Parametre for flerledersystem: Forskjell mellom sideversjoner

Fra Lærebøker i jernbaneteknikk
Hopp til navigering Hopp til søk
Ingen redigeringsforklaring
Linje 119: Linje 119:
== Selvimpedans ==
== Selvimpedans ==


<math> \mathbf{Z_{selv}} </math> er en diagonal matrise med et diagonalt element tilhørende hver leder. Den består av indre ytre impedans:
<math> \mathbf{Z_{selv}} </math> er en diagonal matrise med et diagonalt element tilhørende hver leder. For en ledersløyfe med leder i umagnetisk materiale med retur i jord, er selvimpedansen til sløyfa gitt av:


<math>
<math>
Z_{selv,ii} = z_{i,indre} + z_{i,ytre}
Z_{ii,selv} = r_{i,leder} + r_E + j f \mu_0 \cdot \ln{ \left( \frac{D_j}{g_i} \right) }
</math>
</math>


der <math> z_{i,indre} </math> er lederens indre impedans, og <math> z_{i,ytre} </math> er lederens ytre impedans.
der:


=== Indre impedans ===
<math> r_{i,DC} </math> er lederens likestrømsresistans,
<math> r_{E} </math> er resistansen for strømmens returvei i jordsmonnet,
''f'' er strømmens frekvens,
<math> \mu_0 </math> er den magnetiske permeabiliteten i tomt rom,
<math> D_j = 660 \cdot \sqrt{\frac{\rho_e}{f}} </math> er en tenkt dybde i jorda for jordreturstrømmen,
<math> g_i </math> er lederens geometriske middelavstand.


For sirkulære ledere er den indre impedansen er gitt av:
''' Lederens likestrømsresistans r<sub>i,DC</sub>: '''


<math>
Når strømfortrengning neglisjeres kan likestrømsresistansen beregnes ut ifra lederens tverrsnittsareal og
z_{i,indre} = r_{i,DC} + j \frac{f \cdot \mu_0 \cdot \mu_r}{4} \; \left[ \frac{\mathrm{\Omega}}{\mathrm{m}} \right]
</math>


der
<math> r_{i,DC} </math> er lederens likestrømsresistans
''f'' er strømmens frekvens,
<math> \mu_0 </math> er den magnetiske permeabiliteten i tomt rom, og
<math> \mu_r </math> er ledermaterialets relative magnetiske permeabilitet


Likestrømsresistansen <math> r_{i,DC} </math> beskriver resistivt spenningsfall i ledermaterialet. Den angis for hver enkelt leder som en beregnet eller en målt verdi. Beregnete verdier beregnes ut ifra lederens ledeevne, geometri og strømfordeling. Den svake frekvensavhengigheten i resistans som følge av strømfortrengning kan neglisjeres for runde umagnetiske ledere med små dimensjoner eller med små kordeller, da disse effektene da får liten innvirkning ved grunnharmonisk frekvens. Ved høye frekvenser (over ca. 1 kHz), og for store massive ledere, har disse effektene større betydning, og for slike frekvenser bør strømfortrengning modelleres. Likestrømsresistansen er også temperaturavhengig. Her er det forutsatt en fast ledertemperatur på 20 °C.
Likestrømsresistansen <math> r_{i,DC} </math> beskriver resistivt spenningsfall i ledermaterialet. Den angis for hver enkelt leder som en beregnet eller en målt verdi. Beregnete verdier beregnes ut ifra lederens ledeevne, geometri og strømfordeling. Den svake frekvensavhengigheten i resistans som følge av strømfortrengning kan neglisjeres for runde umagnetiske ledere med små dimensjoner eller med små kordeller, da disse effektene da får liten innvirkning ved grunnharmonisk frekvens. Ved høye frekvenser (over ca. 1 kHz), og for store massive ledere, har disse effektene større betydning, og for slike frekvenser bør strømfortrengning modelleres. Likestrømsresistansen er også temperaturavhengig. Her er det forutsatt en fast ledertemperatur på 20 °C.
Linje 146: Linje 144:


<math> r_{i,DC} = \frac{1}{A \cdot \sigma} \; \left[ \frac{\mathrm{\Omega}}{\mathrm{m}} \right] </math>
<math> r_{i,DC} = \frac{1}{A \cdot \sigma} \; \left[ \frac{\mathrm{\Omega}}{\mathrm{m}} \right] </math>
Den imaginære delen av <math> z_{i,indre} </math> beskriver induktivt spenningsfall som følge av magnetiske felter i ledermaterialet, og kan enten måles eller beregnes ut ifra ledermaterialets magnetiske permeabilitet.
=== Ytre impedans ===
Den ytre impedansen beskriver resistivt spenningsfall som følge av retur i jord, og induktivt spenningsfall som følge av magnetfelt som settes opp av lederen og jordreturen i luft og i jord. For en rund leder med retur i homogent jordsmonn kan den ytre impedansen beskrives tilnærmet ved likningen (Carsons tilnærmete likning):
<math> z_{i,ytre} \approx \frac{\pi f \mu_0}{4} + j f \mu_0 \cdot \ln{\left( \frac{D_j}{a}\right)} \; \left[ \frac{\mathrm{\Omega}}{\mathrm{m}} \right] </math>


der
der
<math> D_j = 660 \cdot \sqrt{\frac{\rho_e}{f}} </math> er en tenkt dybde i jorda for jordreturstrømmen, og
''a'' er lederens radius.
=== Kombinert indre og ytre impedans og geometrisk middelavstand ===
Den indre og ytre impedansen må kombineres til en selvimpedans for hver leder. For sirkulære ledere med µ<sub>r</sub> = 1 blir uttrykket:
<math>
Z_{selv,ii} = z_{i,indre} + z_{i,ytre} \\
= r_{i,DC} + j \frac{f \cdot \mu_0}{4} + \frac{\pi f \mu_0}{4} + j f \mu_0 \cdot \ln{\left( \frac{D_j}{a}\right)} \\
= r_{i,DC} + \frac{\pi f \mu_0}{4} + j f \mu_0 \cdot \left[\frac{1}{4} + \ln{ \left( \frac{D_j}{a} \right) }  \right]
</math>
Ved å angi at <math> \frac{1}{4} = \ln{e^{\frac{1}{4}}} = \ln{\frac{1}{0,7788}} </math> kan uttrykket videre skrives som:
<math>
Z_{selv,ii} = r_{i,DC} + \frac{\pi f \mu_0}{4} + j f \mu_0 \cdot \ln{ \left( \frac{D_j}{0,7788 \cdot a} \right)} = r_{i,DC} + \frac{\pi f \mu_0}{4} + j f \mu_0 \cdot \ln{ \left( \frac{D_j}{g_i} \right) }
</math>


der <math> g_i = e^{-\frac{1}{4}} \cdot a = 0,7788 \cdot a </math> er definert som lederens geometriske middelavstand. Den geometriske middelavstanden er i referanse [X] beregnet også for ledere med flere kordeller, og resultatet er angitt under.


<figtable id="tab:GeometriskMiddelavstand">
<figtable id="tab:GeometriskMiddelavstand">

Sideversjonen fra 10. feb. 2017 kl. 10:02

__NUMBEREDHEADINGS__

Generelt

I et system med flere parallelle elektriske ledere med felles retur i jord er systemets lineære elektriske egenskaper komplett beskrevet av fire parametermatriser:

  • Matrise for serieresistanser: R [Ω/km]
  • Matrise for seriereaktanser: X [Ω/km]
  • Matrise for parallell konduktiv avledning: G [S/km]
  • Matrise for parallell susceptiv avledning: B [S/km]

Hver av matrisene har dimensjonene (n x n) der n er antallet parallelle ledere i systemet. Matrisene er alltid symmetriske.

