Dimensjoneringsmetoder

__NUMBEREDHEADINGS__

OVERBYGNINGENS KOMPONENTER

Sporets overbygning består av flere komponenter med ulike oppgaver:

1. Skinner hvor skjøter inkluderes. Skinnene har 2 oppgaver:

• Fungere som kjørevei for det rullende materiell
• Fungere som bærebjelke for det rullende materiell

2. Befestigelsen som omfatter :

• Klemfjærer
• Mellomleggsplate
• Isolatorer

Befestigelsessystemet som enhet skal sikre et forsvarlig feste av skinnen til svillen og hindre forskyvning (skinnevandring) og velting av skinnen når det rullende materiell passerer.

Klemfjærene skal feste skinnen til svillen ved utøvelse av en nominell klemkraft. Det er av betydning at klemfjærene er konstruert slik at de har en lang oppspenningsveg. Dette er nødvendig for at klemkraften også blir tilstrekkelig stor nok ved f. eks. slitte isolatorer.

Mellomleggsplatene består av et elastisk materiale som har til oppgave å dempe spissbelastningene ved passering av det rullende materiell. Dette er spesielt nødvendig for betongsviller. Mellomleggsplatene skal også hindre skinnevandring

Isolatorene skal isolere signal- og kjørestrøm.

3. Sviller (betong- og tresviller), i svillene inngår :

• Innstøpte skuldre (ankere) i betongsviller
• Skrudde forbindelser i tresviller

Svillene må overføre krefter fra det rullende materiell til ballasten.

De innstøpte ankerne i betongsvillene og de skrudde forbindelsene i tresvillene utgjør forbindelsen mellom svillen og befestigelsen.

4. Ballast(pukk).

Ballasten skal overføre belastningene fra svillen til undergrunnen. Det må benyttes pukk og det stilles bestemte krav til dette materialet mht. fraksjonering og kornform. For å oppnå en jevn fordeling av belastningen og for å tilfredsstille kravet til ønsket sidemotstand i helsveist sporer det nødvendig at kornformen er mest mulig kubisk.

5. Sporveksler som er en spesiell overbygningskomponent med mange delkomponenter.

Sporveksler er en komponent som forbinder spor med hverandre slik at et rullende materiell uten avbrudd ved fremføring kan skifte fra et spor til et annet.

Hver av komponentene har iht. ovennevnte punkter spesielle oppgaver. Komponentene må være dimensjonert hver for seg og også i forhold til hverandre slik at sporet danner en pålitelig og sikker kjørevei for det rullende materiell. De må samlet kunne virke som en enhet.

I det etterfølgende skal de krefter som angriper sporet, belyses. Videre beskrives dimensjoneringen av de enkelte overbygningskomponentene hver for seg og samlet. Hensikten er å gi et bilde av de krav som må stilles til overbygningen for å oppnå tilstrekkelig sikkerhet og pålitelighet ved framføring av det rullende materiell.

KREFTER MOT SPORET

De krefter som virker mot sporet ved kjøring av det rullende materiell, er :

• De vertikale krefter på grunn av aksellaster.

• De laterale krefter(føringskrefter) som oppstår spesielt ved kjøring i kurver.

• Langsgående krefter som oppstår ved bremsing av det rullende materiell i

sporet.

• Langsgående krefter som forårsakes av temperaturendringer. Disse

kreftene kan i helsveist spor bli meget store.

I dette heftet behandles de vertikale og laterale krefter og hvordan disse påvirker overbygningen.

I figur 4.1nedenfor er vist hvordan de vertikale og laterale krefter normalt angriper skinnehodet på skinnen. Videre er antydet steder på skinneprofilet og på svillen som blir utsatt for store påkjenninger ved belastning.

Figur 4.1 Vertikale og laterale krefter som angriper skinnehodet. Steder på skinneprofilet samt sville som blir utsatt for store påkjenninger.

TYPER AV VERTIKALE OG HORISONTALE KREFTER

De vertikale krefter inndeles i :

• Statiske krefter på grunn av aksellaster. Disse kreftene kan betraktes som

konstant for en gitt stillestående vogn eller et stillestående lokomotiv.

