Parametre for flerledersystem

__NUMBEREDHEADINGS__

Generelt

I et system med flere parallelle elektriske ledere med felles retur i jord er systemets lineære elektriske egenskaper komplett beskrevet av fire parametermatriser:

• Matrise for serieresistanser: R [Ω/km]
• Matrise for seriereaktanser: X [Ω/km]
• Matrise for parallell konduktiv avledning: G [S/km]
• Matrise for parallell susceptiv avledning: B [S/km]

Hver av matrisene har dimensjonene (n x n) der n er antallet parallelle ledere i systemet. Matrisene er alltid symmetriske.

Matrisene kan sammenstilles til en kompleks matrise for serieimpedans Z og en kompleks matrise for parallell admittans Y:

Feil i matematikken (Konverteringsfeil. Tjeneren («cli») rapporterte: «SyntaxError: Expected [, ;!_#%$&], [a-zA-Z], or [{}|] but "\\" found.in 2:47»): {\displaystyle \mathbf{Z} = \mathbf{R} + j \cdot \mathbf{X} \\ \mathbf{Y} = \mathbf{G} + j \cdot \mathbf{B} }

Dette kapittelet inneholder en eksempelberegning for hvordan man bestemmer verdiene for parametermatrisene for et konkret linjesett for AT-system med PL, NL, kl og skinner.

Beregningsforutsetninger

Følgende parametre behandles i beregningene som kjente verdier.

<figtable id="tab:Beregningsforutsetninger">

Beregningsforutsetningerlederen

Parameter	Symbol	Verdi	Enhet
Magnetisk permeabilitet i tomt rom	µ0	4·π·10-7	H/m
Elektrisk permittivitet i tomt rom	ε0	8.8542·10-12	F/m
Jordresistivitet	ρe	5000	Ωm

</figtable>

Jordresistiviteten varierer mye for ulike typer jordsmonn. Den valgte verdien på 5000 Ωm representerer et nivå som er lavere enn hva man kan forvente ved fjellgrunn, samtidig som det er mye høyere enn hva man kan forvente i grunn med fuktig sand og leire. Det finnes flere lett tilgjengelige angivelser over tallverdier for jordresistivitet i ulike typer jordsmonn i Norge, for eksempel ved søk på nett. I dette dokumentet er tallverdiene angitt i referanse [1] lagt til grunn:

<figtable id="tab:Jordresistivitet">

Jordresistivitet som angitt i referanse [1]

Jordsmonn	Resistivitet ρe [Ωm]
Sjøvann (saltholdig)	< 1
Ferskvann (elv, innsjø)	10 - 1 000
Fuktig myrjord	20 - 200
Dyrket jord, leire (fuktig)	50 - 200
Fuktig sandjord	100 - 300
Tørr sandjord	1 000 - 50 000
Fjellgrunn med vannfylte sprekker	1 000 - 10 000

</figtable>

Geometrisk konfigurasjon

Linjesettet defineres med følgende geometriske konfigurasjon, der x-aksen ligger horisontalt på tvers av sporet slik at x=0 er midt mellom de to kjøreskinnene, og y-aksen står vertikalt på sporet slik at y=0 er ved jordoverflaten.

<figtable id="tab:Geometri">

Geometrisk konfigurasjon

Leder	x-koordinat [m]	y-koordinat [m]
Negativleder, NL	4	10
Positivleder, PL	3	10
Bæreline, bl	0	6,6
Kontakttråd, kt	0	5,8
Skinne 1, S1	0,7175	0,2
Skinne 2, S2	0,7175	0,2

</figtable>

Den angitte høyden er lederens gjennomsnittshøyde. Lengdeøkningen som følge av nedheng er i størrelsesorden 0,25%, og er neglisjert her. Tilsvarende vurdering gjøres for sikksakk-formen til kontakttråd og bæreline.