Matrisene kan sammenstilles til en kompleks matrise for serieimpedans Z og en kompleks matrise for parallell admittans Y:

Feil i matematikken (Konverteringsfeil. Tjeneren («cli») rapporterte: «SyntaxError: Expected [, ;!_#%$&], [a-zA-Z], or [{}|] but "\\" found.in 2:47»): {\displaystyle \mathbf{Z} = \mathbf{R} + j \cdot \mathbf{X} \\ \mathbf{Y} = \mathbf{G} + j \cdot \mathbf{B} }

Dette kapittelet inneholder en eksempelberegning for hvordan man bestemmer verdiene for parametermatrisene for et konkret linjesett for AT-system med PL, NL, kl og skinner.

Beregningsforutsetninger

Følgende parametre behandles i beregningene som kjente verdier.

<figtable id="tab:Beregningsforutsetninger">

Beregningsforutsetningerlederen
Parameter Symbol Verdi Enhet
Magnetisk permeabilitet i tomt rom µ0 4·π·10-7 H/m
Elektrisk permittivitet i tomt rom ε0 8.8542·10-12 F/m
Jordresistivitet ρe 5000 Ωm

</figtable>

Jordresistiviteten varierer mye for ulike typer jordsmonn. Den valgte verdien på 5000 Ωm representerer et nivå som er lavere enn hva man kan forvente ved fjellgrunn, samtidig som det er mye høyere enn hva man kan forvente i grunn med fuktig sand og leire. Det finnes flere lett tilgjengelige angivelser over tallverdier for jordresistivitet i ulike typer jordsmonn i Norge, for eksempel ved søk på nett. I dette dokumentet er tallverdiene angitt i referanse [1] lagt til grunn:

<figtable id="tab:Jordresistivitet">

Jordresistivitet som angitt i referanse [1]
Jordsmonn Resistivitet ρe [Ωm]
Sjøvann (saltholdig) < 1
Ferskvann (elv, innsjø) 10 - 1 000
Fuktig myrjord 20 - 200
Dyrket jord, leire (fuktig) 50 - 200
Fuktig sandjord 100 - 300
Tørr sandjord 1 000 - 50 000
Fjellgrunn med vannfylte sprekker 1 000 - 10 000

</figtable>

Geometrisk konfigurasjon

Linjesettet defineres med følgende geometriske konfigurasjon, der x-aksen ligger horisontalt på tvers av sporet slik at x=0 er midt mellom de to kjøreskinnene, og y-aksen står vertikalt på sporet slik at y=0 er ved jordoverflaten.

<figtable id="tab:Geometri">

Geometrisk konfigurasjon
Leder x-koordinat
[m]
y-koordinat
[m]
Negativleder, NL 4 10
Positivleder, PL 3 10
Bæreline, bl 0 6,6
Kontakttråd, kt 0 5,8
Skinne 1, S1 0,7175 0,2
Skinne 2, S2 0,7175 0,2

</figtable>

Den angitte høyden er lederens gjennomsnittshøyde. Lengdeøkningen som følge av nedheng er i størrelsesorden 0,25%, og er neglisjert her. Tilsvarende vurdering gjøres for sikksakk-formen til kontakttråd og bæreline.

Lederdata

Følgende lederdata er lagt til grunn. Alle lederne er antatt sirkulære med en tilhørende ekvivalent radius. Positivleder, negativleder og bærelina har flere kordeller, og den økte diameteren som følge av dette er hensyntatt. Fordi ledere med kordeller også er tvunnet vil de ytre kordellene være noe lengre enn de innerste. Denne effekten er neglisjert.