• Kvasistatiske krefter som for en gitt vogn eller et lokomotiv normalt øker

med økede hastigheter, idet vesentligste på grunn av sentrifugalkraften. Dessuten er sporgeometrienav betydning.

• Dynamiske krefter som forårsakes av ujevnheter i sporet. Disse kreftene er

impuls- og vibrasjonskrefter som stiger raskt med økede hastigheter.

De horisontale krefter inndeles i :

• Kvasistatiske krefter som øker med økede hastigheter. Sporgeometrien

influerer også på størrelsen av de kvasistatiske krefter.

• Dynamiske krefter som også forårsakes av ujevnheter i sporet. Disse

kreftene stiger med økede hastigheter.

Av spesiell interesse er den såkalte styrekraft. Denne er en kvasistatisk friksjonskraft som normalt er konstant ved varierende hastigheter og er årsak til slitasje på skinnehodet.

De ulike kreftene er vist grafisk i figur 4.2.

Figur 4.2 De forskjellige krefter som funksjon av hastighet.

BEREGNING AV STATISKE KREFTER

Statisk hjulkraft

Med en gitt nominell aksellast P blir den vertikale statiske hjulkraftQ0under forutsetning av symmetri :

$Q_{0}={P \over 2}[kN]$

(4.1)

Kvasistatisk tilleggskraft

Normalt inntreffer forhold som bevirker tilleggskrefter ved framføring av det rullende materiell i sporet :

• Tilleggskrefter forårsaket av forandring av hjultrykket på grunn av

overhøyde. Disse kreftene oppstår på grunn av sentrifugalkraften og skyldes bare sporet. Ved kjøring med hastighet som er større enn den såkalte likevektshastighet, virker tilleggskreftene på ytterstreng. Ved framføring med hastighet lavere enn likevektshastigheten er det innerstreng som blir utsatt for tilleggsbelastningen.

• Tilleggskrefter forårsaket av eksentrisk belastning. Det rullende materieller

i hovedsak konstruert slik at hjulsatsen fordeler belastningen fra egenvekten likt på begge hjulene. Den eksentriske belastning skyldes derfor i det vesentligste usymmetrisk lagret godslast.

• Tilleggskrefter forårsaket av forandring av hjultrykk i vindskjevt spor. Disse

kreftene skyldes sporets geometri og vognens konstruktive utførelse. Dette betyr at vognens samlede torsjonsstivhet får betydning.

Disse tilleggskreftene benevnes samlet det kvasistatiske tillegget og uttrykkes gjerne i forhold til den statiske hjulkraft Q₀. Det kvasistatiske tillegget ÄQ antas å være i området 0,10 x Q₀< ?Q < 0,30 x Q₀ og bør vurderes for hver banestrekning. I spor med kurverike strekninger med små radier og stor overhøydeantar ?Q større verdier enn på øvrige spor. Det kvasistatiske tillegget er også en funksjon av hastigheten uttrykt gjennom sentrifugalkraften og øker med økede hastigheter.

Den kvasistatiske hjulkraft kan derved uttrykkes ved :

$Q_{KV.STAT.}=(Q_{0}+\Delta Q)[kN]$

(4.2)

I tillegg opptrer vindkrefter som på fjellstrekningene kan bli meget store. I det etterfølgende vises den statiske hjulkraft og de forskjellige kvasistatiske tilleggene.

Kraftbilde ved kjøring av det rullende materiell mot sporet

Statisk hjulkraft Q₀

Under forutsetning av fremføring av det rullende materiell med likevektshastighet blir kraftbildet som vist under. Det utledes at denne tilstanden opptrer når :

$m\cdot g\cdot \sin \alpha =m\cdot \cos \alpha \cdot {V^{2} \over R}\approx m\cdot {V^{2} \over R}$

(4.3)

hvor sin α= D/s

Da vinkelen α er meget liten, kan cos α settes lik 1,0.

