Parametre for flerledersystem: Forskjell mellom sideversjoner
Ingen redigeringsforklaring |
|||
Linje 119: | Linje 119: | ||
== Selvimpedans == | == Selvimpedans == | ||
<math> \mathbf{Z_{selv}} </math> er en diagonal matrise med et diagonalt element tilhørende hver leder. | <math> \mathbf{Z_{selv}} </math> er en diagonal matrise med et diagonalt element tilhørende hver leder. For en ledersløyfe med leder i umagnetisk materiale med retur i jord, er selvimpedansen til sløyfa gitt av: | ||
<math> | <math> | ||
Z_{selv | Z_{ii,selv} = r_{i,leder} + r_E + j f \mu_0 \cdot \ln{ \left( \frac{D_j}{g_i} \right) } | ||
</math> | </math> | ||
der | der: | ||
= | <math> r_{i,DC} </math> er lederens likestrømsresistans, | ||
<math> r_{E} </math> er resistansen for strømmens returvei i jordsmonnet, | |||
''f'' er strømmens frekvens, | |||
<math> \mu_0 </math> er den magnetiske permeabiliteten i tomt rom, | |||
<math> D_j = 660 \cdot \sqrt{\frac{\rho_e}{f}} </math> er en tenkt dybde i jorda for jordreturstrømmen, | |||
<math> g_i </math> er lederens geometriske middelavstand. | |||
''' Lederens likestrømsresistans r<sub>i,DC</sub>: ''' | |||
Når strømfortrengning neglisjeres kan likestrømsresistansen beregnes ut ifra lederens tverrsnittsareal og | |||
Likestrømsresistansen <math> r_{i,DC} </math> beskriver resistivt spenningsfall i ledermaterialet. Den angis for hver enkelt leder som en beregnet eller en målt verdi. Beregnete verdier beregnes ut ifra lederens ledeevne, geometri og strømfordeling. Den svake frekvensavhengigheten i resistans som følge av strømfortrengning kan neglisjeres for runde umagnetiske ledere med små dimensjoner eller med små kordeller, da disse effektene da får liten innvirkning ved grunnharmonisk frekvens. Ved høye frekvenser (over ca. 1 kHz), og for store massive ledere, har disse effektene større betydning, og for slike frekvenser bør strømfortrengning modelleres. Likestrømsresistansen er også temperaturavhengig. Her er det forutsatt en fast ledertemperatur på 20 °C. | Likestrømsresistansen <math> r_{i,DC} </math> beskriver resistivt spenningsfall i ledermaterialet. Den angis for hver enkelt leder som en beregnet eller en målt verdi. Beregnete verdier beregnes ut ifra lederens ledeevne, geometri og strømfordeling. Den svake frekvensavhengigheten i resistans som følge av strømfortrengning kan neglisjeres for runde umagnetiske ledere med små dimensjoner eller med små kordeller, da disse effektene da får liten innvirkning ved grunnharmonisk frekvens. Ved høye frekvenser (over ca. 1 kHz), og for store massive ledere, har disse effektene større betydning, og for slike frekvenser bør strømfortrengning modelleres. Likestrømsresistansen er også temperaturavhengig. Her er det forutsatt en fast ledertemperatur på 20 °C. | ||
Linje 146: | Linje 144: | ||
<math> r_{i,DC} = \frac{1}{A \cdot \sigma} \; \left[ \frac{\mathrm{\Omega}}{\mathrm{m}} \right] </math> | <math> r_{i,DC} = \frac{1}{A \cdot \sigma} \; \left[ \frac{\mathrm{\Omega}}{\mathrm{m}} \right] </math> | ||
der | der | ||
<figtable id="tab:GeometriskMiddelavstand"> | <figtable id="tab:GeometriskMiddelavstand"> |
Sideversjonen fra 10. feb. 2017 kl. 10:02
__NUMBEREDHEADINGS__
Generelt
I et system med flere parallelle elektriske ledere med felles retur i jord er systemets lineære elektriske egenskaper komplett beskrevet av fire parametermatriser:
- Matrise for serieresistanser: R [Ω/km]
- Matrise for seriereaktanser: X [Ω/km]
- Matrise for parallell konduktiv avledning: G [S/km]
- Matrise for parallell susceptiv avledning: B [S/km]
Hver av matrisene har dimensjonene (n x n) der n er antallet parallelle ledere i systemet. Matrisene er alltid symmetriske.