Lederdata

Følgende lederdata er lagt til grunn. Alle lederne er antatt sirkulære med en tilhørende ekvivalent radius. Positivleder, negativleder og bærelina har flere kordeller, og den økte diameteren som følge av dette er hensyntatt. Fordi ledere med kordeller også er tvunnet vil de ytre kordellene være noe lengre enn de innerste. Denne effekten er neglisjert.

<figtable id="tab:Lederdata">

Lederdata

Leder	Materiale	Tverrsnittsareal [mm2]	Ytre diameter [mm]	Antall kordeller	Diameter for hver kordell [mm]	Ledeevne % av IACS (5,8001·107 S/m)	Relativ permeabilitet	Kilde
PL / NL	Al	400	25,4	61	2,89	61,0	1	Teknisk spesifikasjon
Kontakttråd	CuAg 0,1	100	12,00	1	-	97,0	1	Teknisk spesifikasjon EN 50149:2012
Bæreline	BzII	50	9,0	19	1,80	80,0	1	Teknisk spesifikasjon EN 50149:2012 Antatt ledeevne som for CuMg 0,2
Skinne	Stål R260Mn	7670	215,2	1	-	9,6	60	[3], [4], [5] Ytre diameter er beregnet fra skinnens omkrets

</figtable>

Serieimpedans

Seriempedansen består av:

• selvimpedansen til hver leder, og
• gjensidig impedans mellom hver leder og jord, og innbyrdes mellom lederne.

Serieimpedansen kan skrives som:

$\mathbf {Z} =\mathbf {Z_{selv}} +\mathbf {Z_{gjensidig}}$

Selvimpedans

$\mathbf {Z_{selv}}$ er en diagonal matrise med et diagonalt element tilhørende hver leder. Den består av indre ytre impedans:

$Z_{selv,ii}=z_{i,indre}+z_{i,ytre}$

der $z_{i,indre}$ er lederens indre impedans, og $z_{i,ytre}$ er lederens ytre impedans.

Indre impedans

For sirkulære ledere er den indre impedansen er gitt av:

$z_{i,indre}=r_{i,DC}+j{\frac {f\cdot \mu _{0}\cdot \mu _{r}}{4}}\;\left[{\frac {\mathrm {\Omega } }{\mathrm {m} }}\right]$

der $r_{i,DC}$ er lederens likestrømsresistans f er strømmens frekvens, $\mu _{0}$ er den magnetiske permeabiliteten i tomt rom, og $\mu _{r}$ er ledermaterialets relative magnetiske permeabilitet

Likestrømsresistansen $r_{i,DC}$ beskriver resistivt spenningsfall i ledermaterialet. Den angis for hver enkelt leder som en beregnet eller en målt verdi. Beregnete verdier beregnes ut ifra lederens ledeevne, geometri og strømfordeling. Den svake frekvensavhengigheten i resistans som følge av strømfortrengning kan neglisjeres for runde umagnetiske ledere med små dimensjoner eller med små kordeller, da disse effektene da får liten innvirkning ved grunnharmonisk frekvens. Ved høye frekvenser (over ca. 1 kHz), og for store massive ledere, har disse effektene større betydning, og for slike frekvenser bør strømfortrengning modelleres. Likestrømsresistansen er også temperaturavhengig. Her er det forutsatt en fast ledertemperatur på 20 °C.

For ledere der $r_{i,DC}$ beregnes, beregnes denne ved:

$r_{i,DC}={\frac {1}{A\cdot \sigma }}\;\left[{\frac {\mathrm {\Omega } }{\mathrm {m} }}\right]$

Den imaginære delen av $z_{i,indre}$ beskriver induktivt spenningsfall som følge av magnetiske felter i ledermaterialet, og kan enten måles eller beregnes ut ifra ledermaterialets magnetiske permeabilitet.

