Sandkasse/Frank/Dimensjonering-AT

Innledning

Beregning av strømflyt, termisk belastning og dimensjonering av seriekomponenter i autotransformatorsystem (AT-system) med svært stor belastning kan være utfordrende, fordi strømflyten i lederne ikke er symetrisk. For eksempel vil det på en bane med AT-system (elektrisk utforming E) og stor togtrafikk gå mer strøm i positivleder (PL) enn i negativleder (NL). Om en har elektrisk utforming F vil det gå mer størm i kontaktledningen (KL). Artikkelen her fokuserer på elektrisk utforming E.

Med stor togtrafikk menes at det på en matestrekning går så mange tog at det for det meste av tiden vil være ett eller flere tog mellom hver autotransformator (AT), eller AT-vindu. Da vil det være mye strøm som overføres enfaset (eller 15 kV-nivå) og mindre tofaset (eller på 30 kV-nivå). Desto større trafikk desto større blir denne tendensen. Motsatt vil større effekt i transitt, altså effekt som overføres fra en matestrekning til en annen eller forbi ett eller flere AT-vinduer, medføre lik strøm i PL og NL. Det vil være det samm som å si at det overføres effekt tofset.

I praksis vil problemet være størst i Oslo-området der trafikken i deler av døgnet er svært stor. Det som også kompliserer forholdene er stor effekt i transitt, altså effekt som overføres mellom matestrekninger og forbi koblingshus og matestasjoner. Metoden som det her bygges på forutsetter at det foreligger en trafikksimulering der aktiv og reaktiv effekt, samt spenning, er kjent for innmatepunktene til strekningen som skal analyseres. Det fokuseres på korte strekninger, da det først og fremst vil være korte strekninger i Oslo-området der stor trafikk og stor strømbelastning kan kreve egne analyser.

Første del av artikkelen handler om strømflyten i AT-system med få AT-vinduer. Dette brukes for å finne spesielle korreksjonsfaktorer. Deretter utledes formler for å beregne strømflyt, blant annet basert på korreksjonsfaktorer.

Idealisert undersøkelse av strømflyt i AT-edere

For å undersøke strømflyten i et AT-system med svært kort avstand mellom innmatingene (og få AT-vinduer), er det gjort noen vurderinger basert på beregninger utført av Varju i 2005. De prinsipielle undersøkelsene som er gjort i studien fra 2005 gjelder en matestrekning på 84 km matet av stive spenningskilder i hver ende. Det er 12 km mellom hver autotransformator og seksjonert kontaktledning (elektrisk utforming E). Strømflyten i negativ- (NL) og positivleder (PL) er vist som en animasjon der en kan forflytte en last (tog) som trekker konstant 500 A og se strømmen i lederne. Ut fra beregningene kan en se at:

• Fordeling av strømmen mellom lederne ikke vil være symmetrisk mellom NL og PL i det AT-vinduet der et tog befinner seg.
• I tilstøtende AT-vinduer til der toget befinner seg vil strømmene være tilnærmet symmetriske.
• Begge autotransformatorer for et AT-vindu med last vil transformere strøm.
• Når lasten står rett ved en autotransformator, vil denne transformere nesten all strøm lasten trekker. Naboenhetene i hver retning bidrar noe, rundt en tidel hver.
• Når et tog er nært en omformerstasjon går det ikke strøm i AT-lederne og ikke noe strøm overføres fra tilstøtende omformerstasjoner (forutsetter stive spenningskilder).

Fordelingen av strøm mellom AT-lederne vil generelt være bestemt av ledernes og autotransformatorenes impedans.

Strømflyt i AT-system med tre AT-vinduer

For tilfelle med en last i hvert AT-vindu kan ikke beregningene utført av Varju gi noe direkte svar på strømfordelingen. Tilfellet vil være interessant fordi det kan fortelle om strømfordelingen med stor togtrafikk og jevn fordeling av togene på hele matestrekningen. En tar her utgangspunkt i beregningene utført av Varju for en last som suksessivt flyttes fra midten av hvert AT-vindu, se figur 82.

For tilfellet øverst med lasten midt i AT-vinduet til venstre, benyttes strømflyten fra Varjus beregninger for tilfelle med en last ved km 30,0. Tilsvarende for tilfelle med en last i AT-vinduet til høyre, benyttes Varjus beregning med last ved km 54, se linjediagram tre ovenfra i figur 82. For tilfelle med last midt på matestrekningen benyttes verdier som i figur 77 over. Disse tre situasjonene for lastflyt er vist i de tre øverste linjediagrammene i figur 82. Summen av strømmene til de tre lastene finnes av superposisjonsteoremet som sier at: Den totale strømmen i en hvilken som helst del av en lineær krets tilsvarer den algebraiske summen av strømmer gitt av strømkilde hver for seg. For å bestemme summen av separate strømmer, erstattes alle andre spenningskilder med en kortslutning og alle andre strømkilder med åpne kretser. Dermed fås summen som er vist i det nederste linjediagrammet.

