Sandkasse/Frank/Dimensjonering-AT

Innledning

Beregning av strømflyt, termisk belastning og dimensjonering av seriekomponenter i autotransformatorsystem (AT-system) med svært stor belastning kan være utfordrende, fordi strømflyten i lederne ikke er symetrisk. For eksempel vil det på en bane med AT-system (elektrisk utforming E) og stor togtrafikk gå mer strøm i positivleder (PL) enn i negativleder (NL). Om en har elektrisk utforming F vil det gå mer størm i kontaktledningen (KL). Artikkelen her fokuserer på elektrisk utforming E.

Med stor togtrafikk menes at det på en matestrekning går så mange tog at det for det meste av tiden vil være ett eller flere tog mellom hver autotransformator (AT), eller AT-vindu. Da vil det være mye strøm som overføres enfaset (eller 15 kV-nivå) og mindre tofaset (eller på 30 kV-nivå). Desto større trafikk desto større blir denne tendensen. Motsatt vil større effekt i transitt, altså effekt som overføres fra en matestrekning til en annen eller forbi ett eller flere AT-vinduer, medføre lik strøm i PL og NL. Det vil være det samm som å si at det overføres effekt tofset.

I praksis vil problemet være størst i Oslo-området der trafikken i deler av døgnet er svært stor. Det som også kompliserer forholdene er stor effekt i transitt, altså effekt som overføres mellom matestrekninger og forbi koblingshus og matestasjoner. Metoden som det her bygges på forutsetter at det foreligger en trafikksimulering der aktiv og reaktiv effekt, samt spenning, er kjent for innmatepunktene til strekningen som skal analyseres. Det fokuseres på korte strekninger, da det først og fremst vil være korte strekninger i Oslo-området der stor trafikk og stor strømbelastning kan kreve egne analyser.

Første del av artikkelen handler om strømflyten i AT-system med få AT-vinduer. Dette brukes for å finne spesielle korreksjonsfaktorer. Deretter utledes formler for å beregne strømflyt, blant annet basert på korreksjonsfaktorer.

Strømflyt i AT-system på kort matestrekning med tog i alle AT-vinduer

For tilfelle med en last i hvert AT-vindu kan ikke beregningene utført av Varju gi noe direkte svar på strømfordelingen. Tilfellet vil være interessant fordi det kan fortelle om strømfordelingen med stor togtrafikk og jevn fordeling av togene på hele matestrekningen. Ut fra det kan en finne korrigeringsfaktorer for å bestemme strømfordelingen. En tar her utgangspunkt i beregningene utført av Varju for en last som suksessivt flyttes fra midten av hvert AT-vindu, se appendiks. Alle bildene her kan gjennfinnes i appendiks.

Strømflyt i AT-system med tre AT-vinduer

For å finne strømmen som flyter i AT-lederne på en matestrekning med tre AT-vinduer undersøkes benyttes figuren under og en metodikk basert på superposisjonsteoremet. Først hentes det ut figurer for togplassering og strøm i midt i hvert AT-vindu fra appendiks. Togene byttes ut med strømkilder som trekker strøm tilsvarende togene. Summen av strømmene til de tre lastene finnes av superposisjonsteoremet som sier at: Den totale strømmen i en hvilken som helst del av en lineær krets tilsvarer den algebraiske summen av strømmer gitt av strømkilde hver for seg. For å bestemme summen av separate strømmer, erstattes alle andre spenningskilder med en kortslutning og alle andre strømkilder med åpne kretser. Dermed fås summen som er vist i det nederste linjediagrammet. Som en kan se er strømfordelingen for AT-lederne ved spenningskildene 66 % i PL og 34 % i NL.

Strømflyt med tre tog midt i hvert AT-vindu. Sorte tall viser resulterende strøm, røde tall er strømkomponenten på 15 kV-nivå og blå er strømkomponent på 30 kV-nivå. Over autotransformatorene er belastningen vist. Her er superposisjonsteoremet anvendt i steg for å finne resulterende strøm.

Strømflyt i AT-system med to AT-vinduer

For anslag av strømfordelingen med last midt på hvert av AT-vinduene, tas det utgangspunkt i tilfellet med én last midt mellom AT-en på en strekning med to AT-vinduene (se appendiks). Det forventes at på en så kort strekning som dette vil begge spenningskildene bidra nokså mye, anslagsvis med fordelingen ⅔ og ⅓ fra spenningskildene henholdsvis til venstre og høyre. I det nederste linjediagrammet er strømmene summert algebraisk. Strømfordelingen for AT-lederne ved spenningskildene er 74 % i PL og 26 % i NL.

Strømflyt med to tog midt i hvert AT-vindu. Sorte tall viser resulterende strøm, røde tall er strømkomponenten på 15 kV-nivå og blå er strømkomponent på 30 kV-nivå. Over autotransformatorene er belastningen vist. Her er superposisjonsteoremet anvendt i steg for å finne resulterende strøm.

Strømflyt i AT-system med ett AT-vindu

I figuren er det vsit strømfordelingen for en matestrekning bestående kun av ett AT-vindu, se appendiks for forklaring. Strømfordelingen for AT-lederne ved spenningskildene er 100 % i PL og 0 % i NL.

Strømflyt i AT-ledere med en last som trekker 1000 A rett ved autotransformatoren midt på matestrekningen. Sorte tall viser resulterende strøm, røde tall er strømkomponenten på 15 kV-nivå.

Tabellen under er en oppsummering av undersøkelsene her og viser usymmetrisk belastning av AT-ledere med en matestrekning bestående av ett, to eller tre AT-vinduer:

Strøm i PL og NL nærmest innmatepunktene

Leder	Tre AT-vinduer	To AT-vinduer	Ett AT-vindu
Strøm i NL	515/1500 → 0,34	260/1000 → 0,26	0/500 →0,0
Strøm i PL	985/1500 → 0,66	740/1000 → 0,74	500/500 →1,0

Tabellen viser en interessant tendens, nemmlig at strømmen i NL og PL blir stadige mer jevnt fordelt med økende antall AT-vinduer. Med anslagsvis fem eller flere AT-vinduer ville sannsynligvis strømfordelingen blitt lik mellom de to lederne.

Beregning av strøm i AT-ledere og autotransformatorer i trafikksimuleringer

For tog som trekker 1000 A og beveger seg mellom to spenningskilder på en matestrekning med tre, to eller ett AT-vindu, vil strømmen fordele seg nokså ulikt mellom AT-lederne, se appendiks. Dette i motsetning til en matestrekning med mange AT-vinduer der strømmen blir jevnere. Tre ting gjør at representasjonen i kapitlet over er en sterk forenkling:

• Spenningskildene er ingen realistisk representasjon av virkelige omformerstasjoner. I virkeligheten vil blant annet antall omformere i drift, indre impedans og spenningsregulatorer spiller inn.
• Togene trekke stor strøm visse steder (hastighetsøkning), mens de andre steder trekker de moderat (jevn hastighet, liten stigning og rulling), ingen strøm (rulling med liten fall) eller mater inn strøm (regenerativ bremsing i fall).
• Strømfordeling for effekt i transitt er ikke undersøkt, men en del effekt vil overføres på en matestrekning til den neste. Denne effekten fordeler seg likt mellom AT-lederne.

For de aktuelle strekningene som en ser på her vil det være stasjoner ved hver av autotransformatorene. Togene kjører ut av stasjonene og akselererer opp i hastighet rett utenfor stasjonene. Det kan derfor godt tenkes stort strømforbruk før togene kommer midt mellom autotransformatorene. Effektfordeling mellom omformerstasjonene som har sammenheng med første kulepunkt blir inkludert i modellene for trafikksimuleringene og vil være gitt i resultatene.

Videre i teksten benyttes det viserstørrelser (fasevektor) med uthevede bokstaver, der selve definisjonen er slik:

$\mathbf {I} ={\hat {i}}e^{j\theta }={\mathfrak {P}}({\hat {i}}\cos(\omega t+\theta ))$

Der ${\mathfrak {P}}$ er symbolet for fasevektortransformasjonen, e er grunntallet for den naturlige logaritmen, j er den imaginære enheten, $\theta$ er et hvilket som helst reelt tall, $\omega \,$ er vinkelhastigheten for vekselspenningen, t er tiden og $\theta$ er faseforskyvningen. En sier at fasevektortransformasjonen overfører sinusfunksjonen for strøm eller spenning (til høyre i parantes i formelen over) fra tidsplanet til kompleksplanet. Formen over er på polar form eller polar koordinat, men kartesisk form er like vanlig, da får uttrykket over denne formen:

$\mathbf {I} ={\hat {i}}\cos \theta +j{\hat {i}}\sin \theta$

I elektroteknikken innføres notasjonen $\scriptstyle 1\angle \theta =1e^{j+\theta }$ som er enklere å skrive når en bruker polar form.

Strøm i AT-ledere trafikksimuleringer

En skal her utlede formler og sette opp en metodikk for belastning av AT-ledere på en strekning vist med en grå boks i hver av illustrasjonene nedenfor. Generelt betraktes en kort matestrekning mellom to omformerstasjoner, som i det øverste bilde nedenfor, eller på en strekning med delvis AT-system og BT-system, og et antall tog som trekker tilfeldig effekt, se det nederste bildet nedenfor.

Skisse for problemet med å finne strømmer i et lite avsnitt med AT-system på to etterfølgende matestrekninger.

Skisse for problemet med å finne strømmer i et lite avsnitt med AT-system på en lang matestrekning.

Det vil for hver av disse boksene være en strøm- og effektkomponent som går rett gjennom, kalt transittstrøm. En annen del går inn i boksen og brukes av togene, kalt togstrøm. Pilene viser fortegnkonvensjonen som benyttes, slik at strøm og effekt inn til boksen er togstrøm. Fra simuleringsprogrammene μPAS eller TPSS kan en kun få verdiene for aktiv- og reaktiv effekt som går over en linje (med fortegn), samt spenning og strøm. Alle verdiene som fås fra μPAS eller TPSS vil være referert 15 kV-nivå. Strømmen som går forbi det grå feltet fra venstre mot høyre i figurene er gitt av sammenhengen:

Feil i matematikken (Konverteringsfeil. Tjeneren («cli») rapporterte: «SyntaxError: Expected "-", "[", "\\", "\\begin", "\\begin{", "]", "^", "_", "{", "}", [ \t\n\r], [%$], [().], [,:;?!'], [/|], [0-9], [><~], [\-+*=], or [a-zA-Z] but "–" found.in 1:69»): {\displaystyle I_{1-2PLT} = I_{1-2NLT}= |\frac {1}{2} \mathbf{I_1}– \frac {1}{2} \mathbf{I_2}| = \frac {1}{4} \cdot | \mathbf{I_1}– \mathbf{I_2}| }

og fra høyre mot venstre i figurene:

Feil i matematikken (Konverteringsfeil. Tjeneren («cli») rapporterte: «SyntaxError: Expected "-", "[", "\\", "\\begin", "\\begin{", "]", "^", "_", "{", "}", [ \t\n\r], [%$], [().], [,:;?!'], [/|], [0-9], [><~], [\-+*=], or [a-zA-Z] but "–" found.in 1:69»): {\displaystyle I_{2-1PLT} = I_{2-1NLT}= |\frac {1}{2} \mathbf{I_2}– \frac {1}{2} \mathbf{I_1}| = \frac {1}{4} \cdot | \mathbf{I_2}– \mathbf{I_1}| }

med positive verdier i pilenes retning i figuren og strømmer referert til 15 kV-nivå. En multipliserer med ½ for å ta hensyn til at strømmen (I₁ og I₂) halveres på grunn av doblet spenningsnivå. Grunnen til at en må ta differansen av strømmen I₁ og I₂ når en ønsker å finne I_1-2PLT og I_1-2NLT gjennom boksen fra 1 til 2, er at noe av strømmen forbrukes av togene som eventuelt er inne i de grå boksene. Det samme gjelder for I_2-1PLT og I_2-1NLT. En kan betrakte figuren nedenfor for å forsikre seg om at det stemmer. Sammenhengen må gjelde både for en matestrekninger, flere AT-vinduer etter hverandre og kun ett AT-vindu. Derfor kan en se på AT-vinduet til høyre uten tog. Der går 360 A i hver av faselederne i AT-vinduet til høyre referert 15 kV-nivå. Med de retningene på pilene og fortegnene som er brukt fås 360–(–360) = 720 A, som mulitplisert med ¼ gir 180 A. Testen brude også vært gjort for et AT-vindu med både tog som konsumerer strøm og med transittstrøm, men noe slik referanseberegning finnes ikke.

Strømmen i PL som tog komsumerer på strekningen er gitt av:

$I_{PLtog}={\frac {1}{2}}\cdot k_{PL}\cdot |\mathbf {I_{1}} +\mathbf {I_{2}} |$

Der en multipliserer med ½ for at summen av strøm inn på AT-vinduet fordeles på lederne fra hver retning frem til toget. I tillegg må korrigeringsfaktorene k_PL anvendes for å ta hensyn til asymmetrisk strømfordeling med få AT-vinduer. Her kan en benytte figuren over med to AT-vinduer med tog i hvert av dem, for å forsikre seg om at formelen stemmer.

I AT-vinduet til høyre går det en strøm på 360 A i hver av NL og PL om denne refereres til 15 kV-nivå

For å finne strømmene I₁ og I₂ benyttes sammenhengen:

$\mathbf {I} ={\frac {\mathbf {S^{*}} }{\mathbf {U^{*}} }}={\frac {\mathbf {P} -j\mathbf {Q} }{\mathbf {U} }}$

Her defineres fasevinkelen til spenningen som referanse og settes til 0°. Det innebærer at fasevinkelforskjellen for spenningen over denne korte strekningen tilnærmes til å være 0°. Videre kan en finne strømmene I₁ og I₂ når effekt og spenning er kjent fra simuleringer:

$\mathbf {I_{1}} ={\frac {\mathbf {P_{1}} -j\mathbf {Q_{1}} }{\mathbf {U_{1}} }}\land \mathbf {I_{2}} ={\frac {\mathbf {P_{2}} -j\mathbf {Q_{2}} }{\mathbf {U_{2}} }}$

Dermed kan en finne strømmen som går i PL ved 1 i de grå boksene i skissene over ved å sette inn for summen av togstrøm (I_PLtog) og transittstrøm (I_PLT):

$I_{1PL}=\left|\mathbf {I_{PLT}} +\mathbf {I_{PLtog}} \right\vert =\left|{\frac {1}{4}}(\mathbf {I_{1}} -\mathbf {I_{2}} )+{\frac {1}{2}}k_{PL}(\mathbf {I_{1}} +\mathbf {I_{2}} )\right\vert$

og ved 2:

$I_{2PL}=\left|\mathbf {I_{PLT}} +\mathbf {I_{PLtog}} \right\vert =\left|{\frac {1}{4}}(\mathbf {I_{2}} -\mathbf {I_{1}} )+{\frac {1}{2}}k_{PL}(\mathbf {I_{1}} +\mathbf {I_{2}} )\right\vert$

Her er det første leddet (differansen) strømkomponenten som overføres forbi AT-vinduet(ene), altså transittstrøm, og det andre leddet er strøm som togene på strekningen forbruker, kalt togstrøm.

Betingelsen for sammenhengen er at matestrekningen er kort, anslagsvis mindre enn fem AT-vinduer.

Strøm gjennom autotransformatorene i trafikksimuleringer

Ut fra det en har sett over angående belastning av autotransformatorene vil de belastes lavt på grunn av den store andelen effektoverføring kun 15 kV-nivå når det er få AT-vinduer på en kort matestrekning. For å finne belastningen for autotransformatorer ved starten av en strekning med en, to eller tre AT-vinduer og jevnt fordelete tog betraktes figurene ovenfor som viser disse situasjonene. For innmating mot den grå boksen som betraktes fås for innmating fra side 1:

$I_{1AT}=\left|k_{AT}\mathbf {I_{1}} \right\vert$

og ved 2

$I_{2AT}=\left|k_{AT}\mathbf {I_{2}} \right\vert$

Der en tar hensyn til antall AT-vinduer ved å ta med faktoren k_AT som har verdier gitt av tabellen nedenfor. Verdiene i tabellen er hentet fra figurene med tre, to og ét AT-vindu og like mange tog som viser belastningen av autotransformatorene med tog jevnt fordelt på matestrekningen:

Strøm i autotransformatorer nærmest innmatepunktene (fra 15 til 30 kV) eller overgang mellom BT- og AT-system.