Det legges merke til at komponentene m·g·sinα og m·V²/R er parallelle med sporplanet.

Figur 4.3 Kraftbilde ved beregning av statisk hjulkraft Q_o ved fremføring med likevektshastighet.

Sentrifugalkraftens innflytelse

Ved fremføring med hastighet større enn likevektshastigheten dvs. når

$\Delta Q_{(i)}=m\cdot a_{Q}\cdot {H \over s}$

(4.5)

hvor

$a_{Q}=\left({v^{2} \over R}\right)-g\cdot {D \over s}$

(4.6)

a_Q er ukompensert sideakselerasjon i sporplanet. Samtidig blir det en tilsvarende avlastning på innerstreng.

Figur 4.4 Kraftbilde ved beregning av den kvasistatiske tilleggskraft DQ på grunn av sentrifugalkraftens innflytelse. Kurve med konstant overhøyde.

Kjøring i lav hastighet

Ved fremføring med hastighet < likevektshastigheten dvs. når

$m\cdot g\cdot \sin \alpha >m\cdot {v^{2} \over R}$

(4.7)

blir innerstreng belastet med en kvasistatisk tilleggskraft som beregnes til:

$\Delta Q_{(i)}=m\cdot a_{Q}\cdot {H \over s}$

(4.8)

hvor

$a_{Q}=g\cdot {\Delta H \over s}-{v^{2} \over R}$

(4.9)

a_Q er ukompensert sideakselerasjon i sporplanet. Samtidig blir det en tilsvarende avlastning på ytterstreng.

Figur 4.5 Kraftbilde ved beregning av den kvasistatiske tilleggskraft ΔQ på grunn av lav hastighet. Kurve med konstant overhøyde.

Eksentrisk belastning

En skinnestreng kan bli belastet med en kvasistatisk tilleggskraft forårsaket av eksentrisk lagret godslast. Denne tilleggskraften beregnes til :

$\Delta Q_{(ii)}=G_{L}\cdot {e_{L} \over (2\cdot s)}$

(4.10)

hvor G_L er eksentrisk plassert godslast og e_L avstand fra vognmidt til lastens angrepspunkt.

Tilleggsbelastning på en skinne vil føre til tilsvarende avlastning på den andre skinnen.

Ved symmetrisk lagret godslast blir belastningen på begge hjulene like store og beregnes til G_L/2.

Figur 4.6 Kraftbilde ved beregning av den kvasistatiske tilleggskraft ΔQ ved eksentrisk plassert godslast.

Vindskjevt spor

I vindskjevt sporoppstår tilleggskrefter på grunn av selve vindskjevheten og vognens torsjonsstivhet. Denne tilleggskraften kan uttrykkes ved:

$\Delta Q_{(iii)}=stign\cdot C_{tA}$

(4.11)

hvor C_tA er vognens totale torsjonsstivhet uttrykt i kN/‰ . Denne faktoren kan i stor grad influeres av vognbyggeren. I formelen over betyr stign. vindskjevheten i ‰.

Det fremgår av nedenstående figur at ΔQ_(iii) forårsaker en avlastning av hjulkraften på ytre skinnestreng i det vindskjeve sporet av det hjulet som befinner seg på det laveste punktet på denne skinnestrengen. Det samme forholdet gjør seg gjeldende for hjul nr. 2.2. For øvrige hjul fører denne tilleggskraften til en økning av hjulkraften. Forholdet gjelder ved lav hastighet.

Figur 4.7 Kraftbilde ved beregning av den kvasistatiske tilleggskraft ΔQ i et vindskjevt spor. Vognens torsjonsstivhet har også betydning. Fortegnene for ΔQ angir avlastning( - ) og pålasting( + ) ved lav hastighet.