Strømflyt med tre tog midt i hvert AT-vindu. Sorte tall viser resulterende strøm, røde tall er strømkomponenten på 15 kV-nivå og blå er strømkomponent på 30 kV-nivå. Over autotransformatorene er belastningen vist. Her er superposisjonsteoremet anvendt i steg for å finne resulterende strøm.

Strømflyt i AT-system med to AT-vinduer

For anslag av strømfordelingen med last midt på hvert av AT-vinduene, tas det utgangspunkt i tilfellet med én last midt på AT-vinduet (se appendiks). Det forventes at på en så kort strekning som dette vil begge spenningskildene bidra nokså mye, anslagsvis med fordelingen ⅔ og ⅓ fra spenningskildene henholdsvis til venstre og høyre. Beregningene fra Varju benyttes for toget plassert ved km 30,0 etter samme ressonemang som i tilfellet i figur 84. Strømflyten for dette er vist i det øverste linjediagrammet i figuren nedenfor. Så er strømmene summert algebraisk som i det nederste linjediagrammet. Som en kan se er strømfordelingen for AT-lederne ved spenningskildene 74 % i PL og 26 % i NL.

Strømflyt med to tog midt i hvert AT-vindu. Sorte tall viser resulterende strøm, røde tall er strømkomponenten på 15 kV-nivå og blå er strømkomponent på 30 kV-nivå. Over autotransformatorene er belastningen vist. Her er superposisjonsteoremet anvendt i steg for å finne resulterende strøm.

Strømflyt i AT-system med ett AT-vindu

I figuren den er det vsit strømfordelingen for en matestrekning bestående kun av ett AT-vindu. Strømmene (sorte tall) er hentet ut fra tilfellet der toget er ved km 42,000, altså midt ut på matestrekingen og midt i AT-vinduet i beregningen til Varju. Situasjonen i beregningen til Varju er den som stemmer best overens med tilfellet her med kun ett AT-vindu med spenningskilde i hver ende. Det er (tilnærmet) ingen strøm som går i NL og all strøm overføres på 15 kV-nivå i PL.

Ingen strøm i NL kan forklares slik: Om en tenker seg at den venstre spenningskilden forsyner strøm over AT-lederne må denne transformeres opp ved den venstre autotransformatoren og ned til 15 kV-nivå ved den høyre. Motsatt vil den høyre spenningskilden transformere opp til AT-lederne ved den høyre autotransformatoren og ned ved den venstre. Strømmen som da går i NL og PL fra høyre spenningskilde vil ha samme størrelse, men motsatt fortegn av strømmen fra den venstre spenningskilden. Dermed vil disse strømmene kansellere hverandre, med resultatet null strøm i NL ved symmetriske forhold.

Strømflyt i AT-ledere med en last som trekker 1000 A rett ved autotransformatoren midt på matestrekningen. Sorte tall viser resulterende strøm, røde tall er strømkomponenten på 15 kV-nivå.

Beregning av strøm i AT-ledere og autotransformatorer i trafikksimuleringer

For tog som trekker 1000 A og beveger seg mellom to spenningskilder på en matestrekning med tre, to eller ett AT-vindu, vil strømmen fordele seg nokså ulikt mellom AT-lederne, se appendiks. Dette i motsetning til en matestrekning med mange AT-vinduer der strømmen blir jevnere. Tre ting gjør at representasjonen i kapitlene over er en sterk forenkling:

• Spenningskildene er ingen realistisk representasjon av virkelgie omformerstasjoner. I virkeligheten vil blant annet antall omformere i drift, indre impedans og spenningsregulatorer spiller inn.
• Togene trekke stor strøm visse steder (hastighetsøkning), mens de andre steder trekker de moderat (jevn hastighet, liten stigning og rulling) eller ingen strøm (rulling med liten fall) eller mater inn strøm (regenerativ bremsing i fall).
• Strømfordeling for effekt i transitt er ikke undersøkt, men en del effekt vil overføres på en matestrekning til den neste. Denne effekten fordeler seg likt mellom AT-lederne.