Matrisene kan sammenstilles til en kompleks matrise for serieimpedans Z og en kompleks matrise for parallell admittans Y:
Feil i matematikken (Konverteringsfeil. Tjeneren («cli») rapporterte: «SyntaxError: Expected [, ;!_#%$&], [a-zA-Z], or [{}|] but "\\" found.in 2:47»): {\displaystyle \mathbf{Z} = \mathbf{R} + j \cdot \mathbf{X} \\ \mathbf{Y} = \mathbf{G} + j \cdot \mathbf{B} }
Dette kapittelet inneholder en eksempelberegning for hvordan man bestemmer verdiene for parametermatrisene for et konkret linjesett for AT-system med PL, NL, kl og skinner.
Beregningsforutsetninger
Følgende parametre behandles i beregningene som kjente verdier.
<figtable id="tab:Beregningsforutsetninger">
Parameter | Symbol | Verdi | Enhet |
---|---|---|---|
Magnetisk permeabilitet i tomt rom | µ0 | 4·π·10-7 | H/m |
Elektrisk permittivitet i tomt rom | ε0 | 8.8542·10-12 | F/m |
Jordresistivitet | ρe | 5000 | Ωm |
</figtable>
Jordresistiviteten varierer mye for ulike typer jordsmonn. Den valgte verdien på 5000 Ωm representerer et nivå som er lavere enn hva man kan forvente ved fjellgrunn, samtidig som det er mye høyere enn hva man kan forvente i grunn med fuktig sand og leire. Det finnes flere lett tilgjengelige angivelser over tallverdier for jordresistivitet i ulike typer jordsmonn i Norge, for eksempel ved søk på nett. I dette dokumentet er tallverdiene angitt i referanse [1] lagt til grunn:
<figtable id="tab:Jordresistivitet">
Jordsmonn | Resistivitet ρe [Ωm] |
---|---|
Sjøvann (saltholdig) | < 1 |
Ferskvann (elv, innsjø) | 10 - 1 000 |
Fuktig myrjord | 20 - 200 |
Dyrket jord, leire (fuktig) | 50 - 200 |
Fuktig sandjord | 100 - 300 |
Tørr sandjord | 1 000 - 50 000 |
Fjellgrunn med vannfylte sprekker | 1 000 - 10 000 |
</figtable>
Geometrisk konfigurasjon
Linjesettet defineres med følgende geometriske konfigurasjon, der x-aksen ligger horisontalt på tvers av sporet slik at x=0 er midt mellom de to kjøreskinnene, og y-aksen står vertikalt på sporet slik at y=0 er ved jordoverflaten.
<figtable id="tab:Geometri">
Leder | x-koordinat [m] |
y-koordinat [m] |
---|---|---|
Negativleder, NL | 4 | 10 |
Positivleder, PL | 3 | 10 |
Bæreline, bl | 0 | 6,6 |
Kontakttråd, kt | 0 | 5,8 |
Skinne 1, S1 | 0,7175 | 0,2 |
Skinne 2, S2 | 0,7175 | 0,2 |
</figtable>
Den angitte høyden er lederens gjennomsnittshøyde. Lengdeøkningen som følge av nedheng er i størrelsesorden 0,25%, og er neglisjert her. Tilsvarende vurdering gjøres for sikksakk-formen til kontakttråd og bæreline.
Lederdata
Følgende lederdata er lagt til grunn. Alle lederne er antatt sirkulære med en tilhørende ekvivalent radius. Positivleder, negativleder og bærelina har flere kordeller, og den økte diameteren som følge av dette er hensyntatt. Fordi ledere med kordeller også er tvunnet vil de ytre kordellene være noe lengre enn de innerste. Denne effekten er neglisjert.
