Elektrisk systembeskrivelse av kontaktledningsanlegg ver01

__NUMBEREDHEADINGS__

Generelt

Kontaktledningsanlegget overfører effekt mellom matestasjonen og traksjonsmateriell og andre belastninger tilknyttet kontaktledningen. I eldre anlegg skjer overføringen i kontaktledning ved 15 kV nominell spenning, med retur i kjøreskinner ved 0 kV. I nyere anlegg er det innført returledere eller AT-system med positivleder og negativleder. Følgende ledere vil bli omtalt videre i dette kapittelet:

<figtable id="tab:Ledere_oversikt">

Ledere oversikt

Leder	Forklaring	Nominell spenning
KL	Kontaktledningsanlegg, omfatter kontakttråd og bæreline	15 kV
RR	Kjøreskinner	0 kV
RL	Returleder	0 kV
FSL	Forsterkningsleder	15 kV
PL	Positivleder (for AT-system)	normalt + 15 kV
NL	Negativleder (for AT-system)	normalt - 15 kV

</figtable>

I dette kapittelet vil det bli beskrevet en matematisk modell som beskriver hvordan strøm og spenning fordeler seg mellom ulike ledere i et slikt flerledersystem som et kontaktledningsanlegg utgjør. En slik modell kan brukes til å beregne:

• impedansen mellom matestasjon og belastning i kontaktledningssystemet,
• potensial i returkretsen,
• indusert spenning i ledere som går parallelt med jernbanetraseen,
• belastning på enkeltledere og komponenter i kontaktledningsnettet.

Introduksjon: Telegraflikningene

Den enkleste formen for problemet er ei enkelt linjesløyfe. En kontaktledning med retur i kjøreskinner kan forenklet betraktes på denne måten, hvis man ser bort fra lekkasje til jordsmonn. Telegraflikningen tar utgangspunkt i et svært kort linjesegment dx av linjesløyfa. Linjesegmentet har en seriell resistans R · dx og reaktans X · dx, og en parallell konduktans G · dx og susceptans B · dx.

<figure id="fig:Telegraflikningene">

Telegrafilikningen: Kretsskjema for et linjesegment dx </figure> Parametrene kan skrives om om slik at impedansen blir $Z=R+jX$ og admittansen blir $Y=G+jB$ Det serielle spenningsfallet dU over dette linjesegmentet er gitt av Ohms lov: (i) ${\frac {\mathrm {d} U}{\mathrm {d} x}}=-Z\cdot I$ Strømmen som lekker gjennom admittansen $Y$ utgjør forskjellen i strøm over linjesegmentet. Denne strømmen er proporsjonal med spenningen: (ii) ${\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} x}}=-G\cdot U$ Likningene (i) og (ii) danner et koplet likningssett som i litteraturen kalles for telegraflikningene. Likningssettet kan løses for en lang linje ved å derivere (i) og sette inn resultatet i (ii) (i) ${\frac {\mathrm {d} ^{2}U}{\mathrm {d} x^{2}}}=-Z\cdot {\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} x}}$ (i) ${\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} x}}=-{\frac {1}{Z}}\cdot {\frac {\mathrm {d} ^{2}U}{\mathrm {d} x^{2}}}$ Setter inn (i) i (ii) og skriver om: (iii) ${\frac {\mathrm {d} ^{2}U}{\mathrm {d} x^{2}}}=Y\cdot Z\cdot U$ Løsningen på en slik andre ordens differensiallikning finnes ved å anta at spenningen U og strømmen I har den generelle formen: (iv) $U=U_{0}\cdot e^{\gamma x}$ (v) $I=I_{0}\cdot e^{\gamma x}$ Ved å dobbeltderivere (iv) og sette inn i (iii) finner man: (iii) $U_{0}\cdot \gamma ^{2}\cdot e^{\gamma x}=Y\cdot Z\cdot U_{0}\cdot e^{\gamma x}$ Man ordner (iii) og finner: (vi) $\gamma =\pm {\sqrt {Y\cdot Z}}$ Fordi kvadratroten her kan gi både positivt og negativt resultat blir $U$ blir da gitt av følgende uttrykk: (vii) $U=U_{0}^{+}\cdot e^{\gamma x}+U_{0}^{-}\cdot e^{-\gamma x}$ Ved å derivere (vii) og sette uttrykket inn i (i) finner man: (viii) $U_{0}^{+}\cdot (+\gamma )\cdot e^{(+\gamma )x}+U_{0}^{-}\cdot (-\gamma )\cdot e^{(-\gamma )x}=-\left(Z\right)\cdot I$ Man kan så ordne uttrykket og sette inn for $\gamma$: (ix) $I=U_{0}^{+}\cdot {\frac {\gamma }{Z}}\cdot e^{\gamma x}+U_{0}^{-}\cdot -{\frac {\gamma }{Z}}\cdot e^{-\gamma x}=U_{0}^{+}\cdot {\sqrt {\frac {Y}{Z}}}\cdot e^{{\sqrt {Y\cdot Z}}x}-U_{0}^{-}\cdot {\sqrt {\frac {Y}{Z}}}\cdot e^{-{\sqrt {Y\cdot Z}}x}$ En kan se at leddene markert med (+) og (-) er lineært uavhengige uttrykk, slik at ${\frac {U_{0}^{+}}{I_{0}^{+}}}=-{\frac {U_{0}^{-}}{I_{0}^{-}}}={\sqrt {Z}}{Y}$ Dette uttrykket kalles transmisjonslinjens karakteristiske impedans, og benevnes med $Z_{0}$. Oppsummert finner man at resultatet av transmisjonslikningene blir: $U=U_{0}^{+}\cdot e^{\gamma x}+U_{0}^{-}\cdot e^{-\gamma x}$ $I=I_{0}^{+}\cdot e^{\gamma x}-I_{0}^{-}\cdot e^{-\gamma x}$ der ${\frac {U_{0}^{+}}{I_{0}^{+}}}=-{\frac {U_{0}^{-}}{I_{0}^{-}}}=Z_{0}=sqrt{\frac {Z}{Y}}$