Overslagsberegning for resonansstabilitet

Figur 14: Ekvivalent elektrisk krets som representerer del av kraftsystemet som undersøkes.

Resonansproblemer kan oppstå på grunn av ugunstig (høy) kapasitans og induktans i kraftsystemet for banestrømforsyning, lav demping (liten resistans) og uheldig samvirkning med tog. Se for øvrig artikken Stabilitet i kraftsystemet, kapittel Elektrisk Resonansustabilitet. Denne teksten er ment som en enkel veiledning for hvordan overslagsberegninger kan gjøres for hånd, det som er kalt for Separate approach i nevnte artikkel. Typisk vil det være stort innslag av kraftkabler som gjør at behovet for undersøkelser oppstår. Årsaken er at slike kabler har en senterleder omgitt av en ytre metalisk skjerm direkte tilknyttet jordpotensial. Denne konstruksjonen bidrar med mye større kapasitans enn luftisolerte ledninger i KL-anlegg.

Denne artikkelen og metoden som presenteres bygger på standarden CLC/TS 50238-2:2020, vedlegg C. Dette er en standard for signalystemer, men en ny standard EN 50388-2 (for banestrømforsyning) som enda ikke er utgitt (per 2023) vil videreføre teksten. Standardene og kravene den stiller kalles i det etterfølgende for "standarden".

En modell som den til venstre benyttes for beregningene. All resistans, kapasitans og induktans i den delen av kraftsystemet (matestrekning) som undersøkes blir i modellen erstattet av hvert sitt konsentrerte kretselement. Imidlertid er resistansen i kretsen liten og induktansen er helt dominert av generatorene, dermed ser CLC/TS 50238-2:2020 vekk fra resistans og tar med bare generatorens og transformatorenes induktans.

Analyse av driftsituasjoner

Metoden tar utgangspunkt i at det bygges opp en enkel modell for den aktuelle matestrekningen (strekning mellom to omformerstasjoner). For denne strekningen må driftsituasjoner (normal og unormal drift) kartlegges og togtyper som trafikkerer strekningen bør også være kjent. De mest kritiske driftsituasjonene vil være samtidig høy kapasitans og induktans. Dermed kan man analysere en situasjon med lengst mulig ensidig matet strekning, alle linjer (med kapasitans) innkoblet og lavest mulig omformerytelse. Det kan dermed være aktuelt å inkludere tilstøtende matestrekninger i modellen. Et forslag til fremgangsmåte er å undersøke normal driftsituasjon (med lavt, men realistisk antall omformere i drift) og deretter én eller flere unormale driftsituasjoner.

På en matestrekning som forsynes av matestasjoner som er felles for både den aktuelle og de tilstøtende strekningen, antas det at hver av stasjonene bidrar med halvparten av sin ytelse og at reaktans dermed dobles. Det vil si at om det er én omformer i drift (i hver ende av matestrekningen), betraktes en halv omformer i hver stasjon (tilsammen én omformer). I tilfeller med bare ett aggregat i drift og aktuell matestrekning er ensidig matet, betraktes bare halve omformerytelsen (dobbel reaktans). Ytterligere forklaring er gitt av emkamatik i rapporten AT system model structure and frequency responses.

Togtyper og aktivt frekvensområde

Lokomotiver og togtyper kan være aktive for visse frekvenser, se forklaring i Stabilitet i kraftsystemet, kapittel Elektrisk Resonansustabilitet. Målinger er gjort for de fleste tog og lokomotiver som trafikkerer det norske jernbenenettet. Her vises det noen eksempler:

Tog-/lokomotivtype	Aktivt	Frekvens for aktivt område [Hz]	Passive filtre
Type 69	Nei	-	Ja
Type 70	Ja	Opp til 320	Nei
El 16	Nei	-	Ja
El 18	Delvis	110 - 220	Nei
Traxx	Ja	Opp til 83,33	Ja
Tog etter standarden		Opptil 87	Ja, eller nei

Om en på en banestrekning har togmateriell som i tabellen, vil det oppstå problemer om resonansfrekvensen for kraftnettet er rundt 83 Hz (bestemt av Traxx). Det vil være fordelaktig om resonansfrekvensen til nettet kommer over 220 Hz (bestemt av El 18), i alle fall for normale driftsituasjoner (situasjon mesteparten av tiden).

For tilfeller der det forventes trafikk med kjøretøy med særlige kapasitive filtere (eks. Rc og El16 med telefilter, eller motorvognsett med høyspentkabler på taket), bør denne kapasitansen hensyntas i beregningen. Høyspenningskabler på taket av et motorvognsett kan også representere kapasitans som er så stor at den bør hensyntas. EN 50388-2 stiller også krav til hvor mye kapasitans hvert togsett kan bidra med.

