Parametre for flerledersystem: Forskjell mellom sideversjoner
Linje 201: | Linje 201: | ||
| Relativ permeabilitet || 1 || 1 || 1 || 60 | | Relativ permeabilitet || 1 || 1 || 1 || 60 | ||
|- | |- | ||
| Geometrisk middelavstand ''g'' [mm] || 9,78 || | | Geometrisk middelavstand ''g'' [mm] || 9,78 || 4,67 || 3,41 || - | ||
|- | |- | ||
| Likestrømsresistans ''r<sub>DC</sub>'' [Ω/km] || 0,0707 || 0,1777 || 0,4310 || 0,0234 | | Likestrømsresistans ''r<sub>DC</sub>'' [Ω/km] || 0,0707 || 0,1777 || 0,4310 || 0,0234 | ||
Linje 207: | Linje 207: | ||
| Vekselstrømsresistans 50 Hz ''r<sub>50Hz</sub>'' [Ω/km] || - || - || - || - | | Vekselstrømsresistans 50 Hz ''r<sub>50Hz</sub>'' [Ω/km] || - || - || - || - | ||
|- | |- | ||
| Resistans '' | | Resistans ''Re(Z<sub>ii,egen</sub>)'' ved 16 2/3 Hz [Ω/km] || 0,0871 || 0,1942 || 0,4475 || 0,0765 (målt) | ||
|- | |- | ||
| Reaktans ved 16 2/3 Hz || | | Reaktans ''Im(Z<sub>ii,egen</sub>)'' ved 16 2/3 Hz || 0,2926 || 0,3081 || 0,3147 || 0,3334 | ||
|} | |} | ||
</figtable> | </figtable> |
Sideversjonen fra 10. feb. 2017 kl. 22:59
__NUMBEREDHEADINGS__
Generelt
I et system med flere parallelle elektriske ledere med felles retur i jord er systemets lineære elektriske egenskaper komplett beskrevet av fire parametermatriser:
- Matrise for serieresistanser: R [Ω/km]
- Matrise for seriereaktanser: X [Ω/km]
- Matrise for parallell konduktiv avledning: G [S/km]
- Matrise for parallell susceptiv avledning: B [S/km]
Hver av matrisene har dimensjonene (n x n) der n er antallet parallelle ledere i systemet. Matrisene er alltid symmetriske.
Matrisene kan sammenstilles til en kompleks matrise for serieimpedans Z og en kompleks matrise for parallell admittans Y:
Feil i matematikken (Konverteringsfeil. Tjeneren («cli») rapporterte: «SyntaxError: Expected [, ;!_#%$&], [a-zA-Z], or [{}|] but "\\" found.in 2:47»): {\displaystyle \mathbf{Z} = \mathbf{R} + j \cdot \mathbf{X} \\ \mathbf{Y} = \mathbf{G} + j \cdot \mathbf{B} }
Dette kapittelet inneholder en eksempelberegning for hvordan man bestemmer verdiene for parametermatrisene for et konkret linjesett for AT-system med PL, NL, kl og skinner.
Beregningsforutsetninger
Følgende parametre behandles i beregningene som kjente verdier.
<figtable id="tab:Beregningsforutsetninger">
Parameter | Symbol | Verdi | Enhet |
---|---|---|---|
Magnetisk permeabilitet i tomt rom | µ0 | 4·π·10-7 | H/m |
Elektrisk permittivitet i tomt rom | ε0 | 8.8542·10-12 | F/m |
Jordresistivitet | ρe | 5000 | Ωm |
</figtable>
Jordresistiviteten varierer mye for ulike typer jordsmonn. Den valgte verdien på 5000 Ωm representerer et nivå som er lavere enn hva man kan forvente ved fjellgrunn, samtidig som det er mye høyere enn hva man kan forvente i grunn med fuktig sand og leire. Det finnes flere lett tilgjengelige angivelser over tallverdier for jordresistivitet i ulike typer jordsmonn i Norge, for eksempel ved søk på nett. I dette dokumentet er tallverdiene angitt i referanse [1] lagt til grunn:
<figtable id="tab:Jordresistivitet">
Jordsmonn | Resistivitet ρe [Ωm] |
---|---|
Sjøvann (saltholdig) | < 1 |
Ferskvann (elv, innsjø) | 10 - 1 000 |
Fuktig myrjord | 20 - 200 |
Dyrket jord, leire (fuktig) | 50 - 200 |
Fuktig sandjord | 100 - 300 |
Tørr sandjord | 1 000 - 50 000 |
Fjellgrunn med vannfylte sprekker | 1 000 - 10 000 |
</figtable>
Geometrisk konfigurasjon
Linjesettet defineres med følgende geometriske konfigurasjon, der x-aksen ligger horisontalt på tvers av sporet slik at x=0 er midt mellom de to kjøreskinnene, og y-aksen står vertikalt på sporet slik at y=0 er ved jordoverflaten.
