cdot {V^{2} \over R}$

(4.3)

hvor sin α= D/s

Da vinkelen α er meget liten, kan cos α settes lik 1,0.

Det legges merke til at komponentene m·g·sinα og m·V²/R er parallelle med sporplanet.

Figur 4.3 Kraftbilde ved beregning av statisk hjulkraft Q_o ved fremføring med likevektshastighet.

Sentrifugalkraftens innflytelse

Ved fremføring med hastighet større enn likevektshastigheten dvs. når

$\Delta Q_{(i)}=m\cdot a_{Q}\cdot {H \over s}$

(4.5)

hvor

$a_{Q}=\left({v^{2} \over R}\right)-g\cdot {D \over s}$

(4.6)

a_Q er ukompensert sideakselerasjon i sporplanet. Samtidig blir det en tilsvarende avlastning på innerstreng.

Figur 4.4 Kraftbilde ved beregning av den kvasistatiske tilleggskraft DQ på grunn av sentrifugalkraftens innflytelse. Kurve med konstant overhøyde.

Kjøring i lav hastighet

Ved fremføring med hastighet < likevektshastigheten dvs. når

$m\cdot g\cdot \sin \alpha >m\cdot {v^{2} \over R}$

(4.7)

blir innerstreng belastet med en kvasistatisk tilleggskraft som beregnes til:

$\Delta Q_{(i)}=m\cdot a_{Q}\cdot {H \over s}$

(4.8)

hvor

$a_{Q}=g\cdot {\Delta H \over s}-{v^{2} \over R}$

(4.9)

a_Q er ukompensert sideakselerasjon i sporplanet. Samtidig blir det en tilsvarende avlastning på ytterstreng.

Figur 4.5 Kraftbilde ved beregning av den kvasistatiske tilleggskraft ΔQ på grunn av lav hastighet. Kurve med konstant overhøyde.

Eksentrisk belastning

En skinnestreng kan bli belastet med en kvasistatisk tilleggskraft forårsaket av eksentrisk lagret godslast. Denne tilleggskraften beregnes til :

$\Delta Q_{(ii)}=G_{L}\cdot {e_{L} \over (2\cdot s)}$

(4.10)

hvor G_L er eksentrisk plassert godslast og e_L avstand fra vognmidt til lastens angrepspunkt.

Tilleggsbelastning på en skinne vil føre til tilsvarende avlastning på den andre skinnen.

Ved symmetrisk lagret godslast blir belastningen på begge hjulene like store og beregnes til G_L/2.

Figur 4.6 Kraftbilde ved beregning av den kvasistatiske tilleggskraft ΔQ ved eksentrisk plassert godslast.

Vindskjevt spor

I vindskjevt sporoppstår tilleggskrefter på grunn av selve vindskjevheten og vognens torsjonsstivhet. Denne tilleggskraften kan uttrykkes ved:

$\Delta Q_{(iii)}=stign\cdot C_{tA}$

(4.11)

hvor C_tA er vognens totale torsjonsstivhet uttrykt i kN/‰ . Denne faktoren kan i stor grad influeres av vognbyggeren. I formelen over betyr stign. vindskjevheten i ‰.

Det fremgår av nedenstående figur at ΔQ_(iii) forårsaker en avlastning av hjulkraften på ytre skinnestreng i det vindskjeve sporet av det hjulet som befinner seg på det laveste punktet på denne skinnestrengen. Det samme forholdet gjør seg gjeldende for hjul nr. 2.2. For øvrige hjul fører denne tilleggskraften til en økning av hjulkraften. Forholdet gjelder ved lav hastighet.

Figur 4.7 Kraftbilde ved beregning av den kvasistatiske tilleggskraft ΔQ i et vindskjevt spor. Vognens torsjonsstivhet har også betydning. Fortegnene for ΔQ angir avlastning( - ) og pålasting( + ) ved lav hastighet.

Vindkrefter

Vindkraftener en horisontal virkende kvasistatisk kraft som betyr pålasting for den ene skinnestrengen og tilsvarende avlastning for den andre skinnestrengen. Med betegnelsen H_W for vindkraft kan det for den kvasistatiske tilleggskraft mot den ene skinnestrengen utledes at:

$\Delta Q_{(V)}=H_{W}\cdot \cos \alpha \cdot {q \over s}\approx H_{W}\cdot {q \over s}$

(4.12)

da cosα kan settes lik 1,0. q er avstanden fra vognkassens tyngdepunkt til spormidt i sporplanet og s er sporvidden.

Samtidig vil den andre skinnestrengen få en tilsvarende avlastning.

Figur 4.8 Kraftbilde ved beregning av den kvasistatiske tilleggskraft Q_v på grunn av vindbelastning.

Samlet kraftbilde

I figur 4.9 gis en oversikt over en mulig lastkombinasjon av de vertikale kvasistatiske krefter samt vindkraft sammen med den statiske hjulkraftQ0i et vindskjevt spor ved lav fremføringshastighet. Fremføringshastigheten i eksemplet forutsettes å være mindre enn likevektshastigheten. Eksentrisk lagret gods bevirker for de nedenstående ligningene pålasting på indre skinnestreng:

• Hjulkraft på ytre skinnestreng av det hjulet som befinner seg lavest : Q_KV.STAT.,1.1 = Q₀ - ΔQ_{( i )} - ΔQ_{( ii )} - ΔQ_{( iii )} - ΔQ_{(V )}

• Hjulkraft på ytre skinnestreng av det hjul som befinner seg høyest : Q_{KV.STAT. ,2.1} = Q₀ - ΔQ _{( i )} - ΔQ_{( ii )} + ΔQ_{( iii )} - ΔQ_{( V )}

• Hjulkraft på indre skinnestreng av det hjulet som befinner seg forrest : Q_{KV.STAT. , 1.2} = Q₀+ ΔQ_{( i )} + ΔQ_{( ii )} + ΔQ_{( iii )} + ΔQ_{( V )}

• Hjulkraft på indre skinnestreng av det hjulet som befinner seg bakerst: Q_{KV.STAT. , 2.2} = Q₀+ ΔQ_{( i )} + ΔQ_{( ii )} + ΔQ_{( iii )} + ΔQ_{( V )}

Figur 4.9 Samlet kraftbilde av den statiske hjulkraft samt alle kvasistatiske tilleggskrefter av alle hjul og vindkraft for en to-akslet vogn i et vindskjevt spor ved lav hastighet. Lastkombinasjonen er kun en av mange mulige kombinasjoner.

ZIMMERMANNS METODE (KVASISTATISK TILSTAND)

Innledning

Mht. dimensjonering av overbygningen legges til grunn teorien for en bjelke som er kontinuerlig opplagret på et jevnt elastisk underlag og hvor bøyelinjen for denne bjelken beregnes under belastning. Bjelkens bøyelinje beskrives gjennom følgende differensialligning av 4. grad :

$E\cdot I_{X-X}\cdot \left({d^{4}w \over dx^{4}}\right)+p(x)=q(x)$

(4.13)

• E·I_{X - X} er stivheten til skinnen om den sterke akse

• w(x) er vertikal nedbøyning av skinnen ved stedet x

• q(x) er hjullasten betraktet som en jevnt fordelt last

• p(x) er det kontinuerlige kontakttrykket mellom sviller og ballastsengen

Det vises til figur 4.10.

