Utledning kurveveksler

Utledning, formel for radier, kurveveksel

Her følger utledning av formler for radius i kurveveksler, gitt at dene ene av de to radiene er kjent. Formelgrunnlaget baserer seg på at stigningen i vekslene holdes konstant når den enkle vekselen bøyes.

I figuren under vises geometri for en enkel sporveksel med lang kurve og en utoverbøyd kurveveksel.

Siden vinkelen Feil i matematikken (SVG (MathML kan aktiveres via nettlesertillegg): Ugyldig respons («Math extension cannot connect to Restbase.») fra tjeneren «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha} er liten, antas t å være tilnærmet lik både før og etter bøying av den enkle vekselen. Ved å benytte cosinussetningen:

Feil i matematikken (SVG (MathML kan aktiveres via nettlesertillegg): Ugyldig respons («Math extension cannot connect to Restbase.») fra tjeneren «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C^2 = A^2+B^2-2AB\cdot cos(\gamma) }

oppnås følgende sammenheng mellom radier og vinkel, Feil i matematikken (SVG (MathML kan aktiveres via nettlesertillegg): Ugyldig respons («Math extension cannot connect to Restbase.») fra tjeneren «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha} :

Feil i matematikken (SVG (MathML kan aktiveres via nettlesertillegg): Ugyldig respons («Math extension cannot connect to Restbase.») fra tjeneren «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (R+r)^2 = (r+x)^2+(R+x)^2-2(r+x)(R+x)\cdot cos(\pi-\alpha) }

Videre bearbeiding av denne ligningen gir:

Feil i matematikken (SVG (MathML kan aktiveres via nettlesertillegg): Ugyldig respons («Math extension cannot connect to Restbase.») fra tjeneren «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Rr = rx+x^2+Rx+(Rr+Rx+rx+x^2)\cdot cos(\alpha) }

Feil i matematikken (SVG (MathML kan aktiveres via nettlesertillegg): Ugyldig respons («Math extension cannot connect to Restbase.») fra tjeneren «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R(r-x-rcos(\alpha)-xcos(\alpha)) = (rx+x^2)(1+cos(\alpha)) }

Feil i matematikken (SVG (MathML kan aktiveres via nettlesertillegg): Ugyldig respons («Math extension cannot connect to Restbase.») fra tjeneren «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R\left (r(1-cos(\alpha))-x(1+cos(\alpha))\right ) = (rx+x^2)(1+cos(\alpha)) }

Feil i matematikken (SVG (MathML kan aktiveres via nettlesertillegg): Ugyldig respons («Math extension cannot connect to Restbase.») fra tjeneren «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R\left (r\cdot\frac{1-cos(\alpha)}{1+cos(\alpha)}-x\right ) = x(r+x) }

Ved å benytte den trigonometriske identiteten:

Feil i matematikken (SVG (MathML kan aktiveres via nettlesertillegg): Ugyldig respons («Math extension cannot connect to Restbase.») fra tjeneren «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle tan^2(\alpha/2)=\frac{1-cos(\alpha)}{1+cos(\alpha)} }

gir dette videre:

Feil i matematikken (SVG (MathML kan aktiveres via nettlesertillegg): Ugyldig respons («Math extension cannot connect to Restbase.») fra tjeneren «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R\left (\frac{r}{x}\cdot tan^2(\alpha/2)-1\right ) = r+x }

Fra geometrien i den enkle vekselen, kan vi nå innføre:

Feil i matematikken (SVG (MathML kan aktiveres via nettlesertillegg): Ugyldig respons («Math extension cannot connect to Restbase.») fra tjeneren «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle tan(\alpha/2) = \frac{t}{r_0} }

Merk at dette er en tilnærming som kun er gyldig når stigningen i vekselen kan ses på som liten.

Ved å også benytte at

Feil i matematikken (SVG (MathML kan aktiveres via nettlesertillegg): Ugyldig respons («Math extension cannot connect to Restbase.») fra tjeneren «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle tan(\alpha/2) = \frac{x}{t} }

Feil i matematikken (SVG (MathML kan aktiveres via nettlesertillegg): Ugyldig respons («Math extension cannot connect to Restbase.») fra tjeneren «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{t}{r_0} = \frac{x}{t} }

får vi

Feil i matematikken (SVG (MathML kan aktiveres via nettlesertillegg): Ugyldig respons («Math extension cannot connect to Restbase.») fra tjeneren «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R(\frac{r\cdot r_0}{t^2}\cdot\frac{t^2}{r_0^2}-1) = r+\frac{t^2}{r_0} }

og til slutt

Feil i matematikken (SVG (MathML kan aktiveres via nettlesertillegg): Ugyldig respons («Math extension cannot connect to Restbase.») fra tjeneren «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R = \frac{r\cdot r_0+t^2}{r-r_0} }

Denne ligningen kan også løses for r, og uttrykket blir da

Feil i matematikken (SVG (MathML kan aktiveres via nettlesertillegg): Ugyldig respons («Math extension cannot connect to Restbase.») fra tjeneren «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle r = \frac{R\cdot r_0+t^2}{R-r_0} }

Alternativ løsning

En mer nøyaktig sammenheng mellom R og r kan oppnås ved å benytte følgende sammenhenger:

Feil i matematikken (SVG (MathML kan aktiveres via nettlesertillegg): Ugyldig respons («Math extension cannot connect to Restbase.») fra tjeneren «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2t=R\beta }

Feil i matematikken (SVG (MathML kan aktiveres via nettlesertillegg): Ugyldig respons («Math extension cannot connect to Restbase.») fra tjeneren «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle r_0\alpha=r\xi }

og enten

Feil i matematikken (SVG (MathML kan aktiveres via nettlesertillegg): Ugyldig respons («Math extension cannot connect to Restbase.») fra tjeneren «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha=\beta+\xi }

for utoverbøyd veksel, eller

Feil i matematikken (SVG (MathML kan aktiveres via nettlesertillegg): Ugyldig respons («Math extension cannot connect to Restbase.») fra tjeneren «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha=\xi-\beta }

for innoverbøyd veksel.

Dette gir

Feil i matematikken (SVG (MathML kan aktiveres via nettlesertillegg): Ugyldig respons («Math extension cannot connect to Restbase.») fra tjeneren «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R = \frac{2r_0\cdot tan(\alpha/2)}{\alpha\cdot(\frac{r_0}{r}±1)} }

for henholdsvis utoverbøyd og innoverbøyd veksel.