Datafangst

Type og lengden av alle kraftkabler kartlegges så grundig som mulig. Lengden av kabler bør være kjent ned til nærmeste 100 m. Leverandørenes spesifikasjoner og kataloger oppgir kapasitans per lengdeenhet. Nedenfor er det angitt typiske verdier for spesifikk kapasitans. Eventuelle plastbelagte liner regnes ikke som kraftkabler som bidrar med kapasitans.

Metoden i standarden forutsetter at også kapasitans for i KL-anlegg inkluderes. Standarden oppgir typiske kapasitanser for overslagsberegninger for KL-anlegg, men egne beregninger for spesifikke anlegg kan også gjøres.

For beregninger av transiente fenomener i kraftsystemer der generatorens parametere for reaktans benyttes, er det vanlig å velge disse ut fra hvor raskt endringer skjer. Transient reaktans er en størrelse assosiert med fenomener som er over i løpet av noen sekunder, mens subtransient reaktans (x") er over på enda kortere tid. I forbindelse med resonansstabilitet undersøkes fenomener som oftest har en frekvens mange ganger større enn grunnfrekvensen. Dermed benyttes subtransient reaktans i beregningene. Ved beregning av impedans for omformere må også transformatorens verdier inngå i beregningen. Alle impedanser må regnes over til et felles spenningsnivå (15 kV). Om det er flere omformeraggregater i samtidig drift må det tas hensyn til parallellkobling av reaktanser. Reaktanser konverteres i siste instans til induktanser. Standarden beregner induktans på en indirekte måte ved at kortslutningsstrømmen legges til grunn, se avsnitt nedenfor.

For statiske omformere regnes indukstans ut på grunnlag av Thévenin-ekvivalent. Her må en ikke bruke oppgitt kortslutningsstrøm som utgangspunkt da den kan være begrenset av omformerens kontrollsystem.

Om det er filtere i kraftsystemet skal resonansefrekvens for hvert enkelt beregnes og tas med i vurderingene.

For å håndtere alle datene kan det være fordelaktig å bruke et regneark for å få oversikt og for behandling av verdiene.

Beregning etter standarden

Metoden baseres på at samlet kapasitans (C_Tot) for kraftsystemet som undersøkes er funnet. Om det forventes tog med passive filter, inngår kapasitansen til disse i C_Tot. I tillegg må en også kjenne minste (subtransiente) kortslutningsstrøm for involverte generatorer.

Laveste resonansfrekvens skal beregnes med formelen oppgitt i standarden:

$f_{res}={\frac {1}{2\pi }}\cdot {\dfrac {1}{\sqrt {L_{Shc}\cdot C_{Tot}}}}$

Der L_Shc finnes av:

$L_{Shc}={\frac {U_{0}}{I_{Shc}}}\cdot {\dfrac {1}{2\pi f_{N}}}$

Der U₀ er spenningen før kortslutning, I_Shc er kortslutningsstrøm ved hovedtransformatoren på 15 kV-nivå og f_N er frekvensen til kraftsystemet. Subtransient kortslutningsstrøm for aktuelle roterende omformere benyttes og da for kortslutning fra tomgang. Spenningen ved tomgang er vanligvis U₀ = 16,5 kV. Nedenfor viser tabellen subtransient reaktans, kortslutningsstrøm ved hovedtransformatoren på 15 kV-nivå og utregnet induktans for de roterende omformerne som benyttes i Bane NOR:

Omformertype	I"k [A]	LShc [H]
ASEA Q38 (5,8 MVA)	1764	0,0893
NEBB 7 MVA	2091	0,0754
NEBB 10 MVA	3475	0,0453
VEM 10 MVA	3288	0,0479
ASEA Q48 (10 MVA)	3475	0,0453

Standarden oppgir kapasitansen for kontaktledning med BT- og AT-system (uisolerte ledere), gjenngitt i tabell her:

Elektrisk utforming	Enkeltspor [nF/km]	Dobbelspor [nF/km]
1 x 15 kV	10–12	17–20
2 x 15 kV	12–18 for positiv fase 10–15 for negativ fase	20–24 for positiv fase 15–18 for negativ fase

For AT-system opplyser standarden om at verdiene for kapasitans i positiv og negativ fase summeres.

Det antas at disse kapasitansene også kan benyttes for de elektriske utformingene som benyttes i det norske jernbanenettet. AT-systemet som er referert til i tabellen over antas å tilsvare det som i Teknisk regelverk er omtalt som elektrisk utforming F, altså at positiv fase er det samme som KL (ikke egen PL). For elektrisk utforming E er kapasitansen beregnet til 35,5 nF/km for hele systemet referert til 15 kV-nivå.