Figur 4.10 Bjelkens bøyelinje

For selve ballastlaget kan ifølge Winkler - hypotesen følgende relasjon dannes:

$p'(x)=C\cdot w(x)$

(4.14)

hvor C er en proporsjonalitetskonstant og p’ er trykket pr. enhetsflate pr. halve sville.

Differensiallikningen beskriver forholdet pr. enhetslengde for den langsgående akse til skinnen. I en overbygning med sviller på tvers av sporets lengdeakse postulerte derfor Winkler følgende relasjon:

$p(x)=b\cdot p'(x,y)=b\cdot C\cdot w(x)$

(4.15)

b er bredden av en tenkt langsvilleoverbygning.

Den endelige differensiallikningen kan derfor uttrykkes slik:

$E\cdot I_{X-X}\cdot \left({d^{4}w \over dx^{4}}\right)b\cdot C\cdot w(x)=q(x)$

(4.16)

Anvendelse av denne teorien medfører at overbygningens tverrsvillesystem må omvandles til en langsvilleoverbygning. Dette skal belyses nærmere i etterfølgende kapitler.

Det er allerede i innledningen pekt på at skinnen skal fungere som bærebjelke og som kjøreveg.

Mht. skinnen som bærebjelke skal i det etterfølgende beskrives en metode med utgangspunkt i grunnligningen for bøyelinjen til en bjelke som er opplagret kontinuerlig på et jevnt elastisk underlag, for dimensjonering av overbygningen. Metoden kalles "Zimmermanns metode" og den ble undersøkt ved det tekniske universitetet i München i Tyskland ved "Institut für Eisenbahnbau und Strassenbau" på oppdrag fra de tyske forbundsbaner. I avhengighet av forskjellige parametre muliggjør metoden beregning av spenninger i skinnen og deformasjoner (nedsenking) av skinnen ved passering av det rullende materiell. Dimensjoneringsmetoden er et meget nyttig verktøy for bestemmelse av tillatte aksellaster som funksjon av sporets tilstand. I forbindelse med den teoretiske verifisering av "Zimmermanns metode" ble det gjennomført omfangsrike forsøk. Disse forsøkene bekrefter den anvendte teori ut fra tilgjengelige overbygningskonstruksjoner og rullende materiell på 1950 - tallet da modellen var gjenstand for stor oppmerksomhet ved tyske tekniske universitet.

Siden den gang har det vært en stor utvikling av overbygningskonstruksjoner og av det rullende materiell. Men modellen er fremdeles vel egnet til dimensjonering av overbygningen for hastigheter opp til 200 km/h og skulle derfor kunne finne anvendelse ved JBV.

Grunnleggende teori

Beregningsmetoden for fastsettelse av de totale krefter settes sammen av:

• Zimmermanns metode

• Eisenmanns metode

Zimmermannutviklet en metode for beregning av de ytre kvasistatiske belastninger forårsaket av det rullende materiell når det står stille i sporet eller framføres med lav hastighet. Omlagring av hjullastene på grunn av sentrifugalkraftensom dog er hastighetsavhengig, inngår i begrepet kvasistatisk belastning. Sporet betraktes som en kontinuerlig bjelke som hviler på et elastisk underlag.

Eisenmann bygget på metoden til Zimmermann og utviklet en modell for beregning av de dynamiske belastninger som oppstår ved framføring av det rullende materiell.

De kvasistatiske og dynamiske belastningene adderes og summen gir den totale belastning. Denne belastningen gir grunnlaget for beregning av bøyemomenter og spenninger i skinnene samt den såkalte støttepunktkraften S som betongsvillen må dimensjoneres for. Støttepunktkraftens angrepspunkt er i skinneleiene.

Utgangspunktet er som nevnt at sporet betraktes som en kontinuerlig bjelke som hviler på et elastisk underlag med gitt stivhet. Avhengig av elastisitetsforholdene i sporet vil hjulkreftene fordele seg over flere sviller. Betongsvillene plasseres på tvers i sporets lengderetning og svillene med skinner danner således et tverrsvillespor. I utviklingen av beregningsmetoden forutsetter Zimmermannat dette tverrsvillesporet gjøres om til et langsvillespor.

Metoden er dermed en tilnærmet modell av virkeligheten da skinnene har opplager i diskrete opplegg gjennom svillene. Men på grunn av krav til større aksellaster og høyere hastigheter stilles det strengere krav til overbygningen. Dette medfører bl.a. at svillene må legges med mindre svilleavstand. Med senteravstand lik 600 mm kan overbygningskonstruksjonen med god nøyaktighet betraktes som en langsvilleoverbygning.

Forutsetningene i den matematiske modell er:

• Sporet betraktes som en uendelig lang bjelke som er opplagret på et homogent og jevnt elastisk underlag

• Den uendelig lange bjelke er vektløs

• Den uendelige lange bjelke er fast forbundet med det elastiske underlaget

Det kreves 2 betingelser som settes lik hverandre (likevektsbetingelse):

• Deformasjon av det elastiske underlaget ved belastning med enkeltlast

• Nedbøyning av den uendelige lange bjelke som hviler på det elastiske underlaget

Det vises til figur 4.11.

Figur 4.11 Likevektsbetingelse i Zimmermanns metode tilsier at deformasjonen av det elastiske underlaget ved belastning med enkeltlast er i likevekt med nedbøyningen av den uendelige lange bjelke som hviler på det elastiske underlaget

Deformasjon av det elastiske underlaget ved enkeltlast Q

Utgangspunktet er Winklers hypotese om at trykket i det elastiske underlaget fra belastningen er proporsjonal med deformasjonen:

$\sigma (x)=C\cdot y(x)$

(4.17)

C er proporsjonalitetskonstanten som uttrykker fjærstivheten i det elastiske underlaget.

y(x) er deformasjonen i det elastiske underlaget ved stedet x.

s(x) er trykket i det elastiske underlaget ved stedet x.

Det vises til figur 4.12.

Figur 4.12 Winklers hypotese om at trykket i det elastiske underlaget er proporsjonalt med deformasjonen

Det defineres en bredde b til den uendelige lange bjelke. Det forutsettes videre symmetrisk fordeling av belastningen på det elastiske underlaget for bøyelinje og momentforløp på grunn av enkeltlasten Q. Det vises til figur 4.13.

_{Figur 4.13 Symmetrisk deformasjonslinje til det elastiske underlaget om enkeltlast Q}

Det er dermed tilstrekkelig å betrakte den ene halvdelen av den uendelige lange bjelke mht. bøyelinje og momentlinje om enkeltlasten Q.

