Vis kilden til Termisk dimensjonering av ledere

__NUMBEREDHEADINGS__
= Hensikt og omfang =
I dette dokumentet er det utarbeidet en grunnleggende teoretisk beskrivelse termisk dimensjonering av ledere.

= Grunnleggende krav =

== Generelt ==
Det grunnleggende kravet for termisk dimensjonering av en leder, er hvor høy temperatur det er akseptabelt å utsette lederen for. Det varierer med bruksområde og materialtype.

* For ledere som er avspent under mekanisk strekk er det risiko for at høy temperatur varig svekker den mekaniske styrken. Dette begrenser maksimal temperatur som lederen får utsettes for.
* For fast avspente ledere vil høy temperatur føre til stor pilhøyde og dermed liten klaring mot omgivelsene.
* For loddavspente ledere, som kontakttråden og bærelina, vil høy temperatur kunne føre til at loddene beveger seg for langt ned mot bakken. Ved dimensjonerende temperatur begrenser dette hvor lange ledningsparter som kan benyttes.
* For kabler og isolerte ledere vil for høy temperatur skade isolasjonen.
* Uisolerte jord- og utjevningsledere er ofte ikke utsatt for mekanisk strekk, og for slike ledere er det akseptabelt med en høyere ledertemperatur. Praktisk begrenses temperaturen av faren for brann i materialer som lederen er i dirkte kontakt med. Dersom lederen er utsatt for direkte berøring kan det også være nødvendig å ta høyde for fare for forbrenning.
* For uisolerte ledere er det fare for at langvarig overtemperatur kan føre til akselerert korrosjon.

== Krav til maksimal temperatur for ledere ==
<figtable id="tab:Temperaturgrenser">
{| class="wikitable" style="text-align:left"
|+ <caption>Temperaturgrenser i henhold til standarder</caption>
|-
! Bruk
! Standard
! Materiale
! Temperatur kontinuerlig [°C]
! Temperatur inntil 30 minutter [°C]
! Temperatur inntil 1 sekund (kortslutning) [°C]
! Kommentar
|-
| rowspan=7 | Opphengt kontaktledning
| rowspan=7 | EN 50119 "Railway applications - Fixed installations - Electric traction overhead contact lines"
| Kobber med normal og høy styrke og med god ledningsevne
| 80
| 120
| 170
| rowspan=7 | Høyeste tillatte temperatur for mekanisk styrke til kontaktledningsanlegget.
|-
| Kobberlegering med sølv
| 100
| 150
| 200
|-
| Kobberlegering med tinn
| 100
| 130
| 170
|-
| Kobberlegering med magnesium/bronse (0,2)
| 100
| 130
| 170
|-
| Kobberlegering med magnesium/bronse (0,5)
| 100
| 150
| 200
|-
| Aluminiumslegeringer
| 80
| -
| 130
|-
| ACSR/AACSR (Stålforsterket aluminium, Feral)
| 80
| -
| 160
|-
| rowspan=2 | Opphengte, fast avspente ledere
| rowspan=2 | IEC 60865-1 "Short-circuit currents - Calculation of effects - Part 1: Definitions and calculation methods"
| Kobber, aluminium og aluminiumslegeringer
| -
| -
| 200
| rowspan=2 | Standarden angir at temperaturene vil kunne føre til en neglisjerbar reduksjon i mekanisk styrke som erfaringsmessig ikke er stor nok til å påvirke anleggets drift.
|-
| Stål
| -
| -
| 300
|-
| Uisolerte ledere som ikke er utsatt for mekanisk strekk
| NEK 440 (EN 50522) <br><br> NEK 445 (EN 50341-1)
| alle materialer
| -
| -
| 300
| Reell begrensning for uisolerte ledere for jording og utjevning er den temperaturen der materialer i kontakt med lederen kan selvantenne, det er typisk i området 300 - 500 °C for løv og annet biologisk materiale. 300 °C blir ofte brukt som dimensjoneringsgrunnlag, og det gir noe marginer. <br> Begrensningen for selve ledermaterialet ligger ved smeltepunktet på 1084,6 °C for kobber, 660,3 °C for aluminium, og 1538 °C for jern (legeringer vil avvike fra de angitte verdiene).
|-
| rowspan=3 | Kabler og isolerte ledere
| rowspan=2 | IEC 60502-1 "Power cables with extruded insulation and their accessories for rated voltages from 1 kV (Um = 1,2 kV) up to 30 kV(Um = 36 kV) - Part 1: Cables for rated voltagesof 1 kV (Um = 1,2 kV) and 3 kV (Um = 3,6 kV)"
| Ledere med PVC-isolasjon
| 70
| -
| 160
| rowspan=3 | Isolasjonen begrenser maksimal ledertemperatur
|-
| Ledere med isolasjon i XLPE (tverrbundet polyetylen) eller EPR/HEPR (polyetylenpropylen-gummi)
| 90
| -
| 250
|-
| IEC 60502-2 "Power cables with extruded insulation and their accessories for rated voltages from 1 kV (Um = 1,2 kV) up to 30 kV (Um = 36 kV) - Part 2: Cables for rated voltages from 6 kV (Um = 7,2 kV) up to 30 kV (Um = 36 kV)"
| Kabler mellom 1 og 36 kV med XLPE isolasjon
| 90
| -
| 250
|}
</figtable>

For uisolerte ledere som ikke er utsatt for mekanisk strekk angir ikke standardene en maksimal temperatur for normal drift. I det videre er det antatt en tillatt maksimal kontinuerlig ledertemperatur på 100 °C for slike ledere. Konsekvensen ved overtemperatur er liten, slik at det her ikke er nødvendig å bruke gjennomgående konservative antakelser.

= Varmebalanse =
Ved beregning av temperatur i en leder må lederens varmebalanse legges til grunn. Varmebalansen angir at akkumulert varme i en leder er lik summen av all tilført varme minus summen av all avkjøling for lederen:

<br>
<equation id="eqn:Varmebalanse">
<math>
\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t} = P_\text{el}+Q_\text{sol}-Q_\text{str}-Q_\text{konv}-Q_\text{kond}
</math>
<caption>Varmebalanse</caption>
</equation>
<br>

Likningen er grunnlaget for termiske beregninger for:
* kontinuerlig strømføringsevne,
* dynamisk beregning av ledertemperatur ved varierende parametre - normalt varierende strømbelastning, og
* oppvarming ved kortslutning.