Vindkrefter

Vindkraftener en horisontal virkende kvasistatisk kraft som betyr pålasting for den ene skinnestrengen og tilsvarende avlastning for den andre skinnestrengen. Med betegnelsen H_W for vindkraft kan det for den kvasistatiske tilleggskraft mot den ene skinnestrengen utledes at:

$\Delta Q_{(V)}=H_{W}\cdot \cos \alpha \cdot {q \over s}\approx H_{W}\cdot {q \over s}$

(4.12)

da cosα kan settes lik 1,0. q er avstanden fra vognkassens tyngdepunkt til spormidt i sporplanet og s er sporvidden.

Samtidig vil den andre skinnestrengen få en tilsvarende avlastning.

Figur 4.8 Kraftbilde ved beregning av den kvasistatiske tilleggskraft Q_v på grunn av vindbelastning.

Samlet kraftbilde

I figur 4.9 gis en oversikt over en mulig lastkombinasjon av de vertikale kvasistatiske krefter samt vindkraft sammen med den statiske hjulkraftQ0i et vindskjevt spor ved lav fremføringshastighet. Fremføringshastigheten i eksemplet forutsettes å være mindre enn likevektshastigheten. Eksentrisk lagret gods bevirker for de nedenstående ligningene pålasting på indre skinnestreng:

• Hjulkraft på ytre skinnestreng av det hjulet som befinner seg lavest : Q_KV.STAT.,1.1 = Q₀ - ΔQ_{( i )} - ΔQ_{( ii )} - ΔQ_{( iii )} - ΔQ_{(V )}

• Hjulkraft på ytre skinnestreng av det hjul som befinner seg høyest : Q_{KV.STAT. ,2.1} = Q₀ - ΔQ _{( i )} - ΔQ_{( ii )} + ΔQ_{( iii )} - ΔQ_{( V )}

• Hjulkraft på indre skinnestreng av det hjulet som befinner seg forrest : Q_{KV.STAT. , 1.2} = Q₀+ ΔQ_{( i )} + ΔQ_{( ii )} + ΔQ_{( iii )} + ΔQ_{( V )}

• Hjulkraft på indre skinnestreng av det hjulet som befinner seg bakerst: Q_{KV.STAT. , 2.2} = Q₀+ ΔQ_{( i )} + ΔQ_{( ii )} + ΔQ_{( iii )} + ΔQ_{( V )}

Figur 4.9 Samlet kraftbilde av den statiske hjulkraft samt alle kvasistatiske tilleggskrefter av alle hjul og vindkraft for en to-akslet vogn i et vindskjevt spor ved lav hastighet. Lastkombinasjonen er kun en av mange mulige kombinasjoner.

ZIMMERMANNS METODE (KVASISTATISK TILSTAND)

Innledning

Mht. dimensjonering av overbygningen legges til grunn teorien for en bjelke som er kontinuerlig opplagret på et jevnt elastisk underlag og hvor bøyelinjen for denne bjelken beregnes under belastning. Bjelkens bøyelinje beskrives gjennom følgende differensialligning av 4. grad :

$E\cdot I_{X-X}\cdot \left({d^{4}w \over dx^{4}}\right)+p(x)=q(x)$

(4.13)

• E·I_{X - X} er stivheten til skinnen om den sterke akse

• w(x) er vertikal nedbøyning av skinnen ved stedet x

• q(x) er hjullasten betraktet som en jevnt fordelt last

• p(x) er det kontinuerlige kontakttrykket mellom sviller og ballastsengen

Det vises til figur 4.10.

Figur 4.10 Bjelkens bøyelinje

For selve ballastlaget kan ifølge Winkler - hypotesen følgende relasjon dannes:

$p'(x)=C\cdot w(x)$

(4.14)

hvor C er en proporsjonalitetskonstant og p’ er trykket pr. enhetsflate pr. halve sville.

Differensiallikningen beskriver forholdet pr. enhetslengde for den langsgående akse til skinnen. I en overbygning med sviller på tvers av sporets lengdeakse postulerte derfor Winkler følgende relasjon:

$p(x)=b\cdot p'(x,y)=b\cdot C\cdot w(x)$

(4.15)

b er bredden av en tenkt langsvilleoverbygning.