Dette medfører:

${Q \over 2}=\int _{0}^{\infty }\sigma (x)\cdot bdx=\int _{0}^{\infty }C\cdot y(x)\cdot bdx$

(4.18)

Det er ønskelig å betrakte stedet x for å kunne utlede en generell beskrivelse:

${Q \over 2}=\int _{0}^{X}C\cdot y(x)\cdot bdx+\int _{X}^{\infty }C\cdot y(x)\cdot bdx$

(4.19)

Skjærkraften ved stedet x kan dermed utledes:

$Q(x)=\int _{X}^{\infty }C\cdot y(x)\cdot bdx={Q \over 2}-\int _{0}^{X}C\cdot y(x)\cdot dx$

(4.20)

$Q(x)={Q \over 2}-C\cdot b\int _{0}^{X}y(x)dx$

(4.21)

Forandring av skjærkraften over en lengdeenhet dx kan beregnes ved derivasjon:

${dQ \over dx}=C\cdot b\cdot y(x)$

(4.22)

Deformasjon av den uendelige lange bjelke

Den uendelige lange bjelke som er opplagret på det elastiske underlagt, blir utsatt for bøyning. Under forutsetning av at nøytralaksen faller sammen med arealaksen i krummningsforløpet, gjelder iht. anerkjente teorier i fasthetslæren:

$y''=-{1 \over R}=-{M \over EI}$

(4.23)

Dette gir:

${d^{2}y \over dx^{2}}=-{M \over EI}$

(4.24)

y er deformasjonen av bjelken langs lengdeaksen x.

EIer stivheten til bjelken uttrykt som produktet av elastisitetsmodulen E (N/mm²) og treghetsmomentet I(mm⁴). Det vises til figur 4.14.

Figur 4.14 Krummningsforløpet til en bjelke med stivhet lik EI

Ovenstående likning kan omskrives og løses mht. momentet:

$M=-E\cdot I\cdot {d^{2}y \over dx^{2}}$

(4.25)

Skjærkraften framkommer ved derivasjon:

$Q={dM \over dx}=-E\cdot I\cdot {d^{2}y \over dx^{2}}$

(4.26)

Ved å derivere skjærkraften framkommer deformasjonen av bjelken:

${dQ \over dx}=-E\cdot I\cdot {d^{4}y \over dx^{4}}$

(4.27)

Etablering av likevektsbetingelse

I dette avsnittet blir bøyelinjen og momentlinjen for den uendelig lange bjelke på det elastiske underlaget utledet.

De 2 uttrykkene for variasjon av skjærkraften over en lengdeenhet dx settes lik hverandre på grunn av betingelse for likevekt:

${dQ \over dx}=C\cdot b\cdot y(x)=-E\cdot I\cdot {d^{4}y \over dx^{4}}$

(4.28)

Uttrykket til venstre for likhetstegnet er deformasjonen av det elastiske underlaget. Uttrykket til høyre beskriver nedbøyningen av den uendelige lange bjelke på det elastiske underlaget.

Det ble gjort den antakelse om at den uendelige lange bjelke hele tiden er fast forbundet med det elastiske underlaget.

Likevektsbetingelsen gir følgende differensiallikning av 4. grad:

$C\cdot b\cdot y(x)=-E\cdot I\cdot {d^{4}y \over dx^{4}}$

(4.29)

$C\cdot b\cdot y(x)\cdot {1 \over E\cdot I}+{d^{4}y \over dx^{4}}=0$

(4.31)

Denne likningen er utgangspunktet for Zimmermanns metode. Den uttrykker hvordan den uendelige lange bjelke deformerer seg når den hviler på et elastisk underlag med jevn og homogen elastisitet. Det ideelle spor arbeider etter denne differensiallikningen.

Differensiallikningen har følgende randbetingelser:

$y(\infty )=0$

(4.32)

$y(0)=0$

(4.33)

$y'''(0)={Q \over 2\cdot E\cdot I}$

(4.34)

Med omskrivning gjelder:

$-C\cdot b\cdot y=EI\cdot {d^{4}y \over dx^{4}}$

(4.35)

$-y={EI \over Cb}\cdot {d^{4}y \over dx^{4}}$

(4.36)

$-4y={4EI \over Cb}\cdot {d^{4}y \over dx^{4}}$

(4.37)

For den videre utledning er det hensiktsmessig å innføre nye begreper:

$L={\sqrt[{4}]{4EI \over Cb}}$

(4.38)

dvs.

$L^{4}={4EI \over Cb}$

(4.39)

og

${x \over L}=\xi \ \ \ og\ \ \ {dx \over L}=d\xi \ \ \ \Rightarrow \ \ \ {d^{4}x \over L^{4}}=d\xi ^{4}$

(4.40)

Dette medfører:

$-4y=L^{4}\cdot {d^{4}y \over dx^{4}}=L^{4}\cdot {d^{4}y \over L^{4}\cdot d\xi ^{4}}$

(4.41)

Dette gir:

$-4y={d^{4}y \over d\xi ^{4}}$

(4.42)

Det skal vises at denne differensiallikningen har løsningen:

$y=K\cdot {\sin \xi +\cos \xi \over e^{\xi }}$

(4.43)

hvor

$\eta ={\sin \xi +\cos \xi \over e^{\xi }}$

(4.44)

dvs.

$y=K\cdot \eta$

(4.45)

Koeffisienten K må bestemmes.

Ovennevnte uttrykk kan beskrives generelt:

$f(x) \over g(x)$

(4.46)

Den deriverte av en funksjonsbrøk er gitt ved uttrykket:

${d \over dx}\left({f(x) \over g(x)}\right)={f'(x)\cdot g(x)-g'(x)\cdot f(x) \over g(x)^{2}}$

(4.47)

Det er også kjent fra matematikken at den deriverte av en sum av 2 funksjoner er gitt ved:

${d \over dx}(f(x)\pm g(x))={d \over dx}f(x)\pm {d \over dx}g(x]$

(4.48)

hvor funksjonen er definert ved:

$f(x)\pm g(x)$

(4.49)

Den 1. deriverte blir:

$y'=K\cdot \left({(cos\xi -sin\xi )\cdot e^{\xi }-(sin\xi +cos\xi )\cdot e^{\xi } \over e^{2\xi }}\right)$

(4.50)

$y'=-2K\cdot {sin\ \xi \over e^{\xi }}$

(4.51)

Av denne funksjonen utledes den 2. deriverte:

$y''=-2K\cdot {cos\xi \cdot e^{\xi }-sin\xi \cdot e^{\xi } \over e^{2\xi }}$

(4.52)

$y''=2K\cdot {cos\xi -sin\xi \over e^{\xi }}$

(4.53)

Den 3. deriverte kan også utledes:

$y'''=2K\cdot {(cos\xi +sin\xi )\cdot e^{\xi }-(sin\xi -cos\xi )\cdot e^{\xi } \over e^{2\xi }}$

(4.54)

$y'''=4K\cdot {cos\xi \over e^{\xi }}$

(4.55)

Endelig blir den 4. deriverte:

$y''\ ''=4K\cdot {-sin\xi \cdot e^{\xi }-cos\xi \cdot e^{\xi } \over e^{2\xi }}$

(4.56)

$y''\ ''=-4K\cdot {sin\xi +cos\xi \over e^{\xi }}$

(4.57)

Vi ser at antakelsen er bevist:

${d^{4}y \over dx^{4}}=y''\ ''=-4\cdot y$

(4.58)

Det er allerede innført hjelpefunksjonen:

$dx=L\cdot d\xi$

(4.59)

På grunn av symmetri om enkeltlasten Q₀ gjelder som allerede nevnt følgende likevektsbetingelse:

${Q_{0} \over 2}=b\cdot C\cdot \int _{0}^{\infty }ydx$

(4.60)

${Q_{0} \over 2}=b\cdot C\cdot L\cdot \int _{0}^{\infty }yd\xi$

(4.61)

Det er allerede definert:

$y=K\cdot \eta$

(4.62)

hvor

Dette gir:

${Q_{0} \over 2\cdot b\cdot C\cdot L}=\int _{0}^{\infty }K\cdot \eta d\xi =K\cdot \int _{0}^{\infty }\eta d\xi$

(4.63)

Integralet skal løses ved delvis integrasjon:

$K\cdot \int _{0}^{\infty }\eta d\xi =K\int _{0}^{\infty }e^{-X}\cdot (sin(x)+cos(x))dx$

(4.64)

I matematikken er gitt regler for derivasjon av et produkt:

${d \over dx}(f(x)\cdot g(x))=g(x)\cdot {d \over dx}f(x)+f(x)\cdot {d \over dx}g(x)$

(4.65)

Hvert ledd integreres:

$\int {d \over dx}(f(x)\cdot g(x))=\int g(x)\cdot {d \over dx}f(x)+\int f(x)\cdot {d \over dx}g(x)$

(4.66)

Regelen for delvis integrasjon benyttes:

$\int g(x)\cdot {d \over dx}f(x)=f(x)\cdot g(x)-\int f(x)\cdot {d \over dx}g(x)$

(4.67)

Ved hjelp av denne regelen kan integralet løses:

$I=\int _{0}^{\infty }e^{-X}\cdot (cos(x)+sin(x))dx$

(4.68)

$I=\left[-e^{-X}\cdot (cos(x)+sin(x))\right]_{0}^{\infty }-\int _{0}^{\infty }-e^{-X}\cdot (-sin(x)+cos(x))dx$

(4.69)

$I=1+\int _{0}^{\infty }e^{-X}\cdot (cos(x)-sin(x))=1+J$

(4.70)

$J=\left[-e^{-X}\cdot (cos(x)-sin(x))\right]_{0}^{\infty }-\int _{0}^{\infty }-e^{-X}\cdot (-sin(x)-cos(x))dx$

(4.71)

$J=1-I$

(4.72)

$I=1+1-I$

(4.73)

$I=1$

(4.74)

Det er utledet:

$\int _{0}^{\infty }{sin(x)+cos(x) \over e^{X}}dx=1$

(4.75)

Altså gjelder også:

$\int _{0}^{\infty }\eta d\xi =1$

(4.76)

Følgende matematiske relasjon må gjelde:

${Q_{0} \over 2\cdot b\cdot C\cdot L}=K\cdot \int _{0}^{\infty }\eta d\xi =K\cdot 1=K$

(4.77)

$y=K\cdot \eta$

(4.78)

Likningen for bøyelinjen blir:

$y={Q_{0} \over 2bCL}\cdot \eta$

(4.79)

hvor

$\eta ={sin\xi +cos\xi \over e^{\xi }}$

(4.80)

Med relasjonen

$\xi ={x \over L}$

(4.81)

blir likningen for bøyelinjen:

$y={Q_{0} \over 2bCL}\cdot e^{-{\left\vert X\right\vert \over L}}\cdot (cos\left({\left\vert X\right\vert \over L}\right)+sin\left({\left\vert X\right\vert \over L}\right))$

(4.82)

Bøyemomentets linje skal defineres:

$M=f(x)=EI\cdot \left(-{d^{2}y \over dx^{2}}\right)$

(4.83)

${d^{2}y \over dx^{2}}=2K\cdot {sin\xi -cos\xi \over e^{\xi }}=2K\cdot (-\mu )$

(4.84)

${d^{2}y \over dx^{2}}={d^{2}y \over d\xi ^{2}}\cdot {1 \over L^{2}}={2K \over L^{2}}\cdot (-\mu )$

(4.85)

Det er allerede blitt definert:

$K={Q_{0} \over 2bCL}$

(4.86)

$L^{4}={4EI \over bC}$

(4.87)

Dette gir:

$M={Q_{0}\cdot L \over 4}\cdot \mu$

(4.88)

$\mu ={sin\xi -cos\xi \over e^{\xi }}$

(4.89)

Dermed er utledet likningen for bøyelinjen:

$y(x)={Q \over 2\cdot b\cdot C\cdot L}\cdot e^{-{\left\vert X\right\vert \over L}}\cdot (cos\left({\left\vert X\right\vert \over L}\right)+sin\left({\left\vert X\right\vert \over L}\right))$

(4.90)

og tilsvarende likningen for bøyemomentet:

$M(x)={Q\cdot L \over 4}\cdot e^{-{\left\vert X\right\vert \over L}}\cdot (sin\left({\left\vert X\right\vert \over L}\right)-cos\left({\left\vert X\right\vert \over L}\right))$

(4.91)

Dimensjonerende forutsetninger

Med utgangspunkt i den nominelle aksellast P er det mulig med "Zimmermanns metode" å beregne :

• Bøyemoment i skinnen (skinnen fungerer som bærebjelke)
• Bøyespenningen i u.k. av skinne midt på skinnefoten
• Deformasjon (nedsenking) av skinnen
• Støttepunktkraftensom er den kraft som betongsvillendimensjoneres for

Ved behov kan naturligvis bøyespenninger på andre steder på skinneprofilet beregnes dersom tilsvarende treghetsmoment, evt. motstandsmoment er kjent.

Det gjøres følgende forutsetninger:

• Utgangspunktet er den kvasistatiske hjulkraft Q_{KV. STAT.} Dette betyr at dimensjoneringen foregår i kvasistatisk tilstand. Med kvasistatisk tilstand menes at det rullende materiellet er stillestående
• Det forutsettes at Q_{KV. STAT.} angriper sentrisk i skinnehodet
• Det tas ikke hensyn til langsgående krefter
• Normalt tas det ikke hensyn til laterale (horisontale) krefter
• Det forutsettes en ballasttykkelse på 300 mm under u.k. sville
• Det forutsettes belastningstrykk mot svillen som for nyjustert spor

Dimensjonerende parametre

Viktige parametre for dimensjoneringen av overbygningen er:

• Skinnens dvs. stålets elastisitetsmodul

• Skinneprofilets treghetsmoment

• Svillens (dvs. betongsville) flate

• Avstand mellom svillene

• Undergrunnens beskaffenhet (fjell, morene, leire etc.)

Beskrivelse av modellen

Iht. grunnligningen for bøyelinjen til en kontinuerlig opplagret bjelke på jevnt elastisk underlag tenkes skinnen opplagret på et fjærsystem som vist i figur 4.15. Denne modellen er utgangspunktet for dimensjoneringsmetoden til Zimmermann. Metoden muliggjør beregning av middelverdier av spenninger og nedsenking av skinnen i kvasistatisk tilstand. De beregnede middelverdier stemmer godt overens med måleverdi er som er fremkommet ved omfangsrike forsøk i sporet. Det forutsettes kjennskap til skinnens stivhet uttrykt ved elastisitetsmodulen E og treghetsmomentet I_XX og til fjærbetingelsene for skinnens opplagring. Videre representerer modellen en ideell tilstand med konstant kontinuerlig og elastisk opplagring av skinnen. Men med grunnlag i denne modellen kan det ikke gjøres noen utsagn over spredningen av måleverdiene.