I [[Termisk_dimensjonering_av_ledere#Vedlegg_A:_Mekanismer_for_oppvarming_og_avkj.C3.B8ling_av_ledere| vedlegg A]] er hvert av leddende i varmebalansen beskrevet detaljert for en rund leder.

<figtable id="tab:Symbolforklaring Varmebalanse">
{| class="wikitable" style="text-align:left"
|+ <caption>Symbolforklaring, varmebalanse per løpende meter for lederen</caption>
|-
! Symbol !! Enhet !! Forklaring
|-
| <math>E</math> || J/m || Netto termisk energi i ledermaterialet
|-
| <math>t</math> || s || Tid
|-
| <math>P_\text{el}</math> || W/m || Tilført elektrisk varme
|-
| <math>Q_\text{sol}</math> || W/m || Tilført solvarme (for leder som utsettes for sol)
|-
| <math>Q_\text{str}</math> || W/m || Avgitt strålingsvarme til omgivelsene (for leder i luft)
|-
| <math>Q_\text{konv}</math> || W/m || Avgitt konvektiv varme til omgivelsene (for leder i luft)
|-
| <math>Q_\text{kond}</math> || W/m || Avgitt konduktiv varme til omgivelsene (for leder i jord)
|}
</figtable>

= Kontinuerlig strøm =
For beregning av kontinuerlig strømføringsevne tas det utgangspunkt i varmebalansen i <xr id="eqn:Varmebalanse" />, der man setter det tidsderiverte leddet <math>\frac{d \mathrm{E}}{d \mathrm{t}}</math> lik 0, og utvide den elektriske varmen <math>P_{el} = r_{T} \cdot I^2</math>. Da finner man følgende uttrykk for den kontinuerlige strømmen som gir en gitt temperatur:

<br>
<equation id="eqn:Kontstrom">
<math>
I = \sqrt{ \frac{1}{r_{T}} \cdot \left( Q_\text{str} + Q_\text{konv} + Q_\text{kond} - Q_\text{sol} \right) }
</math>
<caption>Kontinuerlig strøm</caption>
</equation> <br>

I dette uttrykket må resistansen <math>r_{T}</math> og alle varmestrømmene evalueres ved tillatt maksimal ledertemperatur <math>T_\text{leder}</math>. Dette er gjort for utvalgte uisolerte ledere i [[Termisk_dimensjonering_av_ledere#Vedlegg_A:_Mekanismer_for_oppvarming_og_avkj.C3.B8ling_av_ledere| vedlegg A]], og resultatet er vist i <xr id="tab:Varmestrom" />. Det ligger flere forutsetninger til grunn. De benyttede forutsetningene er rimelige for jordledere og utjevningsforbindelser.

* Maksimal kontinuerlig ledertemperatur er satt til 100 °C for alle ledere.
* For leder i luft er vindhastigheten satt til 0,3 m/s og dimensjonerende omgivelsestemperatur er satt til 25 °C.
** Standarden IEC 60287-3-1 angir 25 °C som dimensjonerende omgivelsestemperatur i luft for termisk dimensjonering av kabler i Norge. Faktisk omgivelsestemperatur vil sannsynligvis overstige dette noen dager i året. Konsekvensen av en kortvarig overtemperatur i lederen som følge av dette vurderes vanligvis som akseptabel.
** 0,3 m/s antas å være rimelig for ledere som er forlagt nær eller på bakken; antas rimelig for utjevningsforbindelser.
* For leder i jord er dimensjonerende omgivelsestemperatur og 17 °C, jordsmonnets termiske ledeevne er satt til 0,5 W/(m·K), og dybden er satt til 0,5 m (dypt er konservativt for stasjonære forhold).
** Standarden IEC 60287-3-1 angir 17°C som dimensjonerende omgivelsestemperatur i jord for termisk dimensjonering av kabler i Norge.
<br>

<figtable id="tab:Varmestrom">
{| class="wikitable" style="text-align:left"
|+ <caption>Varmeflyt og lederresistans for uisolert leder i luft og i jord ved 100 °C ledertemperatur</caption>
|-
! !! colspan="4"| Varmestrøm <br> Beregnet i [[Termisk_dimensjonering_av_ledere#Vedlegg_A:_Mekanismer_for_oppvarming_og_avkj.C3.B8ling_av_ledere|''Lenke:'' Vedlegg A]] <br> [W/m] !! colspan="3"| Lederresistans [10 <sup>-4</sup> Ω/m]
|-
! Ledertverrsnitt <br> [mm<sup>2</sup>] !! Q<sub>konv</sub> <br> leder i luft !! Q<sub>kond</sub> <br> leder i jord !! Q<sub>str</sub> <br> leder i luft !! Q<sub>sol</sub> <br> leder utsatt for sol !! Cu !! Al !! Stål
|-
| 50 || 41,7680 || 47,2027 || 2,4487 || 5,0267 || 4,6979 || 7,4606 || 50,688
|-
| 70 || 45,4945 || 48,6855 || 2,8973 || 5,9476 || 3,3556 || 5,3290 || 36,206
|-
| 95 || 49,21916 || 50,1143 || 3,3753 || 6,9288 || 2,4726 || 3,9267 || 26,678
|-
| 120 || 52,3119 || 50,2652 || 3,7935 || 7,7873 || 1,9575 || 3,1086 || 21,120
|}
</figtable>

Med utgangspunkt i de beregnede varmestrømmene og lederresistansen ved høyeste tillatte kontinuerlige temperatur, er kontinuerlig strømføringsevne for de aktuelle lederne beregnet i <xr id="tab:Kont_stromforingsevne" />