Den endelige differensiallikningen kan derfor uttrykkes slik:

$E\cdot I_{X-X}\cdot \left({d^{4}w \over dx^{4}}\right)b\cdot C\cdot w(x)=q(x)$

(4.16)

Anvendelse av denne teorien medfører at overbygningens tverrsvillesystem må omvandles til en langsvilleoverbygning. Dette skal belyses nærmere i etterfølgende kapitler.

Det er allerede i innledningen pekt på at skinnen skal fungere som bærebjelke og som kjøreveg.

Mht. skinnen som bærebjelke skal i det etterfølgende beskrives en metode med utgangspunkt i grunnligningen for bøyelinjen til en bjelke som er opplagret kontinuerlig på et jevnt elastisk underlag, for dimensjonering av overbygningen. Metoden kalles "Zimmermanns metode" og den ble undersøkt ved det tekniske universitetet i München i Tyskland ved "Institut für Eisenbahnbau und Strassenbau" på oppdrag fra de tyske forbundsbaner. I avhengighet av forskjellige parametre muliggjør metoden beregning av spenninger i skinnen og deformasjoner (nedsenking) av skinnen ved passering av det rullende materiell. Dimensjoneringsmetoden er et meget nyttig verktøy for bestemmelse av tillatte aksellaster som funksjon av sporets tilstand. I forbindelse med den teoretiske verifisering av "Zimmermanns metode" ble det gjennomført omfangsrike forsøk. Disse forsøkene bekrefter den anvendte teori ut fra tilgjengelige overbygningskonstruksjoner og rullende materiell på 1950 - tallet da modellen var gjenstand for stor oppmerksomhet ved tyske tekniske universitet.

Siden den gang har det vært en stor utvikling av overbygningskonstruksjoner og av det rullende materiell. Men modellen er fremdeles vel egnet til dimensjonering av overbygningen for hastigheter opp til 200 km/h og skulle derfor kunne finne anvendelse ved JBV.

Grunnleggende teori

Beregningsmetoden for fastsettelse av de totale krefter settes sammen av:

• Zimmermanns metode

• Eisenmanns metode

Zimmermannutviklet en metode for beregning av de ytre kvasistatiske belastninger forårsaket av det rullende materiell når det står stille i sporet eller framføres med lav hastighet. Omlagring av hjullastene på grunn av sentrifugalkraftensom dog er hastighetsavhengig, inngår i begrepet kvasistatisk belastning. Sporet betraktes som en kontinuerlig bjelke som hviler på et elastisk underlag.

Eisenmann bygget på metoden til Zimmermann og utviklet en modell for beregning av de dynamiske belastninger som oppstår ved framføring av det rullende materiell.

De kvasistatiske og dynamiske belastningene adderes og summen gir den totale belastning. Denne belastningen gir grunnlaget for beregning av bøyemomenter og spenninger i skinnene samt den såkalte støttepunktkraften S som betongsvillen må dimensjoneres for. Støttepunktkraftens angrepspunkt er i skinneleiene.

Utgangspunktet er som nevnt at sporet betraktes som en kontinuerlig bjelke som hviler på et elastisk underlag med gitt stivhet. Avhengig av elastisitetsforholdene i sporet vil hjulkreftene fordele seg over flere sviller. Betongsvillene plasseres på tvers i sporets lengderetning og svillene med skinner danner således et tverrsvillespor. I utviklingen av beregningsmetoden forutsetter Zimmermannat dette tverrsvillesporet gjøres om til et langsvillespor.

Metoden er dermed en tilnærmet modell av virkeligheten da skinnene har opplager i diskrete opplegg gjennom svillene. Men på grunn av krav til større aksellaster og høyere hastigheter stilles det strengere krav til overbygningen. Dette medfører bl.a. at svillene må legges med mindre svilleavstand. Med senteravstand lik 600 mm kan overbygningskonstruksjonen med god nøyaktighet betraktes som en langsvilleoverbygning.

