Utledning kurveveksler

Utledning, formel for radier, kurveveksel

Her følger utledning av formler for radius i kurveveksler, gitt at dene ene av de to radiene er kjent. Formelgrunnlaget baserer seg på at stigningen i vekslene holdes konstant når den enkle vekselen bøyes.

I figuren under vises geometri for en enkel sporveksel med lang kurve og en utoverbøyd kurveveksel.

Siden vinkelen $\alpha$ er liten, antas t å være tilnærmet lik både før og etter bøying av den enkle vekselen. Ved å benytte cosinussetningen:

$C^{2}=A^{2}+B^{2}-2AB\cdot cos(\gamma )$

oppnås følgende sammenheng mellom radier og vinkel, $\alpha$:

$(R+r)^{2}=(r+x)^{2}+(R+x)^{2}-2(r+x)(R+x)\cdot cos(\pi -\alpha )$

Videre bearbeiding av denne ligningen gir:

$Rr=rx+x^{2}+Rx+(Rr+Rx+rx+x^{2})\cdot cos(\alpha )$

$R(r-x-rcos(\alpha )-xcos(\alpha ))=(rx+x^{2})(1+cos(\alpha ))$

$R\left(r(1-cos(\alpha ))-x(1+cos(\alpha ))\right)=(rx+x^{2})(1+cos(\alpha ))$

$R\left(r\cdot {\frac {1-cos(\alpha )}{1+cos(\alpha )}}-x\right)=x(r+x)$

Ved å benytte den trigonometriske identiteten:

$tan^{2}(\alpha /2)={\frac {1-cos(\alpha )}{1+cos(\alpha )}}$

gir dette videre:

$R\left({\frac {r}{x}}\cdot tan^{2}(\alpha /2)-1\right)=r+x$

Fra geometrien i den enkle vekselen, kan vi nå innføre:

$tan(\alpha /2)={\frac {t}{r_{0}}}$

Merk at dette er en tilnærming som kun er gyldig når stigningen i vekselen kan ses på som liten.

Ved å også benytte at

$tan(\alpha /2)={\frac {x}{t}}$

${\frac {t}{r_{0}}}={\frac {x}{t}}$

får vi

$R({\frac {r\cdot r_{0}}{t^{2}}}\cdot {\frac {t^{2}}{r_{0}^{2}}}-1)=r+{\frac {t^{2}}{r_{0}}}$

og til slutt

$R={\frac {r\cdot r_{0}+t^{2}}{r-r_{0}}}$

Denne ligningen kan også løses for r, og uttrykket blir da

$r={\frac {R\cdot r_{0}+t^{2}}{R-r_{0}}}$

Alternativ løsning

En mer nøyaktig sammenheng mellom R og r kan oppnås ved å benytte følgende sammenhenger, som er basert på at vekselen ikke endrer lengde når den bøyes:

$2t=R\beta$

$r_{0}\alpha =r\xi$

og enten

$\alpha =\beta +\xi$

for utoverbøyd veksel, eller

$\alpha =\xi -\beta$

for innoverbøyd veksel.

Dette gir

$R=\pm {\frac {2r_{0}\cdot tan(\alpha /2)}{\alpha \cdot (1-{\frac {r_{0}}{r}})}}$

for henholdsvis utoverbøyd og innoverbøyd veksel.

Dersom det løses for r, blir resulterende ligning

$r={\frac {r_{0}}{1\mp {\frac {2r_{0}\cdot tan(\alpha /2)}{R\alpha }}}}$

for henholdsvis utoverbøyd og innoverbøyd veksel.