<figtable id="tab:Geometri">
Leder | x-koordinat [m] |
y-koordinat [m] |
---|---|---|
Negativleder, NL | 4 | 10 |
Positivleder, PL | 3 | 10 |
Bæreline, bl | 0 | 6,6 |
Kontakttråd, kt | 0 | 5,8 |
Skinne 1, S1 | 0,7175 | 0,2 |
Skinne 2, S2 | 0,7175 | 0,2 |
</figtable>
Den angitte høyden er lederens gjennomsnittshøyde. Lengdeøkningen som følge av nedheng er i størrelsesorden 0,25%, og er neglisjert her. Tilsvarende vurdering gjøres for sikksakk-formen til kontakttråd og bæreline.
Serieimpedans
Seriempedansen består av:
- egenimpedansen til hver leder, og
- gjensidig impedans mellom lederne.
Serieimpedansen kan skrives som:
Egenimpedans
er en diagonal matrise med et diagonalt element tilhørende hver leder. For en ledersløyfe med leder i umagnetisk materiale med retur i jord, er selvimpedansen til sløyfa ifølge Carsons likninger tilnærmet gitt av:
der:
f er strømmens frekvens,
er den magnetiske permeabiliteten i tomt rom,
er lederens resistans,
er resistansen for strømmens returvei i jordsmonnet,
er jordavstanden,
er lederens geometriske middelavstand.
Lederens resistans ri:
Lederresistansen ri beskriver resistivt spenningsfall i lederen. Resistansen er avhegig ledermateriale, geometri, temperatur, og strømmens frekvens. Frekvensavhengigheten opptrer på grunn av strømfortrengning. For ledere angis vanligvis lederens likestrømsresistans ved 20°C, og vekselstrømsresistans ved driftsfrekvens på 50 Hz. Fordi strømfortrengningen har mindre innvirkning ved 16 2/3 Hz enn ved 50 Hz anbefales det å benytte lederens likestrømsresistans ved 16 2/3 Hz for alle ledere bortsett fra kjøreskinner. For høyere frekvenser bør frekvensavhengigheten til resistansen modelleres mer detaljert, ettersom strømfortrengningen da får mer å si.
Der lederresistansen ikke er oppgitt, kan likestrømsresistansen beregnes på bakgrunn av ledermaterialets resistivitet og lederens tverrsnitt:
der:
A er lederens tverrsnitt, og
er ledermaterialets ledeevne.
Resistansen for strømmens returvei i jordsmonnet rE:
For et ikke-magnetisk jordsmonn med uniform ledeevne kan resistansen rE tilnærmes med formelen:
Det vil si at frekvensen er den eneste variabelen som påvirker jordresistansen. rE er 0,01645 Ω/km ved 16 2/3 Hz driftsfrekvens, og 0,04935 Ω/km ved 50 Hz driftsfrekvens.
Jordavstanden Dj:
Jordavstanden Dj er en beregnet dybde ned i jordsmonnet til der tyngdepunktet av returstrømmen går. Den kan beregnes som:
Det vil si at jordavstanden er avhengig av driftsfrekvens og av jordresistivitet. Ved 16 2/3 Hz og jordresistivitet på 5000 Ωm blir jordavstanden 11 432 m.
Geometrisk middelavstand gi:
Den geometriske middelavstanden for en leder kan beregnes for ledere med enkel geometri, men for virkelige ledere blir den normalt oppgitt. <xr id="tab:GeometriskMiddelavstand" /> angir forenklet geometrisk middelavstand for ledere med kordeller. En massiv rund leder har eksakt geometrisk middelavstand lik der a er lederens radius.