Figur 4.15 Teoretisk modell for dimensjonering av overbygningen. Modellen muliggjør beregning av middelverdier av spenninger i skinnen og nedsenking av skinnen i kvasistatisk tilstand.

I figur 4.16er vist en modell som tar hensyn til den virkelige tilstanden i sporet. Det fremgår at skinnen er opplagret uregelmessig og at sporets elastisitet derved er variabel. Dette har sammenheng med at fjærbetingelsene for opplagringen av skinnen forandrer seg og at denne opplagringen på det faste underlaget dvs. undergrunnen varierer. Som funksjon av hastigheten og uregelmessigheter på skinnehodet samt på hjulene til det rullende materieller det mulig å beregne spredningene dvs. de maksimale og minimale verdier av skinnespenninger og nedsenking av skinnen i dynamisk tilstand. Utgangspunktet er Zimmermanns metode.

Det forutsettes dermed en kontinuerlig elastisk opplagring av skinnen hvor elastisiteten er variabel. Varierende elastisitet skyldes at det i ballasten er hulrom som opptrer i forskjellige størrelser i det vesentligste under svillen. Dette har sin årsak i pukkens geometriske form. Skinnens stivhet er konstant.

Figur 4.16 Modell som viser den virkelige tilstand i sporet. Modellen tar utgangspunkt i variabel elastisitet i sporet og uregelmessigheter i o.k. skinne og i hjul. Skinnens stivhet forutsettes konstant. Ved anvendelse av Zimmermanns metode muliggjør modellen beregning av minste og største verdier av spenninger i skinnen og nedsenking av skinnen.

Ballastsifferet

Vesentlig for den anvendte teori er introduksjonen av ballastsifferet C (N/mm³) som beskriver undergrunnens beskaffenhet og hvordan ballastlaget gir etter for undergrunnens egenskaper ved belastning fra det rullende materiell. Ballastsifferet kan derfor variere mht. til hvilket materiale undergrunnen består av og også mht. årstiden.

I figur 4.17 er anskueliggjort måleresultatene av nedsenkingen under et tysk lokomotiv (E 144) ved forskjellige undergrunnsarter som:

• myr
• leire
• grus
• fjell

Det er i forsøksserien forutsatt en ballasttykkelse på 30 cm under u.k. av svillen.

Figur 4.17 Bildet viser målinger avnedsenkingen av skinnen under det tyske lokomotivet E 144 ved forskjellige typer undergrunn. Tykkelsen av ballasten under u.k. av sville er i alle tilfellene 300 mm.

Det er meget interessant å legge merke til at nedsenkingen av skinnen i ballastlaget under lokomotivet er tilnærmet den samme for alle typer undergrunn.

Nedsenkingen av ballastlaget i undergrunnen varierer derimot meget. Ved bløt undergrunner nedsenkingen vesentlig større enn ved f.eks. undergrunn av fjell. Undergrunnen får også en nedsenking på grunn av ovenforliggende masser. Dette gjør seg spesielt gjeldende ved bløte masser. I det omtalte forsøket ovenfor ble det registrert nedsenking av myrete undergrunn i en dybde av 3 m under o.k. skinnehode.

Ballastsifferet kan også få varierende verdier avhengig av årstiden og ved økende belastning. Denne forandringen forårsakes av værforhold som frost og regn samt at de enkelte korn omlagres og knuses over tid på grunn av belastningen. Om vinteren kan både ballastlaget og enkelte typer jordarter i undergrunnen bli utsatt for frost. Dette fører til forandring av ballastsifferet. I Tabell 4.1er angitt den typiske forandring av ballastsifferet gjennom året. Figuren viser at under forutsetning av ballastrenset spor i oktober antar ballastsifferet en høyere verdi i november etter at 0,5 x 10⁶ tonn har passert over sporet. I desember inntreffer frost som medfører enda en økning av ballastsifferet etter at 1,0 x 10⁶ tonn har passert. I mars etterfølgende år har frosten forsvunnet og ballastlaget med undergrunnen er blitt bløtere. Dette fører til en lavere verdi for ballastsifferet. Utover sommeren synker ballastsifferet og i november antar C sin laveste verdi på grunn av mye nedbør. årsaken til den lave verdien er sannsynligvis manglende drenering.

Tabell 4.1 Tabellen angir variasjonen av ballastsifferet(Bettungszahl) gjennom årstiden. F.eks. antar ballastsifferet en høyere verdi ved frost enn i en periode med rikelig nedbør. Videre er angitt nedsenkingen av sporet. Tallene i parentes er innerstreng i en kurve.

	Nedsenking			Ballastmodul
Målinger etter a x 106 tonn ved passering (måned)	Middelverdi med mer	Standardavvik med mer	Skjevhet mm	Middelverdi N/mm3	Standardavvik N/mm3	Skjevhet N/mm3
Justering av sporet i oktober	0.08 (0.10)	0.11 (0.12)	1.46 (1.67)	0.132	0.026	0.010
a = 0,5 november	0.09 (0.07)	0.13 (0.12)	2.55 (1.97)	0.184	0.050	0.014
a = 1,0 desember (frost)	0.12 (0.15)	0.14 (0.19)	2.31 (2.23)	0.202	0.054	0.020
a = 3,3 mars (frost forsvinner)	0.09 (0.15)	0.19 (0.23)	3.30 (1.85)	0.140	0.046	0.060
a = 5,5 juli	0.16 (0.17)	0.20 (0.27)	3.27 (2.35)	0.145	0.043	0.060
a = 8,3 november	0.11 (0.13)	0.22 (0.21)	3.84 (2.58)	0.117	0.027	0.015

Ballastsifferet antar altså forskjellige verdier. Det kan variere i området fra 0,01 - 0,4 N/mm³ . I ekstreme tilfeller kan C bli enda høyere, helt opp til 0,5 N/mm³. Lav C betyr bløt undergrunnog høy C betyr hard undergrunn. Nedenfor er listet opp noen eksempler :

* C < 0,05 N/mm3	meget bløt undergrunnf. eks. myrete
* 0,05 < C < 0,15 N/mm3	fra bløt til fast leire
* 0,15 < C < 0,30 N/mm3	fast leiretil grus
* C > 0,30 N/mm3	fjell(også fjellskjæring)

Ballastsifferet er en meget viktig parameter som utøver betydelig innflytelse på de faktiske forhold i sporet og også på resultatet av dimensjoneringen ved belastning. Det er derfor meget viktig å fastsette riktig verdi av C ved å studere undergrunnen. Ballastsifferet lar seg selvfølgelig også bestemme ved eksperimentelle forsøk.

