__NUMBEREDHEADINGS__

Generelt

I et system med flere parallelle elektriske ledere med felles retur i jord er systemets lineære elektriske egenskaper komplett beskrevet av fire parametermatriser:

Matrise for serieresistanser: R [Ω/km]
Matrise for seriereaktanser: X [Ω/km]
Matrise for parallell konduktiv avledning: G [S/km]
Matrise for parallell susceptiv avledning: B [S/km]

Hver av matrisene har dimensjonene (n x n) der n er antallet parallelle ledere i systemet. Matrisene er alltid symmetriske.

Matrisene kan sammenstilles til en kompleks matrise for serieimpedans Z og en kompleks matrise for parallell admittans Y:

Feil i matematikken (Konverteringsfeil. Tjeneren («cli») rapporterte: «SyntaxError: Expected [, ;!_#%$&], [a-zA-Z], or [{}|] but "\\" found.in 2:47»): {\displaystyle \mathbf{Z} = \mathbf{R} + j \cdot \mathbf{X} \\ \mathbf{Y} = \mathbf{G} + j \cdot \mathbf{B} }

Dette kapittelet inneholder en eksempelberegning for hvordan man bestemmer verdiene for parametermatrisene for et konkret linjesett for AT-system med PL, NL, kl og skinner.

Beregningsforutsetninger

Følgende parametre behandles i beregningene som kjente verdier.


Parameter	Symbol	Verdi	Enhet
Magnetisk permeabilitet i tomt rom	µ₀	4·π·10^-7	H/m
Elektrisk permittivitet i tomt rom	ε₀	8.8542·10^-12	F/m
Jordresistivitet	ρ_e	5000	Ωm

</figtable>

Jordresistiviteten varierer mye for ulike typer jordsmonn. Den valgte verdien på 5000 Ωm representerer et nivå som er lavere enn hva man kan forvente ved fjellgrunn, samtidig som det er mye høyere enn hva man kan forvente i grunn med fuktig sand og leire. Det finnes flere lett tilgjengelige angivelser over tallverdier for jordresistivitet i ulike typer jordsmonn i Norge, for eksempel ved søk på nett. I dette dokumentet er tallverdiene angitt i referanse [1] lagt til grunn:


Jordsmonn	Resistivitet ρ_e [Ωm]
Sjøvann (saltholdig)	< 1
Ferskvann (elv, innsjø)	10 - 1 000
Fuktig myrjord	20 - 200
Dyrket jord, leire (fuktig)	50 - 200
Fuktig sandjord	100 - 300
Tørr sandjord	1 000 - 50 000
Fjellgrunn med vannfylte sprekker	1 000 - 10 000

</figtable>

Geometrisk konfigurasjon

Linjesettet defineres med følgende geometriske konfigurasjon, der x-aksen ligger horisontalt på tvers av sporet slik at x=0 er midt mellom de to kjøreskinnene, og y-aksen står vertikalt på sporet slik at y=0 er ved jordoverflaten.


Leder	x-koordinat [m]	y-koordinat [m]
Negativleder, NL	4	10
Positivleder, PL	3	10
Bæreline, bl	0	6,6
Kontakttråd, kt	0	5,8
Skinne 1, S1	0,7175	0,2
Skinne 2, S2	0,7175	0,2

</figtable>

Den angitte høyden er lederens gjennomsnittshøyde. Lengdeøkningen som følge av nedheng er i størrelsesorden 0,25%, og er neglisjert her. Tilsvarende vurdering gjøres for sikksakk-formen til kontakttråd og bæreline.

Serieimpedans

Seriempedansen består av:

egenimpedansen til hver leder, og
gjensidig impedans mellom lederne.