	Tre AT-vinduer	To AT-vinduer	Ett AT-vindu
Strøm i AT (kAT)	1030/1500 → 0,69	520/1000 → 0,52	0/500 →0,0

En formel for strømmen som fordeler seg på autotransformatorene midt på strekningen kan settes opp slik:

$I_{midtAT}=k_{midtAT}\left|\mathbf {I_{1}} +\mathbf {I_{2}} \right\vert$

Belastningen av hver autotransformator ute på matestrekningen finnes som summen av strømmen inn på matestrekningen dividert på antall autotransformator. Da kan en regne med at autotransformatoren på midten gjennomsnittlig belastes minst med så stor strøm. Verdiene i tabellen nedenfor er hentet fra figurene med tre, to og ét AT-vindu og like mange tog som viser belastningen av autotransformatorene med tog jevnt fordelt på matestrekningen:

Strøm i autotransformatorer ute på matestrekningen (fra 15 til 30 kV).

	Tre AT-vinduer	To AT-vinduer	Ett AT-vindu
Strøm i midt AT (kmidt AT)	1030/3000 → 0,3433	520/1000 → 0,52	–

Der k_{midt AT} er korrigeringsfaktoren autotransformatorer på matestrekningen gitt av verdiene i tabellen ovenfor og de andre symbolene er de samme som lengre opp. I et tilfelle med flere enn tre AT-vinduer antas det at korrigeringsfaktoren k_{midt AT} kan erstattes slik, der n er antall autotransformatorer:

$I_{midtAT}={\frac {1}{n}}\left|\mathbf {I_{1}} +\mathbf {I_{2}} \right\vert$

Strøm gjennom autotransformatorer tilknytet et topoelt koblingshus

For strøm gjennom autotransformatorer tilknyttet et topolet samleskinneanlegg (koblingshus), må en finne strømmen som mates ut på 15 kV-nivå til tilstøtende matestrekninger. Om matestrekningene tilknyttet samleskinneanlegget er lange, autotransformatorene plassert med lik avstand og med jevnt fordelt effektuttak, kan en anta lik belastning for alle autotransformatorene. Men om disse forutsetningene ikke er til stede kan bruk av tommelfingerregler gi feil, for eksempel ved at mer effekt enn vanlig omsettes på 15 kV-nivå og belaster autotransformatorene tilknyttet samleskinnen mye.

Om en kan finne strømmen som går inn til samleskinneanleggets forsyningsområde, markert med gråt i figuren ndenfor, vil den delen som er togstrømmen belaste autotransformatoren tilknyttet samleskinneanlegget:

$I_{khAT}=k_{khAT}\left|\mathbf {I_{1}} +\mathbf {I_{2}} +\mathbf {I_{5}} \right\vert$

Det grå området kan ha en utstrekning til nærmeste autotransformator i hver retning ut fra koblingshuset, og denne utstrekningen vil påvirke korrigeringsfaktoren kkhAT.

Problemstillingen med å finne riktig belastning av autotransformatoren tilknyttet samleskinnen til et koblingsanlegg når det er effektflyt både på 15 kV- og 30 kV-nivå gjennom koblingshuset.

Problemet her er at en ikke har noen sikre beregninger for hvor stor korrigeringsfaktoren k_khAT egentlig skal være. En annen mulighet er å betrakte hvert AT-vindu som koblingshuset mater ut til individuelt, se figuren nedenfor. Strømmen som belaster autotransformatoren tilknyttet det topolede samleskinneanlegget sies da å være summen av alle strømmene inn til hvert AT-vindu, korrigert med en korrigeringsfaktor:

$I_{ATkoblingshus}=\left|k_{AT1}(\mathbf {I_{1-2}} +\mathbf {I_{2-1}} )+k_{AT2}(\mathbf {I_{3-4}} +\mathbf {I_{4-5}} )+k_{AT3}(\mathbf {I_{5-6}} +\mathbf {I_{6-5}} )\right\vert$

Den enkleste måten å håndtere korreksjonsfakterene på er å si at de alle er lik og at halvparten av strømmen for hvert AT-vindu fordeles likt, altså at k_AT1=k_AT2=k_AT3=0,5.

Problemstillingen med å finne belastning av autotransformatoren tilknytet topolet samleskinne løses med å summere strømmen til hvert av AT-vinduene.