<figtable id="tab:Lederdata">

Lederdata
Leder Materiale Tverrsnittsareal
[mm2]
Ytre diameter
[mm]
Antall kordeller Diameter for hver kordell [mm] Ledeevne % av IACS (5,8001·107 S/m) Relativ permeabilitet Kilde
PL / NL Al 400 25,4 61 2,89 61,0 1 Teknisk spesifikasjon
Kontakttråd CuAg 0,1 100 12,00 1 - 97,0 1 Teknisk spesifikasjon
EN 50149:2012
Bæreline BzII 50 9,0 19 1,80 80,0 1 Teknisk spesifikasjon
EN 50149:2012
Antatt ledeevne som for CuMg 0,2
Skinne Stål R260Mn 7670 215,2 1 - 9,6 60 [3], [4], [5]
Ytre diameter er beregnet fra skinnens omkrets

</figtable>

Serieimpedans

Seriempedansen består av:

  • selvimpedansen til hver leder, og
  • gjensidig impedans mellom hver leder og jord, og innbyrdes mellom lederne.

Serieimpedansen kan skrives som:

Selvimpedans

er en diagonal matrise med et diagonalt element tilhørende hver leder. For en ledersløyfe med leder i umagnetisk materiale med retur i jord, er selvimpedansen til sløyfa gitt av:

der:

er lederens likestrømsresistans, er resistansen for strømmens returvei i jordsmonnet, f er strømmens frekvens, er den magnetiske permeabiliteten i tomt rom, er en tenkt dybde i jorda for jordreturstrømmen, er lederens geometriske middelavstand.

Lederens likestrømsresistans ri,DC:

Når strømfortrengning neglisjeres kan likestrømsresistansen beregnes ut ifra lederens tverrsnittsareal og


Likestrømsresistansen beskriver resistivt spenningsfall i ledermaterialet. Den angis for hver enkelt leder som en beregnet eller en målt verdi. Beregnete verdier beregnes ut ifra lederens ledeevne, geometri og strømfordeling. Den svake frekvensavhengigheten i resistans som følge av strømfortrengning kan neglisjeres for runde umagnetiske ledere med små dimensjoner eller med små kordeller, da disse effektene da får liten innvirkning ved grunnharmonisk frekvens. Ved høye frekvenser (over ca. 1 kHz), og for store massive ledere, har disse effektene større betydning, og for slike frekvenser bør strømfortrengning modelleres. Likestrømsresistansen er også temperaturavhengig. Her er det forutsatt en fast ledertemperatur på 20 °C.

For ledere der beregnes, beregnes denne ved:

der


<figtable id="tab:GeometriskMiddelavstand">

Geometrisk middelavstand for ledere med flere kordeller
Antall kordeller 1 3 7 19 37 61
Geometrisk middelavstand g

</figtable>


Ifølge referanse [3] kan ikke strømfortrengning neglisjeres for kjøreskinner på samme måte som for øvrige ledere uten å gjøre en stor feil, på grunn av skinnens store dimensjoner og på grunn av skinnens magnetiske egenskaper. Referanse [3] anbefaler derfor at impedansen bestemmes basert på målinger. Kilde [3] angir at for en kjøreskinne ved 16 2/3 Hz kan egenimpedansen angis som en verdi som varierer lineært fra 0,060 + j 0,075 Ω/km ved 100 A, til 0,125 + j 0,110 Ω/km ved 1000 A strømbelastning i hver skinne, og deretter konstant impedans for høyere strømmer. Her legges i det videre til grunn strømmen som er angitt for 100 A i hver skinne, for bruk ved driftsstrømmer i AT-system.

Referanser

[1] Høidalen H.K: Kurskompendium: Elektromagnetisk sameksistens i jernbaneanlegg, kapittel 9: Kontaktledningsnettet - Impedanser og induserte spenninger, NTNU, 2006.

[2] Kurskompendium TET09, Prosjektering av elektriske anlegg. Parametre for linjer, kabler og skinneføringer. Beregning av tap, induktans og kapasitans. Utrad fra kompendium i faget Elektriske kraftsystemer del II, 1993. Institutt for elkraftteknikk, NTNU.

[3] Kießling, Puschmann, Schmieder: Fahrleitungen elektrischer Bahnen, 3. Auflage, 2014. Publicis Publishing, ISBN 978-3-89578-407-1.

[4] EN 50149:2012

[5] Teknisk regelverk, Overbygning, Sporkonstruksjoner, Skinner