Serieimpedansen kan skrives som:

$\mathbf {Z} =\mathbf {Z_{egen}} +\mathbf {Z_{gjensidig}}$

Egenimpedans

$\mathbf {Z_{egen}}$ er en diagonal matrise med et diagonalt element tilhørende hver leder. For en ledersløyfe med leder i umagnetisk materiale med retur i jord, er selvimpedansen til sløyfa ifølge Carsons likninger tilnærmet gitt av:

$Z_{egen,ii}=r_{i}+r_{E}+jf\mu _{0}\cdot \ln {\left({\frac {D_{j}}{g_{i}}}\right)}$

der:

f er strømmens frekvens,

$\mu _{0}$ er den magnetiske permeabiliteten i tomt rom,

$r_{i}$ er lederens resistans,

$r_{E}$ er resistansen for strømmens returvei i jordsmonnet,

$D_{j}$ er jordavstanden,

$g_{i}$ er lederens geometriske middelavstand.

Lederens resistans r_i:

Lederresistansen r_i er avhegig ledermateriale, geometri, temperatur, og strømmens frekvens. Frekvensavhengigheten opptrer på grunn av strømfortrengning, og for normale ledere er frekvensavhengigheten svak ved driftsfrekvenser. For ledere angis vanligvis lederens likestrømsresistans ved 20°C, og vekselstrømsresistans ved driftsfrekvens på 50 Hz. Fordi strømfortrengningen har mindre innvirkning ved 16 2/3 Hz enn ved 50 Hz anbefales det å benytte lederens likestrømsresistans for beregninger ved 16 2/3 Hz for alle ledere bortsett fra kjøreskinner. For høyere frekvenser bør frekvensavhengigheten modelleres mer detaljert, ettersom strømfortrengningen da får mer å si.

Der lederresistansen ikke er oppgitt, kan likestrømsresistansen beregnes på bakgrunn av ledermaterialets resistivitet og lederens tverrsnitt:

$r_{i,DC}={\frac {1}{A\cdot \sigma }}$

der:

A er lederens tverrsnitt, og

$\sigma$ er ledermaterialets ledeevne.

Resistansen for strømmens returvei i jord r_E:

For et ikke-magnetisk jordsmonn med uniform ledeevne kan resistansen r_E tilnærmes med formelen:

$r_{E}={\frac {\pi \cdot f\cdot \mu _{0}}{4}}$

Det vil si at frekvensen er den eneste variabelen som påvirker jordresistansen. r_E er 0,01645 Ω/km ved 16 2/3 Hz driftsfrekvens, og 0,04935 Ω/km ved 50 Hz driftsfrekvens.

Jordavstanden D_j:

Jordavstanden D_j er en beregnet dybde ned i jordsmonnet til der tyngdepunktet av returstrømmen går. Den kan beregnes som:

$D_{j}=660\cdot {\sqrt {\frac {\rho _{e}}{f}}}$

Det vil si at jordavstanden er avhengig av driftsfrekvens og av jordresistivitet. Ved 16 2/3 Hz og jordresistivitet på 5000 Ωm blir jordavstanden 11 432 m.

Geometrisk middelavstand g_i:

Den geometriske middelavstanden for en leder kan beregnes for ledere med enkel geometri, men for virkelige ledere blir den normalt oppgitt. <xr id="tab:GeometriskMiddelavstand" /> angir beregnet geometrisk middelavstand for sirkulære ledere med kordeller. En massiv rund leder har eksakt geometrisk middelavstand lik $g_{i}=e^{-{\frac {1}{4}}}\cdot a=0,7788\cdot a$ der a er lederens radius.


