Utledning kurveveksler

Utledning, formel for radier, kurveveksel

I figuren under vises geometri for en enkel sporveksel med lang kurve og en utoverbøyd kurveveksel.

Siden vinkelen $\alpha$ er liten, antas t å være tilnærmet lik både før og etter bøying av den enkle vekselen. Ved å benytte cosinussetningen:

$C^{2}=A^{2}+B^{2}-2AB\cdot cos(\gamma )$

oppnås følgende sammenheng mellom radier og vinkel, $\alpha$:

$(R+r)^{2}=(r+x)^{2}+(R+x)^{2}-2(r+x)(R+x)\cdot cos(\pi -\alpha )$

Videre bearbeiding av denne ligningen gir:

$Rr=rx+x^{2}+Rx+(Rr+Rx+rx+x^{2})\cdot cos(\alpha )$

$R(r-x+rcos(\alpha )+xcos(\alpha ))=(rx+x^{2})(1+cos(\alpha ))$

$R\left((r(1+cos(\alpha ))-x(1-cos(\alpha ))\right)=(rx+x^{2})(1+cos(\alpha ))$

$R\left((r-x{\frac {1-cos(\alpha )}{1+cos(\alpha )}}\right)=x(r+x)$

Ved å benytte den trigonometriske identiteten:

$tan(\alpha /2)^{2}={\frac {1-cos(\alpha )}{1+cos(\alpha )}}$

gir dette videre:

$R\left((r-x\cdot tan(\alpha /2)\right)=x(r+x)$

Fra geometrien i den enkle vekselen, kan vi nå innføre:

$tan(\alpha /2)=t/r_{0}$

Merk at dette er en tilnærming som kun er gyldig når stigningen i vekselen kan ses på som liten, hvilket den stort sett er i enkle veksler.