Standarden oppgir at spesifikk kapasitans for kabler typisk er 150–240 nF/km, men at verdier helt opp til 330 nF/km forekommer. Kabeltypen TSLE 36 kV 1x400AQ har en spesifikk kapasitans på 254 nF/km, mens AXCESQ 18/30(36)kV 1x400/35 (omtalt som "hengekabel") har 270,05 nF/km.

En oppstilling av kapasitanser for KL-anlegg med forskjellige elektriske utforminger i Bane NOR i følge TRV:00390, er vist i tabellen under med alle verdiere referert til 15 kV-nivå. Om det ikke gjøres fullstendige beregninger av kapasitans for anleggene anbefales verdiene i tabellen.

Elektrisk utforming	Fremførig av AT-ledere	Enkeltspor [nF/km]	Dobbelspor [nF/km]
A og B	–	10	17
C og D	–	12	20
E	Som uisolerte ledere	35,5	42
	Som kabler	518–550	1033–1097
F	Som uisolerte ledere	22	35
	Som kabler	264–280	525–557

Vurdering av resultatene

Kravet i standarden er at f_res skal være et tall større enn f_L, omtalt som «limit frequency f_L for resonance stability». For 16,7 Hz-system oppgir standarden at f_L = 87 Hz. Standarden sier at det må legges inn margin ved overslagsberegninger, og at en frekvens på 2∙f_L =174 Hz bør legges til grunn. I tillegg bør også eksplisitte tog- og lokomotivtyper som trafikkerer banen vurderes. For eksempel i tabellen over med forskjellige togtyper må resonansfrekvensen være over 2∙320 Hz, om alle togtypene som er listet opp er aktuelle. Oppsummert må følgende være tilfredsstilt:

$f_{res}<2\cdot f_{L}\bigwedge f_{res}<2\cdot f_{tog},$

der f_tog er frekvensen til toget med høyest aktiv frekvens. I normal drift bør det være god margin mot både 2∙f_L og frekvens der de togene som vanligvis trafikkerer strekningen er aktive.

For unormale driftsituasjoner kan en vurdere sannsynligheten for at driftsituasjoner med lav resonansfrekvens kan oppstå. Om uheldig lav frekvens kan oppstå, men bare skape problemer med visse togtyper, kan en vurdere om begge hendelser har sannsynlgihet for å oppstå samtidig.

En kan også vurdere om tiltak kan gjøres. Om f.eks. alle aggregater i en omformerstasjon er i drift ved unormale driftsituasjoner, kan det være at uheldige lave resonansfrekvenser unngås.

Eksempel

Det ses her på et tilfelle med ensidig mating fra Sira omformerstasjon mot Leivoll og Kjelland, se Stabilitet i kraftsystemet, kapittel Elektrisk Resonansustabilitet. Sira omformerstasjon går i øydrift og har to aggregater (2xQ38) i drift. Eksempelet har ingen relevans for det AT-systemet som er bygget på denne delen av Sørlandsbanen, men har vært et av flere alternativer for en del år siden.

Det er mange tunneler på strekningen der det benyttes kabler for AT-lederne. Det fortutsttes kabeltype AXCESQ 18/30(36)kV 1x400/35 med kapasitans 270,05 nF/km for hver av NL og PL. Kapasitansen blir i henhold til tabellen over på 550,0 nF/km. Lengde tunneler og fri linje mellom omformerstasjoner er som vist i tabellen under med utregnede verdier for kapasitans og sum nederst.

Kategori	Lengde [km]	AT-system	Spesifikk kapasitans [nF/km]	Kapasitans [μF]
Krossen omformerstasjon	-	-	-
Fri linje	8,1	El.utf. E	35,5	0,2876
Grohei tunnel	1,99	Kabel for AT-ledere	550,0	1,0945
Fri linje	36,9	El.utf. E	35,5	1,31
Leivoll omformerstasjon	-	-	-
Fri linje	10,9	El.utf. E	35,5	0,0387
Hegebostad tunnel	8,47	Kabel for AT-ledere	550,0	4,6585
Fri linje	1,0	El.utf. E	35,5	0,0355
Kvineshei tunnel	9,07	Kabel for AT-ledere	550,0	4,9885
Fri linje	4,6	El.utf. E	35,5	0,1633
Omland tunnel	1,62	Kabel for AT-ledere	550,0	0,891
Fri linje	2,6	El.utf. E	35,5	0,0923
Gylland tunnel	5,69	Kabel for AT-ledere	550,0	3,1295
Fri linje	4,9	El.utf. E	35,5	0,1740
Voilås tunnel	1,52	Kabel for AT-ledere	550,0	0,836
Fri linje	2,7	El.utf. E	35,5	0,09585
Sira tunnel	3,11	Kabel for AT-ledere	550,0	1,7105
Fri linje	3,0	El.utf. E	35,5	0,1065
Sira omformerstasjon	-	-	-	-
Sum kapasitans Leivoll–Sira CTot	-	-	-	17,27
Sum kapasitans hele strekningen CTot	-	-	-	19,96