Antall kordeller	1	3	7	19	37	61	∞
Geometrisk middelavstand g	0,7788 · a	0,6778 · a	0,7254 · a	0,7576 · a	0,7680 · a	0,7720 · a	0,7788 · a

</figtable>

Kjøreskinner:

Ifølge referanse [3] kan ikke strømfortrengning neglisjeres for kjøreskinner på samme måte som for øvrige ledere uten å gjøre en stor feil, på grunn av skinnens store dimensjoner og skinnens magnetiske egenskaper. Referanse [3] anbefaler derfor at impedansen bestemmes basert på målinger. Det angis at for en kjøreskinne ved 16 2/3 Hz kan den indre impedansen angis som en verdi som varierer lineært fra 0,060 + j 0,075 Ω/km ved 100 A, til 0,125 + j 0,110 Ω/km ved 1000 A strømbelastning i hver kjøreskinne, og deretter konstant impedans for høyere strømmer. Her legges i det videre til grunn strømmen som er angitt for 100 A i hver skinne, for bruk ved driftsstrømmer i AT-system. I tillegg til denne indre impedansen må det legges til en ytre impedans for området utenfor tverrsnittet som påvirkes av skinnematerialet. Den totale egenimpedansen for en kjøreskinne blir:

$Z_{egen,ii}=0,060+0,01645+j0,075+j\cdot f\cdot \mu _{0}\cdot \ln {\left({\frac {D_{j}}{a}}\right)}\cdot 1000\;\left[{\frac {\mathrm {\Omega } }{\mathrm {km} }}\right]$

I dette uttrykket er a en tenkt radius for skinnen. Referanse [1] angir at en studentoppgave har foreslått å bruke 0,2 m for denne radien basert på målinger, men angir at det er stor usikkerhet forbundet med forslaget. Referanse [3] angir denne radien til 0,04935 m for en S60 skinne basert på radien for en sirkulær leder med like stort tverrsnitt. Vi legger her til grunn angivelsen i referanse [3] for denne radien.

<xr id="tab:Egenimpedans" /> inneholder beregnete verdier for egenimpedans for beregningseksempelet med et AT-system med PL, NL, kl og kjøreskinner:


Parameter	PL,NL	Kontakttråd	Bæreline	Kjøreskinne
Ledermaterial	AL	CuAg 0,1	CuMg 0,5	Stål (R260Mn)
Nominelt tverrsnitt [mm²]	381	100	50	7670
Ytre diameter [mm]	25,3	12,0	9,0	-
Kordeller	37	1	19	-
Diameter for hver kordell [mm]	3,62	-	1,80	-
Geometrisk middelavstand g [mm]	9,72	4,67	3,41	-
Ledeevne % av IACS (5,8001·10⁷ S/m) (IACS: International Annealed Copper Standard, 1914)	61,0	97,0	80,0	9,6
Relativ permeabilitet	1	1	1	60
Likestrømsresistans r_DC [Ω/km]	0,0742	0,1777	0,4310	0,0234
Vekselstrømsresistans 50 Hz r_50Hz [Ω/km]	-	-	-	-
Resistans Re(Z_ii,egen) ved 16 2/3 Hz [Ω/km]	0,0906	0,1942	0,4475	0,0765
Reaktans Im(Z_ii,egen) ved 16 2/3 Hz [Ω/km]	0,2928	0,3081	0,3147	0,3334

</figtable>

Gjensidig impedans

Gjensidig impedans mellom to ledere i og k er gitt av:

$Z_{gjensidig,ik}=r_{E}+j\cdot f\cdot \mu _{0}\cdot ln{\left({\frac {D_{j}}{g_{ik}}}\right)}$

der

$r_{E}$ er resistansen for strømmens returvei i jordsmonnet,

f er strømmens frekvens,

$\mu _{0}$ er den magnetiske permeabiliteten i tomt rom,

$D_{j}$ er jordavstanden,

$g_{ik}$ er den geometriske middelavstanden mellom de to lederne.

Geometrisk middelavstand:

Dersom begge lederne er runde er den geometriske middelavstanden $g_{ik}$ mellom lederne lik avstanden mellom senter for de to lederne. Dersom avstanden mellom lederne er stor sammenliknet med ledernes dimensjoner, kan den geometriske middelavstanden tilnærmes til avstanden mellom senter for lederne også for ledere som ikke er runde.