Ytre impedans

Den ytre impedansen beskriver resistivt spenningsfall som følge av retur i jord, og induktivt spenningsfall som følge av magnetfelt som settes opp av lederen og jordreturen i luft og i jord. For en rund leder med retur i homogent jordsmonn kan den ytre impedansen beskrives tilnærmet ved likningen (Carsons tilnærmete likning):

$z_{i,ytre}\approx {\frac {\pi f\mu _{0}}{4}}+jf\mu _{0}\cdot \ln {\left({\frac {D_{j}}{a}}\right)}\;\left[{\frac {\mathrm {\Omega } }{\mathrm {m} }}\right]$

der $D_{j}=660\cdot {\sqrt {\frac {\rho _{e}}{f}}}$ er en tenkt dybde i jorda for jordreturstrømmen, og a er lederens radius.

Kombinert indre og ytre impedans og geometrisk middelavstand

Den indre og ytre impedansen må kombineres til en selvimpedans for hver leder. For sirkulære ledere med µ_r = 1 blir uttrykket:

Feil i matematikken (Konverteringsfeil. Tjeneren («cli») rapporterte: «SyntaxError: Expected [, ;!_#%$&], [a-zA-Z], or [{}|] but "\\" found.in 2:41»): {\displaystyle Z_{selv,ii} = z_{i,indre} + z_{i,ytre} \\ = r_{i,DC} + j \frac{f \cdot \mu_0}{4} + \frac{\pi f \mu_0}{4} + j f \mu_0 \cdot \ln{\left( \frac{D_j}{a}\right)} \\ = r_{i,DC} + \frac{\pi f \mu_0}{4} + j f \mu_0 \cdot \left[\frac{1}{4} + \ln{ \left( \frac{D_j}{a} \right) } \right] }

Ved å angi at ${\frac {1}{4}}=\ln {e^{\frac {1}{4}}}=\ln {\frac {1}{0,7788}}$ kan uttrykket videre skrives som:

$Z_{selv,ii}=r_{i,DC}+{\frac {\pi f\mu _{0}}{4}}+jf\mu _{0}\cdot \ln {\left({\frac {D_{j}}{0,7788\cdot a}}\right)}=r_{i,DC}+{\frac {\pi f\mu _{0}}{4}}+jf\mu _{0}\cdot \ln {\left({\frac {D_{j}}{g_{i}}}\right)}$

der $g=e^{-{\frac {1}{4}}}\cdot a=0,7788\cdot a$ er definert som lederens geometriske middelavstand. Denne får andre verdier for ledere som ikke er massive og sirkulære, for eksempel ledere med flere kordeller.

Ifølge referanse [3] kan ikke strømfortrengning neglisjeres for kjøreskinner på samme måte som for øvrige ledere uten å gjøre en stor feil, på grunn av skinnens store dimensjoner og på grunn av skinnens magnetiske egenskaper. Referanse [3] anbefaler derfor at impedansen bestemmes basert på målinger. Kilde [3] angir at for en kjøreskinne ved 16 2/3 Hz kan egenimpedansen angis som en verdi som varierer lineært fra 0,060 + j 0,075 Ω/km ved 100 A, til 0,125 + j 0,110 Ω/km ved 1000 A strømbelastning i hver skinne, og deretter konstant impedans for høyere strømmer. Her legges i det videre til grunn strømmen som er angitt for 100 A i hver skinne, for bruk ved driftsstrømmer i AT-system.

Referanser

[1] Høidalen H.K: Kurskompendium: Elektromagnetisk sameksistens i jernbaneanlegg, kapittel 9: Kontaktledningsnettet - Impedanser og induserte spenninger, NTNU, 2006.

[2] Kurskompendium TET09, Prosjektering av elektriske anlegg. Parametre for linjer, kabler og skinneføringer. Beregning av tap, induktans og kapasitans. Utrad fra kompendium i faget Elektriske kraftsystemer del II, 1993. Institutt for elkraftteknikk, NTNU.

[3] Kießling, Puschmann, Schmieder: Fahrleitungen elektrischer Bahnen, 3. Auflage, 2014. Publicis Publishing, ISBN 978-3-89578-407-1.

[4] EN 50149:2012

[5] Teknisk regelverk, Overbygning, Sporkonstruksjoner, Skinner