Det ses først på strekningen Leivoll–Sira og normal drift. Leivoll–Sira er en matestrekning med flere lange tunneler og dermed stort behov for kabler for AT-lederne. Det antas at i normal drift og flere tog på strekningen, vil alle aggregater i matestasjonene være i drift. Siden Leivoll også mater mot øst og Sira mot vest, ser en bort fra en av omformerne i hver stasjon. En bruker da induktansen for to omformere, altså halvparten av den induktansen som er oppgitt i tabellen over omformere (L_Shc=0,04465 H)

$f_{res}={\frac {1}{2\pi }}\cdot {\dfrac {1}{\sqrt {L_{Shc}\cdot C_{Tot}}}}={\frac {1}{2\pi }}\cdot {\dfrac {1}{\sqrt {0,04465\cdot 17,27\cdot 10^{-6}}}}=181Hz$

I tilfellet som undersøkes, forutsettes det ett tog med BR189-lokomotiv. I henhold til målinger er BR189-lokomotivet passivt for alle frekvenser over 90 Hz. Etter metoden som benyttes skal frekvensen 2∙f_tog = 180 Hz legges til grunn, og systemets resonansfrekvens må være større enn 180 Hz. Kravet oppfylles så vidt i normal driftsituasjon.

Så ser en på en unormal driftsituasjon der Sira omformerstasjon går i sammkjøring med Kjelland, mater ensidig mot Krossen og at Leivoll omformerstasjon ikke er i drift. En ser vekk fra KL-anlegget vest for Sira. Begge Q38-aggregatene i Sira er i drift, og etter regelen ser en bort fra det ene aggregatet. Induktansen oppgitt i tabellen for roterende omformere benyttes (L_Shc=0,0893 H). Resonansfrekvensen kan da regnes ut til:

$f_{res}={\frac {1}{2\pi }}\cdot {\dfrac {1}{\sqrt {L_{Shc}\cdot C_{Tot}}}}={\frac {1}{2\pi }}\cdot {\dfrac {1}{\sqrt {0,0893\cdot 19,96\cdot 10^{-6}}}}=119Hz$

Med denne unormale driftsituasjonen kan en ikke oppfylle kriteriet i standarden.

Et videre eksempel på kritisk lav resonansfrekvens er tilstedeværelse av et stort godstog trukket av to El 16-lokomotiver som hver har telefilterkondensatorer på 0,6 MVAr. Ut fra effektformelen Q=UI=I²X=U²/X finnes reaktansen:

$X_{filter}={\frac {U^{2}}{Q}}={\frac {15000^{2}}{0,6\cdot 10^{6}}}=85\Omega ,$

og kapasitansen:

$C_{filter}={\frac {1}{X\omega }}={\frac {1}{X\cdot 2\pi f}}={\frac {1}{375\cdot 2\cdot \pi \cdot 16,6667}}=25,465\mu F$

Hvilket gjør at total kapasitans når disse lokomotivet er til stede blir C_Tot = 17,27 + 25,465 + 25,465 = 68,2 μF. Nå undersøkes det om systemet er innenfor akseptkravet i normal driftsituasjon for Leivoll–Sira:

$f_{res}={\frac {1}{2\pi }}\cdot {\dfrac {1}{\sqrt {L_{Shc}\cdot C_{Tot}}}}={\frac {1}{2\pi }}\cdot {\dfrac {1}{\sqrt {0,04465\cdot 68,2\cdot 10^{-6}}}}=91Hz$

Om disse lokomotivene går på strekningen, vil ikke en gang kriteriet for stabilitet være oppfylt i normal drift. Med mange km med kabel for AT-ledere oppstår det altså kritiske situasjoner selv i normal driftsituasjon om visse togtyper er til stede. På denne strekningen ble også KL-anlegg med elektrisk utforming F vurdert. Utforming F ble funnet best egnet ut fra flere andre vurderinger enn bare utfordringer med resonnansfrekvens. Det ble også utført beregninger for strekningen etter metoden Complete approach.