<xr id="tab:Serieimpedans" /> inneholder beregnete verdier for egenimpedans for beregningseksempelet med et AT-system med PL, NL, kl og kjøreskinner:


Resistans R [Ω/km]							Reaktans X [Ω/km]
	NL	PL	Kontakttråd	Bæreline	Kjøreskinne 1	Kjøreskinne 2		NL	PL	Kontakttråd	Bæreline	Kjøreskinne 1	Kjøreskinne 2
NL	0,0906	0,0164	0,0164	0,0164	0,0164	0,0164	NL	0,2928	0,1957	0,1589	0,1610	0,1457	0,1468
PL	0,0164	0,0906	0,0164	0,0164	0,0164	0,0164	PL	0,1957	0,2928	0,1613	0,1640	0,1465	0,1473
Kontakttråd	0,0164	0,0164	0,1942	0,0164	0,0164	0,0164	Kontakttråd	0,1589	0,1613	0,3081	0,2004	0,1595	0,1595
Bæreline	0,0164	0,0164	0,0164	0,4475	0,0164	0,0164	Bæreline	0,1610	0,1640	0,2004	0,3147	0,1567	0,1567
Kjøreskinne 1	0,0164	0,0164	0,0164	0,0164	0,0765	0,0164	Kjøreskinne 1	0,1457	0,1465	0,1595	0,1567	0,3334	0,1881
Kjøreskinne 2	0,0164	0,0164	0,0164	0,0164	0,0164	0,0765	Kjøreskinne 2	0,1468	0,1473	0,1595	0,1567	0,1881	0,3334

</figtable>

Ekvivalente ledere

To ledere kan representeres med en ekvivalent leder. Dette er ofte en god ide dersom lederne driftes på samme potensial, og spesielt dersom de er parallellkoplet underveis. I kontaktledningsanlegg vil man gjerne representere kontakttråd og bæreline som en felles leder "kontaktledning", og man vil gjerne representere de to kjøreskinnene som en felles leder.

Leder i og j kan slås sammen til en ny leder k ved følgende matriseoperasjoner:

${\frac {\mathrm {d} \mathbf {U} }{\mathrm {d} x}}=\mathbf {Z} \cdot \mathbf {I}$

$\mathbf {I} =\mathbf {Z^{-1}} \cdot {\frac {\mathrm {d} \mathbf {U} }{\mathrm {d} x}}=\mathbf {r} \cdot {\frac {\mathrm {d} \mathbf {U} }{\mathrm {d} x}}$

der

${\frac {\mathrm {d} \mathbf {U} }{\mathrm {d} x}}$ er vektoren for spenningsforskjeller over en strekning dx.

Matrisen $\mathbf {r}$ blir tilpasset ved å sette:

${\frac {\mathrm {d} U_{k}}{\mathrm {d} x}}={\frac {\mathrm {d} U_{i}}{\mathrm {d} x}}={\frac {\mathrm {d} U_{j}}{\mathrm {d} x}}$

$I_{k}=I_{i}+I_{j}$

Da blir alle elementene i den nye matrisen som ikke har k som subskript uforandret, og for øvrig:

$Y_{ny,kk}=Y_{ii}+Y_{jj}+Y_{ij}+Y_{ji}$

Og for hver enkelt øvrige leder (markert med subskript m):

$Y_{ny,km}=Y_{im}+Y_{jm}$

$Y_{ny,mk}=Y_{mi}+Y_{mj}$

Den nye matrisen $\mathbf {Y_{ny}}$ inverteres så for å finne den nye serieimpedansmatrisen $\mathbf {Z_{ny}}$ . Ved å gjøre den operasjonen for å slå sammen kjøreskinnene og for å slå sammen kontakttråd og bæreline, får man følgende resulterende matrise:


Resistans R [Ω/km]					Reaktans X [Ω/km]
	NL	PL	Kontaktledning	Kjøreskinner		NL	PL	Kontaktledning	Kjøreskinner
NL	0,0906	0,0164	0,0163	0,0164	NL	0,2928	0,1957	0,1596	0,1463
PL	0,0164	0,0906	0,0162	0,0164	PL	0,1957	0,2928	0,1621	0,1469
Kontaktledning	0,0163	0,0162	0,1449	0,0166	Kontaktledning	0,1597	0,1621	0,2632	0,1586
Kjøreskinner	0,0164	0,0164	0,0166	0,0464	Kjøreskinner	0,1463	0,1469	0,1586	0,2607

</figtable>

Parallell admittans

Den parallelle admittansen består av konduktiv og kapasitiv kopling mellom ledere. Konduktiv kopling settes normalt til 0, men koplingen g_E mellom jord og kjøreskinnene og eventuelle andre ledere som er godt jordet har en stor innvirkning og må modelleres. Den kapasitive koplingen beregnes fra ledernes geometri.

$\mathbf {Y} =\mathbf {G_{kond}} +j\cdot \mathbf {B_{kap}}$

Konduktiv kopling

Ettersom kun forbindelser mellom ledere og jord modelleres, er $\mathbf {G_{kond}}$ en diagonal matrise med et diagonalt element som representerer jordforbindelsen for hver leder. I vårt regneeksempel modelleres kun jordforbindelsen mellom kjøreskinner og jord, og da blir elementene i matrisen $\mathbf {G_{kond}}$ :


Konduktans G [S/km]
	NL	PL	Kontaktledning	Kjøreskinner
NL	0	0	0	0
PL	0	0	0	0
Kontaktledning	0	0	0	0
Kjøreskinner	0	0	0	g_E

</figtable>

Verdien for g_E varierer mye avhengig av jordsmonn og utforming av fundamenter og jordelektroder. Enten må denne estimeres for hver enkelt strekning, eller så må det benyttes en konservativ verdi. Videre i dette regneeksempelet settes g_E til 0,1 S/km, som vil være konservativt i de fleste tilfeller, men i noen særlige tilfeller (fjellgrunn eller kontaktledningsfundamenter med svært dårlig kontakt med jord) vil denne verdien kunne bli enda lavere.

Kapasitiv kopling

Kapasitansen beregnes ved å ta utgangspunkt i definisjonen av kapasitans mellom to punkter A og B [Referanse]:

$C_{AB}={\frac {Q}{U_{AB}}}$

Referanser

[1] Høidalen H.K: Kurskompendium: Elektromagnetisk sameksistens i jernbaneanlegg, kapittel 9: Kontaktledningsnettet - Impedanser og induserte spenninger, NTNU, 2006.

[2] Kurskompendium TET09, Prosjektering av elektriske anlegg. Parametre for linjer, kabler og skinneføringer. Beregning av tap, induktans og kapasitans. Utdrag fra kompendium i faget Elektriske kraftsystemer del II, 1993. Institutt for elkraftteknikk, NTNU.

[3] Kießling, Puschmann, Schmieder: Fahrleitungen elektrischer Bahnen, 3. Auflage, 2014. Publicis Publishing, ISBN 978-3-89578-407-1.

[4] EN 50149:2012

[5] Teknisk regelverk, Overbygning, Sporkonstruksjoner, Skinner

Parametre for flerledersystem

Innhold

Generelt

Beregningsforutsetninger

Geometrisk konfigurasjon

Serieimpedans

Egenimpedans

Gjensidig impedans

Ekvivalente ledere

Parallell admittans

Konduktiv kopling

Kapasitiv kopling

Referanser

Navigasjonsmeny

Parametre for flerledersystem

Generelt

Beregningsforutsetninger

Geometrisk konfigurasjon

Serieimpedans

Egenimpedans

Gjensidig impedans

Ekvivalente ledere

Parallell admittans

Konduktiv kopling

Kapasitiv kopling

Referanser

Navigasjonsmeny

Søk