For de aktuelle strekningene som en ser på her vil det være stasjoner ved hver av autotransformatorene. Togene kjører ut av stasjonene og akselererer opp i hastighet rett utenfor stasjonene. Det kan derfor godt tenkes stort strømforbruk før togene kommer midt mellom autotransformatorene. Effektfordeling mellom omformerstasjonene som har sammenheng med første kulepunkt blir inkludert i modellene for trafikksimuleringene og vil være gitt i resultatene.

Strøm gjennom autotransformatorene i trafikksimuleringer

Tabellen under viser korreksjonsfaktorer kPL for å ta hensyn til usymmetrisk belastning av AT-ledere med en matestrekning bestående av ett, to eller tre AT-vinduer:

Strøm i PL og NL nærmest innmatepunktene

Leder	Tre AT-vinduer	To AT-vinduer	Ett AT-vindu
Strøm i NL	515/1500 → 0,34	260/1000 → 0,26	0/500 →0,0
Strøm i PL (kPL)	985/1500 → 0,66	740/1000 → 0,74	500/500 →1,0

Generelt for en kort matestrekning mellom to omformerstasjoner, eller som her også med delvis AT-system og BT-system, og et tilfeldig antall tog som trekker tilfeldig effekt, som i figur 92, kan en ikke forutsette at strømmen hele tiden fordeler seg mellom AT-lederne som korreksjonsfaktorene i Tabell 1. Om det ikke er tog i det grå området, altså delstrekningen med AT-system i figur 92, og alle tog som trekker effekt er bortenfor, vil AT-lederne belastes tilnærmet helt symmetrisk (korreksjonsfaktor 1,0).

Skise for problemet med å finne strømmer i et lite avsnitt med AT-system på to etterfølgende matestrekninger.

Skise for problemet med å finne strømmer i et lite avsnitt med AT-system på en lang matestrekning.

Fra simuleringsprogrammene μPAS eller TPSS kan en kun få verdiene for aktiv- og reaktiv effekt som går over en linje (med fortegn), samt spenning og strøm. Alle verdiene som fås fra μPAS er referert 15 kV-nivå. Strømmen som går forbi det grå feltet i figur 92 kalles her for transittstrøm (og transitteffekt), og er gitt av sammenhengen I_PLT = I_NLT = ½ ∙ ½ ∙|I₁–I₂| med positive verdier i pilenes retning i figuren. Uthevede symboler betyr fasevektorer (komplekse tall) og alle strømmer er referert 15 kV-nivå. En multipliserer med ½ for å ta hensyn til at strømmen halveres på grunn av doblet spenningsnivå og for at summen av strøm inn på strekningen fordeles på lederne. Se for eksempel figur 84 der det går 360 A i hver av faselederne i AT-vinduet til høyre uten tog referert 15 kV-nivå. Reell strøm (referert 30 kV) for PL og NL er 180 A og med de retningene på pilene og fortegnene som er brukt, vil differansen bli 720 A, altså fire ganger større strøm enn det som går i PL og NL (180 A).

Strømmen i PL som tog bruker på strekningen, er I_PLtog = ½∙k_PL∙|I₁+I₂|. Der en multipliserer med ½ for at summen av strøm inn på strekningen fordeles på lederne. Se igjen på figur 84 der strøm referert 15 kV-nivå i PL for strøm til toget i venstre AT-vindu er henholdsvis 560 A og 440 A. Med retningen på piler og fortegnsvalg som er gjort må altså summen halveres for at det skal bli riktig strøm i hver av lederne. I tillegg må korrigeringsfaktorene kPL anvendes for å ta hensyn til asymmetrisk strømfordeling med få AT-vinduer. Legg også merke til at formelen ikke forteller nøyaktig hvilken strøm som går i lederne, bare hva som er gjennomsnittlig strøm.

For å finne strømmene I₁ og I₂ benyttes sammenhengen:

$\mathbf {I} ={\frac {\mathbf {S^{*}} }{\mathbf {U^{*}} }}={\frac {\mathbf {P} -j\mathbf {Q} }{\mathbf {U} }}$

Her defineres fasevinkelen til spenningen som referanse og settes til 0°. Det innebærer at fasevinkelforskjellen for spenningen over denne korte strekningen tilnærmes til å være 0. Videre kan en sette for hver av strømmene I₁ og I₂:

$\mathbf {I_{1}} ={\frac {\mathbf {P_{1}} -j\mathbf {Q_{1}} }{\mathbf {U_{1}} }}\land \mathbf {I_{2}} ={\frac {\mathbf {P_{2}} -j\mathbf {Q_{2}} }{\mathbf {U_{2}} }}$

Dermed kan en finne strømmen som går i PL ved 1 og som gir termisk oppvarming av lederen som: