Elektrisk systembeskrivelse av kontaktledningsanlegg ver01: Forskjell mellom sideversjoner

Fra Lærebøker i jernbaneteknikk
Hopp til navigering Hopp til søk
Ingen redigeringsforklaring
Linje 49: Linje 49:
<figure id="fig:Telegraflikningene">
<figure id="fig:Telegraflikningene">
[[Bilde:Telegraflikningen.png|thumb|none|480px|]]
[[Bilde:Telegraflikningen.png|thumb|none|480px|]]
<caption>Telegrafilikningen: Kretsskjema for et linjesegment d''x''</caption>
<caption>Telegraflikningene: Kretsskjema for et linjesegment d''x''</caption>
</figure>
</figure>


Linje 62: Linje 62:
''(ii)'' <math> \frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}x} = - G \cdot U </math>
''(ii)'' <math> \frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}x} = - G \cdot U </math>


Likningene ''(i)'' og ''(ii)'' danner et koplet likningssett som i litteraturen kalles for telegraflikningene. Likningssettet kan løses for en lang linje ved å derivere ''(i)'' og sette inn resultatet i ''(ii)''
Likningene ''(i)'' og ''(ii)'' danner et koplet likningssett som i litteraturen kalles for telegraflikningene. Likningssettet kan ordnes på tilstandsromform på følgende måte:


''(i)'' <math> \frac{\mathrm{d}^2 U}{\mathrm{d}x^2} = - Z \cdot \frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}x} </math>
<math> \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \begin{pmatrix} U \\ I \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -Z \\ -G & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} U \\ I \end{pmatrix} </math>
 
''(i)'' <math> \frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}x} = -\frac{1}{Z} \cdot \frac{\mathrm{d}^2 U}{\mathrm{d}x^2} </math>
 
Setter inn ''(i)'' i ''(ii)'' og skriver om:
 
''(iii)'' <math> \frac{\mathrm{d}^2 U}{\mathrm{d}x^2} = Y \cdot Z \cdot U </math>
 
Løsningen på en slik andre ordens differensiallikning finnes ved å anta at spenningen U og strømmen I har den generelle formen:
 
''(iv)'' <math> U = U_0 \cdot e^{\gamma x} </math>
 
''(v)'' <math> I = I_0 \cdot e^{\gamma x} </math>
 
Ved å dobbeltderivere ''(iv)'' og sette inn i ''(iii)'' finner man:
 
''(iii)'' <math> U_0 \cdot \gamma^2 \cdot e^{\gamma x} = Y \cdot Z \cdot U_0 \cdot e^{\gamma x} </math>
 
Man ordner ''(iii)'' og finner:
 
''(vi)'' <math> \gamma = \pm \sqrt{Y \cdot Z} </math>
 
Fordi kvadratroten her kan gi både positivt og negativt resultat blir <math> U </math> blir da gitt av følgende uttrykk:
 
''(vii)'' <math> U = U_0^+ \cdot e^{\gamma x} + U_0^- \cdot e^{-\gamma x} </math>
 
Ved å derivere ''(vii)'' og sette uttrykket inn i ''(i)'' finner man:
 
''(viii)'' <math> U_0^+ \cdot (+\gamma) \cdot e^{ (+\gamma) x} + U_0^- \cdot (-\gamma) \cdot e^{ (-\gamma) x} = - \left( Z \right) \cdot I </math>
 
Man kan så ordne uttrykket og sette inn for <math>\gamma</math>:
 
''(ix)'' <math> I = U_0^+ \cdot \frac{\gamma}{Z} \cdot e^{\gamma x} + U_0^- \cdot -\frac{\gamma}{Z} \cdot e^{-\gamma x} = U_0^+ \cdot \sqrt{\frac{Y}{Z}} \cdot e^{\sqrt{Y \cdot Z} x} - U_0^- \cdot \sqrt{\frac{Y}{Z}} \cdot e^{-\sqrt{Y \cdot Z} x} </math>
 
En kan se at leddene markert med (+) og (-) er lineært uavhengige uttrykk, slik at
 
<math> \frac{U_0^+}{I_0^+} = -\frac{U_0^-}{I_0^-} = \sqrt{\frac{Z}{Y}} </math>
 
Dette uttrykket kalles transmisjonslinjens karakteristiske impedans, og benevnes med <math> Z_0 </math>.
 
Oppsummert finner man at resultatet av transmisjonslikningene blir:
 
<math> U = U_0^+ \cdot e^{\gamma x} + U_0^- \cdot e^{-\gamma x} </math>
 
<math> I = I_0^+ \cdot e^{\gamma x} - I_0^- \cdot e^{-\gamma x} </math>
 
der
 
<math> \frac{U_0^+}{I_0^+} = -\frac{U_0^-}{I_0^-} = Z_0 = \sqrt{\frac{Z}{Y}} </math>
 
og
 
<math> \gamma = \sqrt{Y \cdot Z} </math>


== Admittanser ==
== Admittanser ==
Admittansen
Admittansen

Sideversjonen fra 1. feb. 2017 kl. 12:51

__NUMBEREDHEADINGS__

Generelt

Kontaktledningsanlegget overfører effekt mellom matestasjonen og traksjonsmateriell og andre belastninger tilknyttet kontaktledningen. I eldre anlegg skjer overføringen i kontaktledning ved 15 kV nominell spenning, med retur i kjøreskinner ved 0 kV. I nyere anlegg er det innført returledere eller AT-system med positivleder og negativleder. Følgende ledere vil bli omtalt videre i dette kapittelet:

<figtable id="tab:Ledere_oversikt">

Ledere oversikt
Leder Forklaring Nominell spenning
KL Kontaktledningsanlegg, omfatter kontakttråd og bæreline 15 kV
RR Kjøreskinner 0 kV
RL Returleder 0 kV
FSL Forsterkningsleder 15 kV
PL Positivleder (for AT-system) normalt + 15 kV
NL Negativleder (for AT-system) normalt - 15 kV

</figtable>

I dette kapittelet vil det bli beskrevet en matematisk modell som beskriver hvordan strøm og spenning fordeler seg mellom ulike ledere i et slikt flerledersystem som et kontaktledningsanlegg utgjør. En slik modell kan brukes til å beregne:

  • impedansen mellom matestasjon og belastning i kontaktledningssystemet,
  • potensial i returkretsen,
  • indusert spenning i ledere som går parallelt med jernbanetraseen,
  • belastning på enkeltledere og komponenter i kontaktledningsnettet.

Introduksjon: Enkel transmisjonslinje

Telegraflikningene

Den enkleste formen for problemet er ei enkelt linjesløyfe. En kontaktledning med retur i kjøreskinner kan forenklet betraktes på denne måten, hvis man ser bort fra lekkasje til jordsmonn. Telegraflikningen tar utgangspunkt i et svært kort linjesegment dx av linjesløyfa. Linjesegmentet har en seriell resistans R · dx og reaktans X · dx, og en parallell konduktans G · dx og susceptans B · dx.

<figure id="fig:Telegraflikningene">

Telegraflikningen.png

Telegraflikningene: Kretsskjema for et linjesegment dx </figure> Parametrene kan skrives om om slik at impedansen blir og admittansen blir Det serielle spenningsfallet dU over dette linjesegmentet er gitt av Ohms lov: (i) Strømmen som lekker gjennom admittansen utgjør forskjellen i strøm over linjesegmentet. Denne strømmen er proporsjonal med spenningen: (ii) Likningene (i) og (ii) danner et koplet likningssett som i litteraturen kalles for telegraflikningene. Likningssettet kan ordnes på tilstandsromform på følgende måte:

Admittanser

Admittansen

Hentet fra «https://jernbanekompetanse.no/w/index.php?title=Elektrisk_systembeskrivelse_av_kontaktledningsanlegg_ver01&oldid=6221»