Ballastsifferet beskrives på følgende måte :

$C=tg\beta ={p \over y}[N/mm^{3}]$

(4.92)

hvor

• p = ballasttrykketved belastning fra det rullende materiell [N/mm²]
• y = nedsenking av skinnen [mm]

I figur 4.18er C vist som vinkelkoeffisienten i et p/y - aksesystem. Det er verdt å legge merke til at ballasttrykket i sin helhet først blir virksom etter litt nedsenking av svillen, vesentlig på grunn av hulrom under sville.

Figur 4.18 Bildet angir sammenhengen mellom ballasttrykket ved belastning av et vognmateriell og nedsenking av skinnen.

Ballastsifferet er vinkelkoeffisienten i koordinatsystemet. Med utgangspunkt i figur 4.18kan den statiske stivheten eller ballastsifferet i det lineære området til fjærlinjen beregnes etter følgende formel:

$C_{STAT.}={P \over y\cdot A}[N/mm^{3}]$

(4.93)

Her betyr:

• P er trykkraften [N]
• A er den medvirkende lastflate [mm²]
• y er nedsenkingen [mm]

I det ikke lineære området må det benyttes en differensiell betraktningsmåte:

$C_{STAT.}={\Delta P \over \Delta y\cdot A}$

(4.94)

Beregning av det resulterende ballastsifferet

I nyere overbygningskonstruksjoner har mellomleggsplaten mellom skinne og sville gjennomgått forbedringer mht. evnen til å redusere spissbelastningene ved passering av det rullende materiell. For eksempel har mellomleggsplaten i 10 mm gummi i knottet utførelse en sterkt forbedret evne til å ta opp støtbelastningene enn den eldre mellomleggsplaten 5 mm EVA. Begge mellomleggsplater er i bruk ved Jernbaneverket i dag.

Det er av betydning å kunne bestemme den dynamisk virksomme stivhet til den elastiske mellomleggsplaten. Iht. studier gjort i regi av ERRIi ” Study of chatacteristics of rail fastening systems – final recommendations for test methodes, ERRI D 170/RP 5 mars 1994” er vibrasjonene i lavfrekvente områder bestemmende. I rapporten anbefales å multiplisere den statiske stivhet med en faktor lik 1,5. Dette betyr at den dynamisk virksomme stivhet til Pandrol10 mm mellomleggsplate i gummi i knottet utførelse for det rullende materiell kan settes lik:

$c_{PANDROL\ GUMMI\ 10MM}=1,5\cdot 45=70kN/mm$

(4.95)

Til sammenligning er den tilsvarende dynamisk virksomme stivheten til PANDROL EVA5 mm plast lik:

$c_{PANDROL\ EVA\ PLAST}=700kN/mm$

(4.96)

Til sammenligning har den nye mellomleggsplaten til Vosslohsom benyttes på høyhastighetsbanene på konvensjonelt spor i Tyskland, en dynamisk fjærstivhetlik:

$c_{VOSSLOH}=100kN/mm$

(4.97)

Denne mellomleggsplaten er altså noe stivere enn mellomleggsplaten til Pandrol.

Det skal beregnes den resulterende stivhet og det resulterende ballastsiffer til overbygningskonstruksjonen under medvirkning av en høyelastisk mellomleggsplate i skinnebefestigelsen.

Med utgangspunkt i ballastsifferet C_BALLAST til overbygningen kan ballastlagets fjærstivhet beregnes uten å ta hensyn til mellomleggsplatens stivhet:

$c_{BALLAST}=C_{BALLAST}\cdot {F \over 2}\ (kN/mm)$

(4.98)

F er svillens belastede flate i mm². Denne flaten blir beregnet i neste avsnitt.

Overbygningskonstruksjonens resulterende stivhet c_RES. (kN/mm) under medvirkning av en høyelastisk mellomleggsplate kan beregnes. De 2 elastiske lagene – mellomleggsplaten og ballasten– kan tenkes koblet etter hverandre i en kjede. Det vises til figur 4.19.

Figur 4.19 Prinsipp for seriekobling av fjærer

Under forutsetning av udempede og frie vibrasjoneran gir litteraturen den resulterende stivhet for overbygningskonstruksjonen til å være:

${1 \over c_{RES.}}={1 \over C_{BALLAST}}+{1 \over C_{MELLOMLEGGSPLATE}}$

(4.99)

Vibrasjonene ved passering av et rullende hjul er ikke udempede iht. den strenge teori på grunn av mellomleggsplatens materiale som er gummi. Gummi demper vibrasjonene. Imidlertid bekrefter forsøk for ICE-tog i Tyskland at ovenstående formel kan benyttes med stor grad av nøyaktighet.

Den resulterende stivhet til overbygningskonstruksjonen kan omskrives til:

$c_{RES.}={c_{MELLOMLEGGSPLATE}\cdot c_{BALLAST} \over c_{MELLOMLEGGSPLATE}+c_{BALLAST}}$

(4.100)

I ovenstående formel må den dynamiske stivheten til mellomleggsplaten benyttes. For ballasten gjelder den statiske verdi.

Overbygningskonstruksjonens resulterende ballastsiffer kan dermed beregnes:

$c_{RES.}={c_{RES.} \over {F \over 2}}=2\cdot {c_{RES.} \over F}[N/mm^{3}]$

(4.101)

Mellomleggsplatens karakteristiske egenskaper får dermed betydning. Spesielt ved hard undergrunn med C_BALLAST> 0,30 -–0,40 N/mm³ blir overbygningskonstruksjonen mykere med et resulterende ballastsiffer som er betydelig mindre enn ballastens ballastsiffer ved bruk av 10 mm mellomleggsplate i gummi i knottet utførelse.

EVA Pandrol plast 5 mm med dynamisk virkende stivhet lik 700 kN/mm har nesten ingen betydning for det resulterende ballastsiffer til overbygningskonstruksjonen. Ved bruk av denne mellomleggsplaten blir i praksis:

$C_{RES.}=C_{BALLAST}$

(4.102)

Eksempel på beregning av resulterende ballastsiffer

Det skal vises ved et eksempel hvordan det resulterende ballastsiffer beregnes for en overbygningskonstruksjon med høyelastisk mellomleggsplate av type Pandrol10 mm i gummi i knottet utførelse og med ballast med tykkelse 300 mm under u.k. sville lagt på hardt underlag.

Det tas utgangspunkt i kjent teori i litteraturen med seriekobling av fjærstivheter. Kjente parametre er:

• c_{MELLOMLEGGSPLATE} = 70 kN/mm
• C_BALLAST = 0,40 N/mm³
• F = 570.000 mm²

Ballastens stivhet over belastet flate beregnes:

$c_{BALLAST}={C_{BALLAST} \over {F \over 2}}={0.40 \over {570000 \over 2}}\cdot 10^{-3}=114kN/mm$

(4.103)

Overbygningskonstruksjonens resulterende stivhet beregnes:

$c_{RES.}={c_{MELLOMLEGGSPLATE}\cdot c_{BALLAST} \over c_{MELLOMLEGGSPLATE}+c_{BALLAST}}$

(4.104)

$c_{RES.}={70\cdot 114 \over 70+114}=43.4kN/mm$

(4.105)

Dette gir følgende resulterende ballastsiffer:

$C_{RES.}={c_{RES.} \over {F \over 2}}={43.4 \over {570000 \over 2}}\cdot 10^{-3}=0.15kN/mm^{3}$

(4.106)

Overbygningskonstruksjonen er blitt vesentlig mykere. Derav følger også at nedsenkingen av skinnen og bøyepåkjenningen på skinnen er blitt større. Men med et ballastsiffer på 0.15 N/mm³ er det ingen fare for at grenseverdier mht. disse parametrene blir overskredet. Grenseverdiene er påkrevet for å sikre god kjøredynamikk og tilfredsstillende sporstabilitet samt at skinnespenningeneikke skal komme opp på et nivå som tilsvarer spenningene i utmattingstilstanden.