<figtable id="tab:GeometriskMiddelavstand">
Antall kordeller | 1 | 3 | 7 | 19 | 37 | 61 | ∞ |
---|---|---|---|---|---|---|---|
Geometrisk middelavstand g | 0,7788 · a | 0,6778 · a | 0,7254 · a | 0,7576 · a | 0,7680 · a | 0,7720 · a | 0,7788 · a |
</figtable>
Skinner:
Ifølge referanse [3] kan ikke strømfortrengning neglisjeres for kjøreskinner på samme måte som for øvrige ledere uten å gjøre en stor feil, på grunn av skinnens store dimensjoner og på grunn av skinnens magnetiske egenskaper. Referanse [3] anbefaler derfor at impedansen bestemmes basert på målinger. Kilde [3] angir at for en kjøreskinne ved 16 2/3 Hz kan den indre impedansen angis som en verdi som varierer lineært fra 0,060 + j 0,075 Ω/km ved 100 A, til 0,125 + j 0,110 Ω/km ved 1000 A strømbelastning i hver skinne, og deretter konstant impedans for høyere strømmer. Her legges i det videre til grunn strømmen som er angitt for 100 A i hver skinne, for bruk ved driftsstrømmer i AT-system. I tillegg til denne indre impedansen må det legges til en ytre impedans. Den totale egenimpedansen for en kjøreskinne blir:
I dette uttrykket er a en tenkt radius for skinnen. Referanse [1] angir at en studentoppgave har foreslått å bruke 0,2 m for denne radien basert på målinger, men angir at det er stor usikkerhet forbundet med forslaget. Referanse [3] angir denne radien til 0,04935 m for en S60 skinne basert på radien for en sirkulær leder med like stort tverrsnitt. Vi legger her til grunn angivelsen i referanse [3] for denne radien.
<xr id="tab:Egenimpedans" /> inneholder beregnete verdier for egenimpedans for beregningseksempelet med et AT-system med PL, NL, kl og kjøreskinner:
<figtable id="tab:Egenimpedans">
Parameter | PL,NL | Kontakttråd | Bæreline | Kjøreskinne |
---|---|---|---|---|
Ledermaterial | AL-1 | CuAg 0,1 | CuMg 0,5 | Stål (R260Mn) |
Ytre diameter [mm] | 25,34 | 12,0 | 9,0 | - |
Nominelt tverrsnitt [mm2] | 400 | 100 | 50 | 7670 |
Kordeller | 61 | 1 | 19 | - |
Diameter for hver kordell [mm] | 2,89 | - | 1,80 | - |
Ledeevne % av IACS (5,8001·107 S/m) |
61,0 | 97,0 | 80,0 | 9,6 |
Relativ permeabilitet | 1 | 1 | 1 | 60 |
Geometrisk middelavstand g [mm] | 9,78 | 4,67 | 3,41 | - |
Likestrømsresistans rDC [Ω/km] | 0,0707 | 0,1777 | 0,4310 | 0,0234 |
Vekselstrømsresistans 50 Hz r50Hz [Ω/km] | - | - | - | - |
Resistans Re(Zii,egen) ved 16 2/3 Hz [Ω/km] | 0,0871 | 0,1942 | 0,4475 | 0,0765 (målt) |
Reaktans Im(Zii,egen) ved 16 2/3 Hz | 0,2926 | 0,3081 | 0,3147 | 0,3334 |
</figtable>
Gjensidig impedans
Gjensidig impedans mellom to ledere
Referanser
[1] Høidalen H.K: Kurskompendium: Elektromagnetisk sameksistens i jernbaneanlegg, kapittel 9: Kontaktledningsnettet - Impedanser og induserte spenninger, NTNU, 2006.
[2] Kurskompendium TET09, Prosjektering av elektriske anlegg. Parametre for linjer, kabler og skinneføringer. Beregning av tap, induktans og kapasitans. Utdrag fra kompendium i faget Elektriske kraftsystemer del II, 1993. Institutt for elkraftteknikk, NTNU.
[3] Kießling, Puschmann, Schmieder: Fahrleitungen elektrischer Bahnen, 3. Auflage, 2014. Publicis Publishing, ISBN 978-3-89578-407-1.
[4] EN 50149:2012
[5] Teknisk regelverk, Overbygning, Sporkonstruksjoner, Skinner