<figtable id="tab:Kont_stromforingsevne">
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|+ <caption>Beregnet kontinuerlig strømføringsevne for uisolerte ledere som ikke er utsatt for mekanisk stress.</caption>
|-
! Ledertverrsnitt <br> [mm<sup>2</sup>]
! colspan = "3" | Forlagt i jord <br> [A]
! colspan = "3" | Forlagt i luft* <br> [A]
|-
!  !! Cu !! Al !! Fe !! Cu !! Al !! Fe 
|-
| 50 || 317 || ** ||  97 ||  312 || 248  || 95
|-
| 70 || 381 || ** ||  116  ||  387 || 307  || 118
|-
| 95 || 450 || ** ||  137 ||  470 ||  373 || 143
|-
| 120 || 512 ||  ** || 156  || 547|| 434  || 166
|-
| colspan="9" style="text-align:left"| * Verdiene er beregnet ved eksponering for sol. <br> For ledere som forlegges beskyttet mot sol, økes strømføringsevnen med ca 7 %. <br> ** Uisolert aluminium kan ikke forlegges direkte i jord på grunn av fare for korrosjon.
|}
</figtable>

= Kortslutningsstrøm =

== Generelt ==
En kortslutning har kort varighet. Oppvarming av en leder under så raske forhold kan antas som ''adiabatisk'', det vil si at andre varmestrømmer (oppvarming og avkjøling) enn den elektriske under kortslutningsforløpet neglisjeres. All tilført energi under kortslutningsforløpet går da til å varme opp ledermaterialet.

For å beregne temperaturøkningen i en leder under en kortslutning tar man igjen utgangspunkt i varmebalansen for lederen i <xr id="eqn:Varmebalanse" />, og setter alle andre varmestrømmer enn P<sub>el</sub> lik 0. Da får man:

<equation id="eqn:kortslutning_varmebalanse">
<math>
\frac{dE}{dt} = P_{el}
</math> <caption></caption>
</equation>

Som vist i [[Termisk_dimensjonering_av_ledere#Vedlegg_A:_Mekanismer_for_oppvarming_og_avkj.C3.B8ling_av_ledere| vedlegg A]] kan uttrykket utvides til:

<equation id="eqn:kortslutning_varmebalanse2">
<math>
m \cdot c_p \cdot \frac{dT}{dt} = r_{ref} \cdot \left[ 1 + \alpha \cdot \left( T - T_{ref} \right) \right] \cdot I^2
</math> <caption></caption>
</equation>

Fordi temperaturen, og dermed resistansen, ikke er konstant under kortslutningsforløpet, men øker jevnt, blir dette en differensiallikning. Differensiallikningen kan separeres med hensyn på temperaturen T og tiden t, og så integreres over kortslutningsforløpet:

<equation id="eqn:kortslutning_varmebalanse3">
<math>
\int_{\theta_i}^{\theta_f} \frac{1}{1+\alpha \cdot \left( T - T_{ref} \right) } dT = \int_{t_0}^{t_0 + t_f} \frac{r_{ref} \cdot I^2}{m \cdot c_p} dt
</math> <caption></caption>
</equation>

Her er
* θ<sub>i</sub> ledertemperaturen før kortslutning,
* θ<sub>f</sub> er ledertemperaturen etter kortslutning, og
* t<sub>f</sub> er varigheten av kortslutningen.

I denne utledningen antar vi at strømmen ''I'' og alle parametrene er konstante under kortslutningsforløpet. Løsningen for integralene er:

<equation id="eqn:kortslutning_varmebalanse3">
<math>
\frac{1}{\alpha} \cdot \ln{ \left( \frac{\theta_f + \frac{1}{\alpha}-T_{ref}}{\theta_i + \frac{1}{\alpha}-T_{ref}} \right) } = \frac{r_{ref}}{m \cdot c_p} \cdot t_f \cdot I^2
</math> <caption></caption>
</equation>

Dette resulatet kan ordnes slik at man finner ledertemperaturen etter kortslutning som funksjon av ledertemperatur før kortlsutning og kortslutningsstrøm: θ<sub>f</sub> = ''f''(θ<sub>i</sub>,I):

<equation id="eqn:kortslutning_varmebalanse5">
<math>
\theta_f = T_{ref}-\frac{1}{\alpha}+\left( \theta_i + \frac{1}{\alpha} - T_{ref} \right) \cdot e^{\frac{\alpha \cdot r_{ref}}{m \cdot c_p} \cdot t_f \cdot I^2}
</math> <caption></caption>
</equation>

I mange tilfeller vil man heller ordne resultatet slik at man finner tillatt maksimal kortslutningsstrøm som funksjon av tillatt maksimal ledertemperatur etter kortslutning, og ledertemperatur før kortslutning: I = ''f''(θ<sub>i</sub>,θ<sub>f</sub>):

<equation id="eqn:kortslutning_varmebalanse4">
<math>
I = \sqrt{ \frac{m \cdot c_p}{\alpha \cdot r_{ref} \cdot t_f } \cdot \ln{ \left( \frac{\theta_f+\frac{1}{\alpha} - T_{ref}}{\theta_i+\frac{1}{\alpha} - T_{ref}}  \right) }}
</math> <caption></caption>
</equation>

Den angitte formelen i NEK 440 og i NEK 445 for oppvarming av en leder under kortslutning er en forenkling av dette uttrykket, der T<sub>ref</sub> er satt til 0 °C, og lederens masse og resistans er erstattet med lederens tetthet, resistivitet og tverrsnittsareal. 
Angivelsen av kortslutningsstrømmer i Teknisk regelverk er gjort i henhold til den forenklede formelen i NEK 440 og i NEK 445.

<equation id="eqn:kortslutning_NEK440">
<math>
I = A \cdot K \cdot \sqrt{ \frac{ \ln{ \left( \frac{\theta_f+\beta}{\theta_i + \beta}  \right) }}{t_f}}
</math> <caption></caption>
</equation>

<figtable id="tab:Symbolforklaring kortslutning NEK 440">
{| class="wikitable" style="text-align:left"
|+ <caption>Symbolforklaring for beregning av kortslutningsstrøm etter NEK 440/NEK 445</caption>
|-
! Symbol !! Enhet !! Forklaring
|-
| I || A || Kortslutningsstrøm, effektivverdi
|-
| A || mm<sup>2</sup> || Lederens tverrsnittsareal
|-
| t<sub>f</sub> || s || Varighet for kortslutning
|-
| θ<sub>i</sub> || °C || Ledertemperatur før kortslutning
|-
| θ<sub>f</sub> || °C || Ledertemperatur etter kortslutning
|-
| β || °C || Materialkonstant, angitt i NEK 440 til: 234,5 for kopper, 228 for aluminium, 202 for stål
|-
| K || <math>\frac{A \cdot \sqrt{s}}{mm^2} </math> || Materialkonstant, angitt i NEK 440 til 226 for kopper, 148 for aluminium, 78 for stål
|}
</figtable>

== Beregningsforutsetninger ==

=== Kortslutningsstrømmens varighet ===
Kortslutningsstrømmens varighet er gitt av vern. I kontaktledningsanlegg benyttes hurtige vern som kopler ut kortslutningsstrøm fort. Generelt kan det legges til grunn en frakoplingstid for store kortslutningsstrømmer på 0,1 s. I noen tilfeller kan det gjenstå en kortslutningsstrøm i inntil 0,2 s etter dette, og for eldre anlegg enda noe lengre. Slike strømmer fører til svært liten oppvarming sammenliknet med strømmen som går de første 0,1 s. Ved utarbeidelse av kravene i [https://trv.jbv.no/wiki/Felles_elektro/Prosjektering_og_bygging/Generelle_tekniske_krav#Dimensjonerende_kortslutnings-str.C3.B8mmer_og_varigheter_for_15_kV-anlegget|''Lenke:'' Teknisk regelverk, Felles Elektro, Generelle tekniske krav] er det lagt til grunn at strømmen de siste 0,2 sekunder av et kortslutningsforløp er 1/3 av strømmen de første 0,1 sekunder. Dette er benyttet videre her.

=== Ledertemperatur før kortslutning ===
Beregningene gjøres med en ledertemperatur før kortslutning på 25 °C for ledere som normalt er ubelastet, og 70-100 °C for ledere som normalt er belastet (høyeste tillatte ledertemperatur ved normal drift).

== Resultater ==
I [https://trv.jbv.no/wiki/Felles_elektro/Prosjektering_og_bygging/Generelle_tekniske_krav#Dimensjonerende_kortslutnings-str.C3.B8mmer_og_varigheter_for_15_kV-anlegget|''Lenke:'' Teknisk regelverk, Felles Elektro, Generelle tekniske krav] er det angitt dimensjonerende kortslutningsstrømmer for hele landet for termisk dimensjonering av ledere for jording og utjevning:

<figtable id="tab:Dimensjonerende_kortslutningsstrommer">
{| class="wikitable" style="text-align:left"
|+ <caption>Dimensjonerende kortslutningsstrøm for termisk dimensjonering</caption>
|-
! Område
! Subtransient kortslutningsstrøm <br> [A] !! Dimensjonerende kortslutningsstrøm <br> 0,1 sekund <br> [A,eff] !! Dimensjonerende kortslutningsstrøm <br> 0,3 sekunder I<sub>th0,3</sub> <br> [A,eff]
|-
| Koblingshuset Oslo S || 31 500 || 37 800 || 23 400
|-
| Oslo-området || 25 000 || 30 000 || 18 600
|-
| Ofotbanen || 20 000 || 24 000 || 14 900
|-
| Resten av landet || 12 500 || 15 000 || 9 300
|}
</figtable>

Følgende maksimale termiske kortslutningsstrøm er beregnet for ulike ledere:

<figtable id="tab:Kortsl_stromforingsevne">
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|+ <caption>Maksimal kortslutningsstrøm for ledere som ikke fører driftsstrøm.</caption>
|-
! 
! colspan = "9" | Maksimal kortslutningsstrøm <math> I_{th 0,3} </math> [kA]
|-
! Ledertverrsnitt <br> mm<sup>2</sup>
! colspan = "3" | Uisolert leder <br> tillatt sluttemperatur <math> \theta_f </math> = 300 °C
! colspan = "3" | Isolert leder  (XLPE  eller  EPR/HEPR)  <br> tillatt sluttemperatur <math> \theta_f </math> = 250 °C
! colspan = "3" | Isolert leder (PVC) <br> tillatt sluttemperatur <math> \theta_f </math> = 160 °C
|-
!  !! Cu !! Al !! Stål !! Cu !! Al !! Stål !! Cu !! Al !! Stål
|-
| 50 || 17,54 || 11,59  ||  6,34 || 16,30 ||  10,78 ||   5,91 || 13,35  || 8,84   || 4,86
|-
| 70 || 24,55 ||  16,22 ||  8,88  || 22,82 ||  15,09 ||  8,27 || 18,69  ||  12,37 || 6,81
|-
| 95 || 33,32 ||  22,02 || 12,05  || 30,97 || 20,48  || 11,23   || 25,37  || 16,79  || 9,24
|-
| 120 || - ||  - || 15,22  || - ||  - ||  14,18 || - || -  || 11,67
|-
| colspan="10" style="text-align:left" | I tabellen er det forutsatt en omgivelsestemperatur på 25 °C uten soloppvarming. <br> For ledere som belastes med driftsstrøm, forutsettes det en ledertemperatur før kortslutning på 100 °C for uisolerte ledere, <br> 90 °C for ledere med XLPE eller EPR/HEPR isolasjon, og 70 °C ledere med PVC isolasjon. <br> '''For ledere som belastes med driftsstrøm, reduseres maksimal kortslutningsstrøm <math> I_{th 0,3} </math> med omtrent:''' <br> * 20 % for uisolerte ledere, <br> * 25 % for ledere isolert med XLPE (tverrbundet polyetylen) / EPR/HEPR (polyetylenpropylen-gummi), og <br> * 40 % for ledere isolert med PVC.
|}
</figtable>

= Varierende strømbelastning =
Strømbelastning av ledere i kontaktledningsanlegg og tilknyttede anlegg karakteriseres av stor belastningsvariasjon, med kortvarig høye belastningstopper og lange perioder med lav belastning. Under slike forhold kan strømbelastningen være større enn den beregnete kontinuerlige strømføringsevnen under slike belastningstopper, uten at grenseverdien for ledertemperatur overskrides. Ved dimensjonering av elektriske jernbaneanlegg blir det, ofte på bakgrunn av trafikksimuleringer, utarbeidet en dimensjonerende strømkurve for de mest kritiske lederne. Denne strømkurven kan brukes til å beregne maksimal ledertemperatur.

Vi tar igjen utangspunkt i varmebalansen i <xr id="eqn:Varmebalanse" />, og skriver om uttrykket slik at dT/dt blir isolert på venstre side av likhetstegnet:

<equation id="eqn:transientmodell">
<math>
\frac{d \mathrm{T}}{d \mathrm{t}} = \frac{1}{m \cdot c_p} \cdot \left( P_{el}+Q_{sol}-Q_{str}-Q_{konv}-Q_{kond} \right)
</math>
</equation>

En numerisk beregning av ledertemperaturen innebærer at det gjennomføres en beregning av alle varmestrømmene ved en gitt tid og ledertemperatur, og ubalansen i varmestrømmene i det aktuelle tidsskrittet brukes til å beregne ledertemperaturen ved neste tidsskritt. Det finnes flere metoder for å gjøre slike beregninger:

<figtable id="tab:Integrasjonsmetoder">
{| class="wikitable" style="text-align:left"
|+ <caption>Integrasjonsmetoder</caption>
|-
! Metode !! Vurdering !! Lenke
|-
| Eulers metode <br> RK1 || Den enkleste metoden <br> Kan enkelt implementeres i regneark <br> Må bruke korte tidsskritt for å begrense avrundingsfeil || Wikipedia: [[https://en.wikipedia.org/wiki/Euler_method| Euler's method]]
|-
| Heuns metode, <br> modifisert Eulers metode <br> RK2 || Mer kompleks metode <br> Mer omfattende implementering i regneark; script er mer hensiktsmessig <br> Avrundingsfeilene blir mindre og metoden kan derfor brukes med større tidsskritt || Wikipedia: [[https://en.wikipedia.org/wiki/Heun%27s_method| Heun's method]]
|-
| Runge-Kutta-metoder, <br> RK4 || Tilgjengelig i avanserte regneverktøy, som Matlab, Scilab og Octave. <br> Mye mindre avrundingsfeil enn Heuns metode <br> Store tidsskritt kan benyttes slik at total regnetid reduseres. <br> Brukes der regnetiden blir stor. <br> Vanlig brukt i profesjonelle regneverktøy <br> Runge-Kutta-metoden av orden 4 (RK4) er mest vanlig || Wikipedia: [[https://en.wikipedia.org/wiki/Runge%E2%80%93Kutta_methods| Runge-Kutta methods]]
|}
</figtable>

= Vedlegg A: Mekanismer for oppvarming og avkjøling av ledere =
== Akkumulert varme ==
Akkumulert varme for en leder kan uttrykkes som:

<equation id="eqn:Varmeenergi">
<math>
\frac{d \mathrm{E}}{d \mathrm{t}} = m \cdot c_p \cdot \frac{d \mathrm{T_{leder}}}{d \mathrm{t}}
</math>
<caption></caption>
</equation>
<br>

<figtable id="tab:Symbolforklaring Varmeenergi">
{| class="wikitable" style="text-align:left"
|+ <caption>Symbolforklaring</caption>
|-
! Symbol !! Enhet !! Forklaring
|-
| m || kg/m || Ledermaterialets masse
|-
| c<sub>p</sub> || J/(kg·K) || Varmekapasitet for ledermaterialet
|-
| T<sub>leder</sub> || °C || Ledertemperatur
|}
</figtable>

Dette leddet blir 0 ved beregning av kontinuerlig strømføringsevne fordi temperaturen og varmeenergien i lederen er konstant. Leddet er viktig ved angivelse av overbelastningsevne, fordi det angir hvor fort temperaturen i lederen øker.

== Elektrisk varme ==
Elektrisk tilført varme P<sub>el</sub> er gitt av:

<br>
<equation id="eqn:Elvarme">
<math>
P_{el} = r_T \cdot I^2
</math>
<caption>Elektrisk varme</caption>
</equation> <br>

<figtable id="tab:Symbolforklaring_Elvarme">
{| class="wikitable" style="text-align:left"
|+ <caption>Symbolforklaring, elektrisk oppvarming av leder</caption>
|-
! Symbol !! Enhet !! Forklaring
|-
| P<sub>el</sub> || W/m || Tilført elektrisk varme
|-
| r<sub>T</sub> || Ω/m || Resistans ved ledertemperatur
|-
| I || A || Strøm i lederen
|}
</figtable>

Resistansen r<sub>T</sub> endres med med ledertemperaturen. Temperaturavhengigheten for resistiviteten til et materiale er vanligvis angitt ved temperaturfaktoren for resistivitet α. Denne angivelsen er en linearisering som er gyldig for moderate temperaturvariasjoner rundt en referansetemperatur T<sub>ref</sub>. Vanlig referansetemperatur er 20 °C, og EN 50149 angir at temperaturavhengigheten til resistansen for de metaller som standarden dekker kan antas lineær for temperaturer mellom -50 °C og +100°C. Formelen kan med en noe større unøyaktighet i resultatet anvendes også utenfor det angitte temperaturintervallet.

<br>
<equation id="eqn:temp_resistans">
<math>
r_T = r_{ref} \cdot \left[ 1 + \alpha_{ref} \cdot \left (T_{leder}-T_{ref} \right) \right]
</math>
<caption></caption>
</equation> <br>

<figtable id="tab:Temperaturfaktor for resistivitet">
{| class="wikitable" style="text-align:left"
|+ <caption>Symbolforklaring, temperaturfaktor for resistivitet</caption>
|-
! Symbol !! Enhet !! Forklaring
|-
| r<sub>ref</sub> || Ω/m || Resistans målt ved angitt referansetemperatur T<sub>ref</sub>
|-
| α<sub>ref</sub> || 1/K || Temperaturfaktor for resistivitet ved angitt referansetemperatur T<sub>ref</sub>
|-
| T<sub>ref</sub> || K || Referansetemperatur som r<sub>ref</sub> og α<sub>ref</sub> er angitt ved for et ledermateriale.
|-
| T<sub>leder</sub> || K || Ledertemperatur
|}
</figtable>

<xr id="tab:Temperaturparametre"/> angir resistivitet og temperaturfaktor for ulike ledermaterialer.

<figtable id="tab:Temperaturparametre">
{| class="wikitable" style="text-align:left"
|+ <caption>Resistivitet og temperaturavhengighet for ledermaterialer, som angitt i [2]</caption>
|-
! Material !! Resistivitet ρ<sub>E</sub> <br> [Ω·mm<sup>2</sup>/m] !! Temperaturkoeffisient α <br> [1/K·10<sup>-3</sup>] !! Referansetemperatur T<sub>ref</sub> <br> [°C]
|-
| Kopper Cu || 0,01777 || 3,80 || 20
|-
| Aluminium AL1 || 0,02826 || 4,00 || 20
|-
| Stål St1 || 0,192 || 4,00 || 20
|-
| Bronse BZII || 0,02778 || 3,78 || 20
|-
| Kopper CuAg0,1 || 0,01777 || 3,80 || 20
|}
</figtable>

== Solinnstråling ==
Ledere som forlegges i sol tilføres strålingsvarme. Ulike materialer har ulik absorpsjonsevne for solstråling, dette hensyntas med absorpsjonskoeffisienten α<sub>s</sub>.

<equation id="eqn:Sol">
<math>
Q_{Sol} = S_{sol} \cdot D_{leder} \cdot \alpha_{s}
</math>
<caption></caption>
</equation>

<figtable id="tab:Symbolforklaring Sol">
{| class="wikitable" style="text-align:left"
|+ <caption>Symbolforklaring</caption>
|-
! Symbol !! Enhet !! Forklaring
|-
| S<sub>sol</sub> || W/m<sup>2</sup> || Dimensjonerende solvarme
|-
| α<sub>s</sub> || 1 || Absorpsjonskoeffisient for den aktuelle overflaten
|-
| D<sub>leder</sub> || m || Ytre lederdiameter
|}
</figtable>

Strålingsvarme fra solinnstråling er angitt i [https://trv.jbv.no/wiki/Felles_elektro/Prosjektering_og_bygging/Generelle_tekniske_krav#Klimatiske_forhold|''Lenke:'' Teknisk regelverk, Felles Elektro] til å være:

<math> S_{sol} = 1050 \frac{W}{m^2} </math>

Typiske absorpsjonskoeffisienter for vanlige overflater er hentet fra referanse [2]:

<figtable id="tab:Absorpsjonskoeffisient">
{| class="wikitable" style="text-align:left"
|+ <caption>Absorpsjonskoeffisient for vanlige overflater</caption>
|-
! Overflate !! Cu !! Aluminium !! Jern, stål
|-
| halvpolert || 0,15 || 0,08 || -
|-
| matt - blank || 0,24 || 0,23 || 0,45 (støpejern)
|-
| oksidert, lett forurenset || 0,6 || 0,5 || -
|-
| sterkt oksidert || 0,75 || 0,7 || 0,96 (støpejern)
|-
| sterkt oksidert, forurenset || 0,85-0,95 || 0,88-0,93 || -
|-
| valset || - || - || 0,65
|-
| rustet || - || - || 0,61-0,81
|}
</figtable>

Ved S<sub>sol</sub> = 1050 W/m<sup>2</sup> og α<sub>s</sub>=0,6 finner man følgende verdier for varme som følge av solinnstråling.

<figtable id="tab:Sol_varme">
{| class="wikitable" style="text-align:left"
|+ <caption>Solinnstråling</caption>
|-
! Lederverrsnitt [mm<sup>2</sup>] !! Solinnstråling Q<sub>sol</sub> [W/m]
|-
| 50 || 5,0267
|-
| 70 || 5,9476
|-
| 95 || 6,9288
|}
</figtable>

== Avkjøling ved stråling ==
Avgitt strålingsvarme fra lederen til omgivelsene beregnes ved hjelp av Stefan-Bolzmanns lov, der det antas at

<equation id="eqn:Str">
<math>
Q_{str} = \pi \cdot D_{leder} \cdot \sigma \cdot (\epsilon_s \cdot T_{leder}^4 - \alpha_s \cdot T_{omg}^4)
</math>
<caption></caption>
</equation>

<figtable id="tab:Symbolforklaring Stråling">
{| class="wikitable" style="text-align:left"
|+ <caption>Symbolforklaring</caption>
|-
! Symbol !! Enhet !! Forklaring
|-
| D<sub>leder</sub> || m || Ytre diameter for lederen
|-
| σ || W/(m<sup>2</sup> · K<sup>4</sup>) || Bolzmanns konstant, σ = 5,67 · 10<sup>-8</sup> W/(m<sup>2</sup> · K<sup>4</sup>)
|-
| α<sub>s</sub> || 1 || Absorpsjonskoeffisienten til overflaten.
|-
| ε<sub>s</sub> || 1 || Emissiviteten til overflaten. Antas å være lik absorpsjonskoeffisienten. Dette er en vanlig antakelse for ledere utendørs i luft.
|-
| T<sub>leder</sub> || K || Ledertemperaturen i K
|-
| T<sub>omg</sub> || K || Omgivelsestemperaturen i K
|}
</figtable>

Ved dimensjonerende ledertemperatur på 100 °C, omgivelsestemperatur på 25 °C og ε<sub>s</sub> = α<sub>s</sub> = 0,6, finner man:

<figtable id="tab:Str_varme">
{| class="wikitable" style="text-align:left"
|+ <caption>Varmeavgivelse ved stråling>
|-
! Lederverrsnitt <br> [mm<sup>2</sup>] !! Varmeavgivelse ved stråling <br> Q<sub>str</sub> <br> [W/m]
|-
| 50 || 2,4487
|-
| 70 || 2,8973
|-
| 95 || 3,3753
|-
| 120 || 3,7935
|}
</figtable>

== Leder i jord: Konduktiv avkjøling ==
For en uisolert leder forlagt i jordsmonn med uniform termisk konduktivitet, angir [1] følgende likning for stasjonær konduktiv avkjøling:

<equation id="eqn:Konduktiv_kjoling">
<math>
Q_{kond} = \frac{ 2 \cdot \pi \cdot k_{jord} \cdot (T_{leder}-T_{omg})}{\cosh^{-1}{(H_{leder} / R_{leder})}}
</math>
<caption></caption>
</equation>

<figtable id="tab:Symbolforklaring kond">
{| class="wikitable" style="text-align:left"
|+ <caption>Symbolforklaring</caption>
|-
! Symbol !! Enhet !! Forklaring
|-
| k<sub>jord</sub> || W/(m·K) || Termisk konduktivitet for jordsmonnet
|-
| T<sub>leder</sub> || K || Ledertemperatur
|-
| T<sub>omg</sub> || K || Omgivelsestemperatur
|-
| H<sub>leder</sub> || m || Lederens dybde under overflaten
|-
| R<sub>leder</sub> || m || Lederens ytre radius
|}
</figtable>

Termisk konduktivitet for jordsmonn varierer ifølge [1] mellom 0,27 W/(m·K) for sand og over 2 W/(m·K) for ulike steinsorter. Det antas her at konduktiviteten for jernbanens underbygning vil ligge i nedre del av dette intervallet. 0,5 W/(m·K) legges til grunn.

Fordi jordsmonnet har stor varmekapasitet vil oppvarming av jordsmonnet som følge av temperaturendringer på overflaten ta lang tid, i mange tilfeller flere dager. Det kan derfor legges til grunn en gjennomsnittstemperatur over lengre tid for overflaten. IEC 60287-3-1 angir at temperatur som skal brukes i Sør-Norge er 17 °C.

<figtable id="tab:Konduktiv_kjoling">
{| class="wikitable" style="text-align:left"
|+ <caption>Konduktiv kjøling for ulike ledertverrsnitt ved termisk konduktivitet på 0,5 W/(m·K) og dybde på 0,5 m</caption>
|-
! Ledertverrsnitt [mm<sup>2</sup>] !! Kjøleeffekt [W/m]
|-
| 50 || 47,2027
|-
| 70 || 48,6855
|-
| 95 || 50,1143
|-
| 120 || 51,2652
|}
</figtable>

== Leder i luft: Konvektiv avkjøling ==
For en leder i luft er konveksjon den viktigste mekanismen for avkjøling, og også den som er mest utfordrende å behandle. Metodikken er beskrevet i referanse [1] og [2]. Framgangsmåten er at man for den aktuelle fysiske geometrien og fysiske egenskaper for luften rundt lederen ved aktuelt trykk, vindhastighet og temperatur, finner Nusselts tall, Nu. Nusselts tall er en eksperimentelt bestemt funksjon av materialegenskaper og tilstand for den aktuelle geometrien. Nusselts tall har en fast sammenheng med varmeavgivelsen.

<equation id="eqn:Konveksjon">
<math>
Q_{konv} = \pi \cdot k_{luft} \cdot Nu \cdot (T_{leder}-T_{omg})
</math>
<caption></caption>
</equation>

<figtable id="tab:Symbolforklaring konv">
{| class="wikitable" style="text-align:left"
|+ <caption>Symbolforklaring</caption>
|-
! Symbol !! Enhet !! Forklaring
|-
| Q<sub>konv</sub> || W/m || Konvektiv varmeavgivelse fra lederen
|-
| k<sub>luft</sub> || W/(m·K) || Termisk konduktivitet for luft
|-
| Nu || 1 || Nusselts tall - eksperimentelt bestemt dimensjonsløs størrelse
|-
| T<sub>leder</sub> || K || Ledertemperatur
|-
| T<sub>omg</sub> || K || Omgivelsestemperatur
|}
</figtable>

Med beregningene av Nusselts tall som er gjennomført i neste avsnitt er det funnet følgende tallverdier for konvektiv kjøling:

<figtable id="tab:Konv_Varme">
{| class="wikitable" style="text-align:left"
|+ <caption>Konvektiv varmeavgivelse - vind 0,3 m/s</caption>
|-
! Ledertverrsnitt [mm<sup>2</sup>] !! Nusselts tall [1] !! Konvektiv kjøling Q<sub>konv</sub> [W/m]
|-
| 50 || 6,1258 || 41,7707
|-
| 70 || 6,6723 || 45,4976
|-
| 95 || 7,2186 ||49,2223
|-
| 120 || 7,6722 || 52,3119
|}
</figtable>

=== Beregning av Nusselts tall ===
I dette avsnittet er Nusselts tall beregnet med fri konveksjon (oppdriftseffekt) og med tvungen konveksjon (vind på tvers av lederen).

<figtable id="tab:Nu forutsetninger">
{| class="wikitable" style="text-align:left"
|+ <caption>Nu - beregningsforutsetninger</caption>
|-
! Symbol !! Enhet !! Verdi !! Tekst !! Kommentar
|-
| v || m/s || 0,3 || Vindstyrke || Brukes ved tvungen konveksjon
|-
| T<sub>omg</sub> || °C || 25 || Omgivelsestemperatur || Valgt på bakgrunn av angivelse i IEC 60287-3-1 for dimensjonering av kabler i luft i Norge
|-
| T<sub>leder</sub> || °C || 100 || Ledertemperatur || Høyeste tillatte kontinuerlige ledertemperatur
|}
</figtable>