<figtable id="tab:Lederdata">
Leder | Materiale | Tverrsnittsareal [mm2] |
Ytre diameter [mm] |
Antall kordeller | Diameter for hver kordell [mm] | Ledeevne % av IACS (5,8001·107 S/m) | Relativ permeabilitet | Kilde |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
PL / NL | Al | 400 | 25,4 | 61 | 2,89 | 61,0 | 1 | Teknisk spesifikasjon |
Kontakttråd | CuAg 0,1 | 100 | 12,00 | 1 | - | 97,0 | 1 | Teknisk spesifikasjon EN 50149:2012 |
Bæreline | BzII | 50 | 9,0 | 19 | 1,80 | 80,0 | 1 | Teknisk spesifikasjon EN 50149:2012 Antatt ledeevne som for CuMg 0,2 |
Skinne | Stål R260Mn | 7670 | 215,2 | 1 | - | 9,6 | 60 | [3], [4], [5] Ytre diameter er beregnet fra skinnens omkrets |
</figtable>
Serieimpedans
Seriempedansen består av:
- selvimpedansen til hver leder, og
- gjensidig impedans mellom hver leder og jord, og innbyrdes mellom lederne.
Serieimpedansen kan skrives som:
Selvimpedans
er en diagonal matrise med et diagonalt element tilhørende hver leder. For en ledersløyfe med leder i umagnetisk materiale med retur i jord, er selvimpedansen til sløyfa gitt av:
der:
er lederens likestrømsresistans, er resistansen for strømmens returvei i jordsmonnet, f er strømmens frekvens, er den magnetiske permeabiliteten i tomt rom, er en tenkt dybde i jorda for jordreturstrømmen, er lederens geometriske middelavstand.
Lederens likestrømsresistans ri,DC:
Når strømfortrengning neglisjeres kan likestrømsresistansen beregnes ut ifra lederens tverrsnittsareal og
Likestrømsresistansen beskriver resistivt spenningsfall i ledermaterialet. Den angis for hver enkelt leder som en beregnet eller en målt verdi. Beregnete verdier beregnes ut ifra lederens ledeevne, geometri og strømfordeling. Den svake frekvensavhengigheten i resistans som følge av strømfortrengning kan neglisjeres for runde umagnetiske ledere med små dimensjoner eller med små kordeller, da disse effektene da får liten innvirkning ved grunnharmonisk frekvens. Ved høye frekvenser (over ca. 1 kHz), og for store massive ledere, har disse effektene større betydning, og for slike frekvenser bør strømfortrengning modelleres. Likestrømsresistansen er også temperaturavhengig. Her er det forutsatt en fast ledertemperatur på 20 °C.
For ledere der beregnes, beregnes denne ved:
der
<figtable id="tab:GeometriskMiddelavstand">
Antall kordeller | 1 | 3 | 7 | 19 | 37 | 61 | ∞ |
---|---|---|---|---|---|---|---|
Geometrisk middelavstand g |
</figtable>
Ifølge referanse [3] kan ikke strømfortrengning neglisjeres for kjøreskinner på samme måte som for øvrige ledere uten å gjøre en stor feil, på grunn av skinnens store dimensjoner og på grunn av skinnens magnetiske egenskaper. Referanse [3] anbefaler derfor at impedansen bestemmes basert på målinger. Kilde [3] angir at for en kjøreskinne ved 16 2/3 Hz kan egenimpedansen angis som en verdi som varierer lineært fra 0,060 + j 0,075 Ω/km ved 100 A, til 0,125 + j 0,110 Ω/km ved 1000 A strømbelastning i hver skinne, og deretter konstant impedans for høyere strømmer. Her legges i det videre til grunn strømmen som er angitt for 100 A i hver skinne, for bruk ved driftsstrømmer i AT-system.
Referanser
[1] Høidalen H.K: Kurskompendium: Elektromagnetisk sameksistens i jernbaneanlegg, kapittel 9: Kontaktledningsnettet - Impedanser og induserte spenninger, NTNU, 2006.
[2] Kurskompendium TET09, Prosjektering av elektriske anlegg. Parametre for linjer, kabler og skinneføringer. Beregning av tap, induktans og kapasitans. Utrad fra kompendium i faget Elektriske kraftsystemer del II, 1993. Institutt for elkraftteknikk, NTNU.
[3] Kießling, Puschmann, Schmieder: Fahrleitungen elektrischer Bahnen, 3. Auflage, 2014. Publicis Publishing, ISBN 978-3-89578-407-1.
[4] EN 50149:2012
[5] Teknisk regelverk, Overbygning, Sporkonstruksjoner, Skinner