Forutsetningene i den matematiske modell er:

• Sporet betraktes som en uendelig lang bjelke som er opplagret på et homogent og jevnt elastisk underlag

• Den uendelig lange bjelke er vektløs

• Den uendelige lange bjelke er fast forbundet med det elastiske underlaget

Det kreves 2 betingelser som settes lik hverandre (likevektsbetingelse):

• Deformasjon av det elastiske underlaget ved belastning med enkeltlast

• Nedbøyning av den uendelige lange bjelke som hviler på det elastiske underlaget

Det vises til figur 4.11.

Figur 4.11 Likevektsbetingelse i Zimmermanns metode tilsier at deformasjonen av det elastiske underlaget ved belastning med enkeltlast er i likevekt med nedbøyningen av den uendelige lange bjelke som hviler på det elastiske underlaget

Deformasjon av det elastiske underlaget ved enkeltlast Q

Utgangspunktet er Winklers hypotese om at trykket i det elastiske underlaget fra belastningen er proporsjonal med deformasjonen:

$\sigma (x)=C\cdot y(x)$

(4.17)

C er proporsjonalitetskonstanten som uttrykker fjærstivheten i det elastiske underlaget.

y(x) er deformasjonen i det elastiske underlaget ved stedet x.

s(x) er trykket i det elastiske underlaget ved stedet x.

Det vises til figur 4.12.

Figur 4.12 Winklers hypotese om at trykket i det elastiske underlaget er proporsjonalt med deformasjonen

Det defineres en bredde b til den uendelige lange bjelke. Det forutsettes videre symmetrisk fordeling av belastningen på det elastiske underlaget for bøyelinje og momentforløp på grunn av enkeltlasten Q. Det vises til figur 4.13.

_{Figur 4.13 Symmetrisk deformasjonslinje til det elastiske underlaget om enkeltlast Q}

Det er dermed tilstrekkelig å betrakte den ene halvdelen av den uendelige lange bjelke mht. bøyelinje og momentlinje om enkeltlasten Q.

Dette medfører:

${Q \over 2}=\int _{0}^{\infty }\sigma (x)\cdot bdx=\int _{0}^{\infty }C\cdot y(x)\cdot bdx$

(4.18)

Det er ønskelig å betrakte stedet x for å kunne utlede en generell beskrivelse:

${Q \over 2}=\int _{0}^{X}C\cdot y(x)\cdot bdx+\int _{X}^{\infty }C\cdot y(x)\cdot bdx$

(4.19)

Skjærkraften ved stedet x kan dermed utledes:

$Q(x)=\int _{X}^{\infty }C\cdot y(x)\cdot bdx={Q \over 2}-\int _{0}^{X}C\cdot y(x)\cdot dx$

(4.20)

$Q(x)={Q \over 2}-C\cdot b\int _{0}^{X}y(x)dx$

(4.21)

Forandring av skjærkraften over en lengdeenhet dx kan beregnes ved derivasjon:

${dQ \over dx}=C\cdot b\cdot y(x)$

(4.22)

Deformasjon av den uendelige lange bjelke

Den uendelige lange bjelke som er opplagret på det elastiske underlagt, blir utsatt for bøyning. Under forutsetning av at nøytralaksen faller sammen med arealaksen i krummningsforløpet, gjelder iht. anerkjente teorier i fasthetslæren:

$y''=-{1 \over R}=-{M \over EI}$

(4.23)

Dette gir:

${d^{2}y \over dx^{2}}=-{M \over EI}$

(4.24)

y er deformasjonen av bjelken langs lengdeaksen x.

EIer stivheten til bjelken uttrykt som produktet av elastisitetsmodulen E (N/mm²) og treghetsmomentet I(mm⁴). Det vises til figur 4.14.

Figur 4.14 Krummningsforløpet til en bjelke med stivhet lik EI

Ovenstående likning kan omskrives og løses mht. momentet:

$M=-E\cdot I\cdot {d^{2}y \over dx^{2}}$

(4.25)

Skjærkraften framkommer ved derivasjon:

$Q={dM \over dx}=-E\cdot I\cdot {d^{2}y \over dx^{2}}$

(4.26)

Ved å derivere skjærkraften framkommer deformasjonen av bjelken:

${dQ \over dx}=-E\cdot I\cdot {d^{4}y \over dx^{4}}$

(4.27)

Etablering av likevektsbetingelse

I dette avsnittet blir bøyelinjen og momentlinjen for den uendelig lange bjelke på det elastiske underlaget utledet.