<figtable id="tab:Nu luft">
{| class="wikitable" style="text-align:left"
|+ <caption>Nu - Data for beregning av luftstrøm</caption>
|-
! Symbol !! Enhet !! Verdi !! Tekst !! Kommentar
|-
| g || m/s<sup>2</sup> || 9,81 || Tyngdens akselerasjon
| -
|-
| T<sub>f</sub> || K || 335,65 || Filmtemperatur || Gjennomsnittstemperaturen i luftfilmen tett inntil lederen. T<sub>f</sub> = 0,5·(T<sub>leder</sub>+T<sub>omg</sub>)
|-
| β<sub>omg</sub>(T<sub>f</sub>) || K<sup>-1</sup> || 0,002979 || Termisk ekspansjonskoeffisient ved filmtemperatur || Ved antakelse av ideell gass er dette den inverse filmtemperaturen.
|-
| k(T<sub>f</sub>) || W/(m·K) || 0,02894 || Termisk konduktivitet ved filmtemperatur || Interpolert verdi fra tabell for materialegenskaper for luft i [1]
|-
| ν(T<sub>f</sub>) || m<sup>2</sup>/s || 19,47·10<sup>-6</sup> || Kinematisk viskositet ved filmtemperatur || Interpolert verdi fra tabell for materialegenskaper for luft i [1]
|-
| α (T<sub>f</sub>) || m<sup>2</sup>/s || 27,78·10<sup>-6</sup> || Termisk diffusivitet ved filmtemperatur || Interpolert verdi fra tabell for materialegenskaper for luft i [1]
|-
| Pr (T<sub>f</sub>) || 1 || 0,7020 || Prandtls tall ved filmtemperatur || Interpolert verdi fra tabell for materialegenskaper for luft i [1]
|}
</figtable>

<figtable id="tab:Nu leder">
{| class="wikitable" style="text-align:left"
|+ <caption>Nu beregninger for leder i luft</caption>
|-
! Symbol !! Enhet !! Verdi 50 mm<sup>2</sup> !! Verdi 70 mm<sup>2</sup> !! Verdi 95 mm<sup>2</sup> !! Tekst !! Kommentar
|-
| A || mm<sup>2</sup> || 50 || 70 || 95 || Tverrsnittsareal for leder || -
|-
| D || m || 7,9788·10<sup>-3</sup> || 9,4407·10<sup>-3</sup> || 10,998·10<sup>-3</sup> || Ytre diameter for leder || -
|-
| Ra<sub>D</sub> || 1 || 2058,18 || 3409,37 || 5390,30 || Rayleighs tall (fri konveksjon) || Beregnet etter formel angitt i [1]
|-
| Nu<sub>D,fri konveksjon</sub> || 1 || 3,0445 || 3,4052 || 3,7795 || Nusselts tall (fri konveksjon) || Beregnet etter formel angitt i [1]
|-
| Re<sub>D</sub> || 1 || 122,900 || 145,418 || 169,406 || Reynolds tall  || Beregnet etter formel i [1] for vindhastighet på 0,3 m/s og aktuell lederdiameter.
|-
| Nu<sub>D,tvungen konveksjon</sub> || 1 || 6,0301 || 6,5562 || 7,0790 || Nusselts tall (tvungen konveksjon) || Beregnet etter <xr id="eqn:Nusselts tall strømning-2" />
|-
| Nu<sub>D,komb</sub> || 1 || 6,1258 || 6,6724 || 7,2186 || Nusselts tall (kombinert tvungen og fri konveksjon) || -
|-
| Q<sub>konv</sub> || W/m || 41,7680 || 45,4945 || 49,2191 || Konvektiv varmeavgivelse || -
|}
</figtable>

Formler benyttet i tabellen:
<br>
<equation id="eqn:Rayleighs tall fri konveksjon [1]">
<math>
Ra_D = \frac{g \cdot \beta \cdot (T_{leder}-T_{omg}) \cdot D^3}{\nu \cdot \alpha}
</math>
<caption>Rayleighs tall for rund leder i fri konveksjon [1]</caption>
</equation>

<br>

<equation id="eqn:Nusselts tall fri konveksjon[1]">
<math>
Nu_{D, \; fri \; konveksjon} = \left[ 0,60 + \frac{0,387 \cdot Ra_D^{\frac{1}{6}}}{\left[1 + (0,559/Pr)^{\frac{9}{16}} \right]^{\frac{8}{27}}} \right]
</math>
<caption>Nusselts tall for rund leder i fri konveksjon. Gyldig for Ra_D < 10<sup>12</sup> [1]</caption>
</equation>

<br>

<equation id="eqn:Reynolds tall [1]">
<math>
Re_D = \frac{v \cdot D}{\nu}
</math>
<caption>Reynolds tall for rund leder i luft [1]</caption>
</equation>

<br>

<equation id="eqn:Nusselts tall strømning-2">
<math>
Nu_{D, \; tvungen \; konveksjon} = 0,65 \cdot Re^{0,2} + 0,23 \cdot Re^{0,61}
</math>
<caption>Nusselts tall i ekstern strømning som angitt i referanse [2], med henvisning til IEC 61597</caption>
</equation>

<br>

Ulike kilder gir ulike formler for Nusselts tall for tvungen konveksjon. For eksempel gir referanse [1] og [2] ulike formler. Det er her valgt å bruke formelen i referanse [2] fordi denne er spesifikt rettet mot metalliske liner med kordeller opphengt i luft.

Både fri og tvungen konveksjon påvirker kjølingen. Referanse [1] beskriver at det skal beregnes et Nusselts tall for hver av disse effektene, og at de to tallene som en tilnærming kan kombineres til et felles Nusselts tall.

<br>

<equation id="eqn:Nusselts tall - kombinasjon">
<math>
Nu_{D, \; kombinert} =  \sqrt[4]{Nu_{D, \; fri \; konveksjon}^4 + Nu_{D, \; tvungen \; konveksjon}^4}
</math>
<caption>Nusselts tall for kombinert kjøling fra fri og tvungen konveksjon</caption>
</equation>

= Referanser =
[1] - Incorpera og DeWitt: ''Fundamentals of Heat and Mass Transfer'', Fifth edition, Wiley, 2002. ISBN 0-471-38650-2 <br>
[2] - Kießling, Puschmann, Schmieder: ''Fahrleitungen elektrischer Bahnen - Planung, Berechnung, Ausführung, Betrieb'', 3. Auflage, Publicis Publishing, 2014. ISBN 978-3-89578-407-1