Langsvilleoverbygning

Dimensjoneringsmetoden forutsetter at tverrsvilleoverbygningen (svillene er lagt på tvers av skinnestrengen) gjøres om til en langsvilleoverbygning med tenkt bredde b. Med dette menes et tenkt system hvor svillene er lagt langs med skinnestrengen og at dette systemet har samme lastflate som svillenes lastflate i en tverrsvilleoverbygning. Videre forutsettes at skinnen da blir kontinuerlig opplagret på det tenkte systemet. Det vises til figur 15. Det antas at midtre del av betongsvillener opplagerfri. Forholdet tilsvarer et nyjustert spor.

Følgende betegnelser innføres :

• F = Belastet opplagerflate til svillen (mm²)
• l = Svillens lengde (mm)
• m = Lengde av ubelastet midtdel av svillen (mm)
• a = Svilleavstand (mm)
• b₁= Svillens bredde (mm)
• b = Bredde av tenkt langsvilleoverbygning (mm)

Med ovennevnte betegnelser blir den belastede opplagerflate til betongsvillen:

$F=(l-m)\cdot b_{1}[mm^{2}]$

(4.107)

Den tenkte bredde av langsvillen blir da :

$b={F \over (2\cdot a)}[mm]$

(4.108)

Figur 4.20 Beregning av belastet flate i en tenkt langsvilleoverbygning.

Beregning av grunnverdi L

For den videre dimensjonering er det nødvendig å innføre følgende parametre:

• I_X-X = Skinneprofilets treghetsmomentom den sterke akse (mm⁴)
• E = Elastisitetsmodulen til skinnestålet (N/mm²)
• C_RES. = Resulterende ballastsiffer (N/mm³)
• b = Bredde i langsvilleoverbygning (mm)

Med disse parametrene kan den såkalte grunnverdi L i langsvilleoverbygningen beregnes:

$L=\left({4\cdot E\cdot I_{X-X} \over b\cdot C_{RES.}}\right)^{1 \over 4}$

(4.109)

Figur 4.21 Bøyelinje og momentlinje for enkeltlast Q_KV.STAT .

Beregning av spenning, moment og deformasjon

Nedsenkingen av skinnen i avstand x fra lastens angrepspunkt kan uttrykkes ved følgende ligning:

$y(x)={Q_{KV.STAT.} \over 2\cdot b\cdot C_{RES.}\cdot L}\cdot \eta$

(4.110)

hvor

$\eta ={sin\xi +cos\xi \over e^{\xi }}$

(4.111)

Likeledes kan momentet i skinnen i avstand x fra angrepspunktet uttrykkes ved:

$M(x)=Q_{KV.STAT.}\cdot {L \over 4}\cdot \mu$

(4.112)

hvor

$\mu ={-sin\xi +cos\xi \over e^{\xi }}$

(4.113)

I tillegg kan spenningen i u.k. midt på skinnefoten i avstand x beregnes under forutsetning av kjent motstandsmoment for skinnen

$\sigma (x)_{U.K.MIDT\ PA\ FOT}={M(x) \over W_{U.K.FOT}}$

(4.114)

Det kan synes noe komplisert å bruke disse formlene. Det er imidlertid utarbeidet ferdige tabeller for verdiene η og μ som funksjon av ? = x/L. Med hjelp av verdiene for disse faktorene kan bøyelinjen i 4.110 og momentlinjen i 4.112 dermed relativt lett beregnes. Tabellen er vist i avsnitt 5.11.

Støttepunktkraftensom belaster betongsvillen, kan beregnes til :

$S(x)=b\cdot sv\cdot p(x)=b\cdot sv\cdot C_{RES.}\cdot y(x)$

(4.115)

Dette under forutsetning av at lasten angriper overbygningen i en avstand x fra svillen.

Direkte under enkeltlast antar hog m verdien 1. Dette gir følgende enkle formler for:

• Nedsenkning av skinnen under enkeltlast :

$y_{0}={Q_{KV.STAT.} \over 2\cdot b\cdot C_{RES.}\cdot L}$

(4.116)

• Bøyemoment i skinnen under enkeltlast :

$M_{0}=Q_{KV.STAT.}\cdot {L \over 4}$

(4.117)

• Spenning i u.k. midt på foten til skinneprofilet under enkellast :

$\sigma _{0O.K.MIDTPAFOT}={M_{0} \over W_{U.K.FOT}}$

(4.118)

Endelig kan den såkalte støttepunktkraften S beregnes som er den kraft som forårsaker belastningen på svillene :

$S_{0}=b\cdot sv\cdot p_{0}=b\cdot sv\cdot C_{RES.}\cdot y_{0}$

(4.119)

Den beregnede grunnverdi som uttrykkes ved

$L=\left({4\cdot E\cdot I_{X-X} \over b\cdot C_{RES.}}\right)^{1 \over 4}$

(4.120)

er en funksjon av ballastsifferet C_RES. , treghetsmomentet I _X-X til skinnen, skinnestålets elastisitetsmodul E og bredden b i den tenkte langsvilleoverbygning. E og I _X-X er konstanter for et bestemt skinneprofil. Videre er b en funksjon av den belastede flate til svillen samt svilleavstanden og kan dermed enkelt beregnes. Ballastsifferet beskriver undergrunnens beskaffenhet og hvordan ballastlagetreagerer på undergrunnens egenskaper. Denne faktoren er derfor den eneste parameter som må vurderes visuelt evt. fastsettes ved undersøkelser i undergrunnen. Da ballastsifferet har meget stor innflytelse på resultatet av dimensjoneringen, er det absolutt helt avgjørende at C_RES. (egentlig C _BALLAST) blir vurdert riktig. Dette krever geotekniske kunnskaper om undergrunnen.

Foruten C_RES. utøver også skinnens treghetsmoment I _{X -X} stor innflytelse.

Med hensyn til den beregnede grunnverdi L kan følgende interessante observasjoner gjøres :

• L er identisk med spennvidden for en frittbærende bjelke
• eller 2 x L er identisk med lengden av en stiv bjelke

Figur 4.22 Bildene viser hva grunnverdi L uttrykker.

Parametrene C_RES. og I_X-X påvirker deformasjonen av skinnen på følgende måte :

• Ballastsifferet C_RES.:

Liten verdi av ballastsifferet som indikerer myk undergrunn, betyr lang bøyelinje. Skinnen blir dermed hardt belastet.

Høy verdi av ballastsifferet som indikerer hard undergrunn, betyr kort bøyelinje. Dette medfører at svillen blir utsatt for store påkjenninger.