De 2 uttrykkene for variasjon av skjærkraften over en lengdeenhet dx settes lik hverandre på grunn av betingelse for likevekt:

${dQ \over dx}=C\cdot b\cdot y(x)=-E\cdot I\cdot {d^{4}y \over dx^{4}}$

(4.28)

Uttrykket til venstre for likhetstegnet er deformasjonen av det elastiske underlaget. Uttrykket til høyre beskriver nedbøyningen av den uendelige lange bjelke på det elastiske underlaget.

Det ble gjort den antakelse om at den uendelige lange bjelke hele tiden er fast forbundet med det elastiske underlaget.

Likevektsbetingelsen gir følgende differensiallikning av 4. grad:

$C\cdot b\cdot y(x)=-E\cdot I\cdot {d^{4}y \over dx^{4}}$

(4.29)

$C\cdot b\cdot y(x)\cdot {1 \over E\cdot I}+{d^{4}y \over dx^{4}}=0$

(4.31)

Denne likningen er utgangspunktet for Zimmermanns metode. Den uttrykker hvordan den uendelige lange bjelke deformerer seg når den hviler på et elastisk underlag med jevn og homogen elastisitet. Det ideelle spor arbeider etter denne differensiallikningen.

Differensiallikningen har følgende randbetingelser:

$y(\infty )=0$

(4.32)

$y(0)=0$

(4.33)

$y'''(0)={Q \over 2\cdot E\cdot I}$

(4.34)

Med omskrivning gjelder:

$-C\cdot b\cdot y=EI\cdot {d^{4}y \over dx^{4}}$

(4.35)

$-y={EI \over Cb}\cdot {d^{4}y \over dx^{4}}$

(4.36)

$-4y={4EI \over Cb}\cdot {d^{4}y \over dx^{4}}$

(4.37)

For den videre utledning er det hensiktsmessig å innføre nye begreper:

$L={\sqrt[{4}]{4EI \over Cb}}$

(4.38)

dvs.

$L^{4}={4EI \over Cb}$

(4.39)

og

${x \over L}=\xi \ \ \ og\ \ \ {dx \over L}=d\xi \ \ \ \Rightarrow \ \ \ {d^{4}x \over L^{4}}=d\xi ^{4}$

(4.40)

Dette medfører:

$-4y=L^{4}\cdot {d^{4}y \over dx^{4}}=L^{4}\cdot {d^{4}y \over L^{4}\cdot d\xi ^{4}}$

(4.41)

Dette gir:

$-4y={d^{4}y \over d\xi ^{4}}$

(4.42)

Det skal vises at denne differensiallikningen har løsningen:

$y=K\cdot {\sin \xi +\cos \xi \over e^{\xi }}$

(4.43)

hvor

$\eta ={\sin \xi +\cos \xi \over e^{\xi }}$

(4.44)

dvs.

$y=K\cdot \eta$

(4.45)

Koeffisienten K må bestemmes.

Ovennevnte uttrykk kan beskrives generelt:

$f(x) \over g(x)$

(4.46)

Den deriverte av en funksjonsbrøk er gitt ved uttrykket:

${d \over dx}\left({f(x) \over g(x)}\right)={f'(x)\cdot g(x)-g'(x)\cdot f(x) \over g(x)^{2}}$

(4.47)

Det er også kjent fra matematikken at den deriverte av en sum av 2 funksjoner er gitt ved:

${d \over dx}(f(x)\pm g(x))={d \over dx}f(x)\pm {d \over dx}g(x]$

(4.48)

hvor funksjonen er definert ved:

$f(x)\pm g(x)$

(4.49)

Den 1. deriverte blir:

$y'=K\cdot \left({(cos\xi -sin\xi )\cdot e^{\xi }-(sin\xi +cos\xi )\cdot e^{\xi } \over e^{2\xi }}\right)$

(4.50)

$y'=-2K\cdot {sin\ \xi \over e^{\xi }}$

(4.51)

Av denne funksjonen utledes den 2. deriverte:

$y''=-2K\cdot {cos\xi \cdot e^{\xi }-sin\xi \cdot e^{\xi } \over e^{2\xi }}$

(4.52)

$y''=2K\cdot {cos\xi -sin\xi \over e^{\xi }}$

(4.53)

Den 3. deriverte kan også utledes:

$y'''=2K\cdot {(cos\xi +sin\xi )\cdot e^{\xi }-(sin\xi -cos\xi )\cdot e^{\xi } \over e^{2\xi }}$

(4.54)

$y'''=4K\cdot {cos\xi \over e^{\xi }}$

(4.55)

Endelig blir den 4. deriverte:

$y''\ ''=4K\cdot {-sin\xi \cdot e^{\xi }-cos\xi \cdot e^{\xi } \over e^{2\xi }}$

(4.56)

$y''\ ''=-4K\cdot {sin\xi +cos\xi \over e^{\xi }}$

(4.57)

Vi ser at antakelsen er bevist:

${d^{4}y \over dx^{4}}=y''\ ''=-4\cdot y$

(4.58)

Det er allerede innført hjelpefunksjonen:

$dx=L\cdot d\xi$

(4.59)

På grunn av symmetri om enkeltlasten Q₀ gjelder som allerede nevnt følgende likevektsbetingelse:

${Q_{0} \over 2}=b\cdot C\cdot \int _{0}^{\infty }ydx$

(4.60)

${Q_{0} \over 2}=b\cdot C\cdot L\cdot \int _{0}^{\infty }yd\xi$

(4.61)

Det er allerede definert:

$y=K\cdot \eta$

(4.62)

hvor

Dette gir:

${Q_{0} \over 2\cdot b\cdot C\cdot L}=\int _{0}^{\infty }K\cdot \eta d\xi =K\cdot \int _{0}^{\infty }\eta d\xi$

(4.63)

Integralet skal løses ved delvis integrasjon:

$K\cdot \int _{0}^{\infty }\eta d\xi =K\int _{0}^{\infty }e^{-X}\cdot (sin(x)+cos(x))dx$

(4.64)

I matematikken er gitt regler for derivasjon av et produkt:

${d \over dx}(f(x)\cdot g(x))=g(x)\cdot {d \over dx}f(x)+f(x)\cdot {d \over dx}g(x)$

(4.65)

Hvert ledd integreres:

$\int {d \over dx}(f(x)\cdot g(x))=\int g(x)\cdot {d \over dx}f(x)+\int f(x)\cdot {d \over dx}g(x)$

(4.66)

Regelen for delvis integrasjon benyttes:

$\int g(x)\cdot {d \over dx}f(x)=f(x)\cdot g(x)-\int f(x)\cdot {d \over dx}g(x)$

(4.67)

Ved hjelp av denne regelen kan integralet løses:

$I=\int _{0}^{\infty }e^{-X}\cdot (cos(x)+sin(x))dx$

(4.68)

$I=\left[-e^{-X}\cdot (cos(x)+sin(x))\right]_{0}^{\infty }-\int _{0}^{\infty }-e^{-X}\cdot (-sin(x)+cos(x))dx$

(4.69)

$I=1+\int _{0}^{\infty }e^{-X}\cdot (cos(x)-sin(x))=1+J$

(4.70)

$J=\left[-e^{-X}\cdot (cos(x)-sin(x))\right]_{0}^{\infty }-\int _{0}^{\infty }-e^{-X}\cdot (-sin(x)-cos(x))dx$

(4.71)

$J=1-I$

(4.72)

$I=1+1-I$

(4.73)

$I=1$

(4.74)

Det er utledet:

$\int _{0}^{\infty }{sin(x)+cos(x) \over e^{X}}dx=1$

(4.75)