• Treghetsmomentet I_X-X

om den stive akse til skinneprofilet :

Skinne med stor bærekapasitet forårsaker lengre bøyelinje enn skinne med lavere treghetsmoment .

En kombinasjon av myk undergrunn og skinne med stor bærekapasitet gir en lang bøyelinje. Dette er illustrert i figur 4.23 under. Tilsvarende vil en kombinasjon av hard undergrunn og skinne med liten bærekapasitet bevirke liten bøyelinje. I det første tilfelle blir skinnen hardt belastet og i det andre tilfellet blir svillen utsatt for den største belastningen.

Ved å sette nedbøyningen lik 0 i ligning 4.110 blir ? lik 0. Ved å løse ligning 4.111 med Z= 0 kan det utledes at η antar verdien 2,36. Dette betyr at for η= X/L blir:

• X = 2,36 x L

som er stedet hvor bøyelinjen er lik 0.

Figur 4.23 Illustrasjon av hvordan ballastsifferet og skinneprofilets treghetsmoment influerer på bøyelinjen under belastning. Bøyelinjens nullpunkt er også vist.

Ved bløt undergrunn og stort skinneprofil kan hjullastf ra nabohjulet bidra til økt belastning og deformasjon for stedet rett under det hjulet som blir betraktet. Dette vil skje når 2,36 x L som er avstanden fra stedet for den betraktede hjullast til nullpunktet for hjullastens bøyelinje, er større enn avstanden til nabohjulet i f.eks. en boggikonstruksjon. De samlede deformasjoner og belastninger ved et slikt lastbilde må beregnes ved superposisjon, dvs. ved addisjon av lasttilfellene. Lastbilde er vist i figur 4.24.

Figur 4.24 Situasjon hvor last 2 innvirker på deformasjonen av skinnen på stedet for last 1. Tilfellet fører til økt belastning på skinnen for dette stedet.

Bøyelinjen eller nedsenkingen av skinnen for 2 laster kan da uttrykkes ved :

$y_{(X)KV.STAT.}={Q_{KV.STAT.1} \over 2\cdot b\cdot C_{RES.}\cdot L}\cdot \eta _{1}+{Q_{KV.STAT.2} \over 2\cdot b\cdot C_{RES.}\cdot L}\cdot \eta _{2}$

(4.121)

Dersom deformasjonen under enkeltlast Q_{KV.STAT. 1} skal beregnes, blir ?₁ lik 1.

Tilsvarende blir momentet eller momentlinjen:

$M_{(X)KV.STAT.}=Q_{KV.STAT.1}\cdot L\cdot {\mu _{1} \over 4}+Q_{KV.STAT.2}\cdot L\cdot {\mu _{2} \over 4}$

(4.122)

Dersom deformasjonen under enkeltlast Q _{KV.STAT. 1} skal beregnes, blir μ₁ lik 1.

Spenningen i u.k. midt på skinnefoten blir:

$\sigma _{(X)}={M_{(X)KV.STAT.} \over W_{U.K.FOT}}$

(4.123)

Støttepunktkraften S kan beregnes til:

$S_{(X)}=b\cdot sv\cdot C_{RES.}\cdot y_{(X)KV.STAT.}$

(4.124)

Det er denne kraften som benyttes til dimensjonering av betongsvillen og som forårsaker bøyemomentene i svillen.

Generelt gjelder for flere laster:

Nedbøyning:

$y_{(X)KV.STAT.}={1 \over 2\cdot b\cdot C_{RES.}\cdot L}\cdot \sum _{i=1}^{n}Q_{KV.STAT.(i)}\cdot \eta _{i}$

(4.125)

hvor

$\eta _{i}=f(\xi _{i})=f\left({X_{i} \over L}\right)$

(4.126)

Momentet:

$M_{(X)KV.STAT.}={L \over 4}\cdot \sum _{i=1}^{n}Q_{KV.STAT.(i)}\cdot \mu _{i}$

(4.127)

hvor

$\mu _{i}=f(\xi _{i})=f\left({X_{i} \over L}\right)$

(4.128)

Spenningen midt på skinnefot i u.k. :

$\sigma _{(X)KV.STAT.}={M_{(X)KV.STAT.} \over W_{U.K.FOT}}$

(4.129)

Støttepunktkraften blir:

$S_{(X)KV.STAT.}=b\cdot sv\cdot C_{RES.}\cdot y_{(X)KV.STAT.}$

(4.130)

Av formlene ovenfor fremgår at faktoren (2 x b x C_RES. x L) kan betraktes som en konstant ved samling av flere krefter over en strekning. Det er i uttrykkene ovenfor også forutsett at den kvasistatiske kraft og dermed også hjullasten varierer. Som regel vil hjullastene i en boggikonstruksjonvære like store og det kan derfor synes unødvendig å innføre Q_KV.STAT. som variabel.

Det er meget sjeldent at det må tas hensyn til flere hjullaster enn 2 i et definert lastbilde for å bestemme de maksimale belastninger. En 3-akslet boggikonstruksjon eksisterer på noen typer av lokomotiv (El14, El15, Di3, Di4) som er i bruk ved NSB i dag. Ved konstruksjon av nye lokomotiv er imidlertid trenden å lage boggikonstruksjoner med 2 aksler.

Videre forekommer det ytterst sjelden at nærmeste aksel fra nabovognen influerer på belastningene i lastbildet til boggikonstruksjonen for den vogn som blir betraktet.

Med den undergrunnen som eksisterer på banenettet til Jernbaneverket og med den avstand som finnes mellom hjulsatsenes senterlinjer i en boggikonstruksjon, vil avstanden fra hjulkraftens angrepspunkt til bøyelinjens nullpunkt (2,36 x L) som regel være mindre enn avstanden mellom hjulsatsenes senterlinjer i en boggikonstruksjon. I de overveiende fleste situasjoner er det altså tilstrekkelig å beregne deformasjoner og spenninger ved å betrakte bare enkeltlasten (ikke ta med nabolaster).

Figur 4.25 Normaltilfelle ved Jernbaneverket hvor det bare er nødvendig å betrakte en last ved deformasjonsberegninger da avstanden mellom hjulsatsene er > 2,36 L.

Sammendrag og forutsetninger

Ved utvikling av Zimmermanns metode er følgende forutsetninger lagt til grunn:

• Utgangspunktet er den nominelle aksellast P

• Den statiske hjulkraft Q₀ beregnes etter 4.1

• Den kvasistatiske hjulkraft Q_KV.STAT. beregnes etter 4.2

• Dimensjoneringen foregår i kvasistatisk tilstand. Med kvasistatisk tilstand menes at det rullende materieller stillestående, dvs. ikke i bevegelse

• Det er lagt til grunn en ballasttykkelse lik 300 mm mellom u.k. sville og formasjonsplanet

• Det forutsettes ensartet ballastlag

• Det forutsettes at den kvasistatiske hjulkraft Q_{KV. STAT.} angriper sentrisk i skinnehodet

• Det tas ikke hensyn til langsgående krefter

• Det tas ikke hensyn til laterale krefter

• Det forutsettes belastning på svillens underside som for nyjustert spor